Bitrunkovaný krychlový plástev - Bitruncated cubic honeycomb

Bitrunkovaný krychlový plástev

Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	2t {4,3,4} t_1,2{4,3,4}
Coxeter-Dynkinův diagram
Typ buňky	(4.6.6)
Typy obličeje	náměstí {4} šestiúhelník {6}
Postava hrany	rovnoramenný trojúhelník {3}
Vrcholová postava	(tetragonální disphenoid )
Vesmírná skupina Fibrifoldova notace Coxeterova notace	Im3m (229) 8^Ó:2 [[4,3,4]]
Skupina coxeterů	${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ , [4,3,4]
Dvojí	Oblátový čtyřstěn Disphenoid čtyřboký plástev Buňka:
Vlastnosti	isogonal, isotoxální, izochorický

Zde zobrazený bitunový kubický plástev ve vztahu k kubickému plástve

The bitunovaný kubický plástev je vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor tvořeny zkrácená oktaedra (nebo ekvivalentně bitruncated kostky). Má 4 zkrácená oktaedra kolem každého vrcholu. Skládá se úplně z zkrácená oktaedra, to je buněčně tranzitivní. Je to také hrana tranzitivní, se 2 šestiúhelníky a jedním čtvercem na každém okraji, a vrchol-tranzitivní. Je to jeden z 28 jednotné voštiny.

John Horton Conway nazývá tento plástev a zkrácený osmistěn v jeho Architektonická a catoptrická mozaikování seznam s duálním názvem s názvem zploštělý čtyřstěn, také nazývaný a disphenoid čtyřboký plástev. Ačkoli pravidelný čtyřstěn sám nemůže mozaikovat prostor, má tento dual stejný disphenoid tetrahedron buňky s rovnoramenný trojúhelník tváře.

Geometrie

Lze to realizovat jako Voronoi mozaikování z centrovaný na tělo mříž. Lord Kelvin domníval se, že varianta bitunovaný kubický plástev (se zakřivenými plochami a okraji, ale se stejnou kombinační strukturou) je optimální pěna na mýdlové bubliny. Nicméně Weaire – Phelan struktura je méně symetrická, ale účinnější pěna mýdlových bublin.

Plástev představuje permutohedron mozaikování pro 3-prostor. Souřadnice vrcholů pro jeden osmistěn představují a nadrovina celých čísel ve 4-prostoru, konkrétně obměny z (1,2,3,4). Teselace je tvořena přeloženými kopiemi v nadrovině.

Teselace je nejvyšší teselace z rovnoběžníky ve 3-prostoru.

Projekce

The bitunovaný kubický plástev mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie. Nejvyšší (hexagonální) symetrie se promítá do nerovnoměrného tvaru rhombitrihexagonal obklady. Čtvercová symetrická projekce tvoří dvě překrývající se zkrácený čtvercový obklad, které se spojují dohromady jako a zkosený čtvercový obklad.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Symetrie

Vrcholový údaj pro tuto voštinu je a disphenoid tetrahedron, a je to také Goursat čtyřstěn (základní doména ) pro ${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ Skupina coxeterů. Tento plást má čtyři jednotné konstrukce, přičemž zkrácené oktaedrické buňky mají různé Skupiny coxeterů a Wythoffovy konstrukce. Tyto jednotné symetrie mohou být reprezentovány různým zbarvením buněk v každé konstrukci.

Pět jednotných barev podle buněk
Vesmírná skupina	Im3m (229)	Odpoledne3m (221)	Fm3m (225)	F43 m (216)	Fd3m (227)
Fibrifold	8^Ó:2	4⁻:2	2⁻:2	1^Ó:2	2⁺:2
Skupina coxeterů	${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ ×2 [[4,3,4]] =[4[3^[4]]] =	${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ [4,3,4] =[2[3^[4]]] =	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$ [4,3^1,1] =<[3^[4]]> =	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ [3^[4]]	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×2 [[3^[4]]] =[[3^[4]]]
Coxeterův diagram
zkrácená oktaedra	1	1:1 :	2:1:1 ::	1:1:1:1 :::	1:1 :
Vrcholová postava
Vrchol postava symetrie	[2⁺,4] (objednávka 8)	[2] (objednávka 4)	[ ] (objednávka 2)	[ ]⁺ (objednávka 1)	[2]⁺ (objednávka 2)
obraz Vybarveno buňka

Související mnohostěny a voštiny

The pravidelný zkosený apeirohedron {6,4 | 4} obsahuje šestiúhelníky této voštiny.

[4,3,4], , Skupina coxeterů generuje 15 permutací rovnoměrných mozaikování, 9 s odlišnou geometrií včetně střídaného kubického plástu. The rozšířený krychlový plástev (také známý jako runcinovaný tesseraktický plástev) je geometricky identický s krychlovým plástem.

C3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Polovina	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
Já43 m (217)	4^Ó:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Polovina × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Čtvrtletí × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^Ó:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

[4,3^1,1], , Skupina coxeterů generuje 9 permutací jednotných mozaikování, 4 s odlišnou geometrií včetně střídaného kubického plástu.

B3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Fm3m (225)	2⁻:2	[4,3^1,1] ↔ [4,3,4,1⁺]	↔	×1	₁, ₂, ₃, ₄
Fm3m (225)	2⁻:2	<[1⁺,4,3^1,1]> ↔ <[3^[4]]>	↔	×2	₍₁₎, ₍₃₎
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	<[4,3^1,1]>		×2	₅, ₆, ₇, ₍₆₎, ₉, ₁₀, ₁₁

Tento plástev je jedním z pět odlišných jednotných voštin^[1] postavena ${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ Skupina coxeterů. Symetrii lze vynásobit symetrií prstenů v Coxeter – Dynkinovy diagramy:

A3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Náměstí symetrie	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Rozšířené skupina	Voštinové diagramy
F43 m (216)	1^Ó:2	a1	[3^[4]]		${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$	(Žádný)
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3^1,1]	↔	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×2₁ ↔ ${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$	₁, ₂
Fd3m (227)	2⁺:2	g2	[[3^[4]]] nebo [2⁺[3^[4]]]	↔	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×2₂	₃
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	d4	<2[3^[4]]> ↔ [4,3,4]	↔	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×4₁ ↔ ${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$	₄
Já3 (204)	8^-O	r8	[4[3^[4]]]⁺ ↔ [[4,3⁺,4]]	↔	½ ${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ½ ${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ ×2	_(*)
Im3m (229)	8^Ó:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ ×2	₅

Alternativní forma

Alternativní bitrunkovaný kubický plástev
Typ	Konvexní plástev
Schläfliho symbol	2 s {4,3,4} 2 s {4,3^1,1} sr {3^[4]}
Coxeterovy diagramy	= = =
Buňky	čtyřstěn dvacetistěnu
Vrcholová postava
Skupina coxeterů	[[4,3⁺,4]], ${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$
Dvojí	Deset z diamantů plástev Buňka:
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní

Tento plást může být střídal, vytvářející pyritohedrál icosahedra ze zkráceného osmistěnu s disfenoidními čtyřboká buňkami vytvořenými v mezerách. Existují tři konstrukce ze tří souvisejících Coxeter-Dynkinovy diagramy: , , a . Ty mají symetrii [4,3⁺,4], [4,(3^1,1)⁺] a [3^[4]]⁺ resp. První a poslední symetrii lze zdvojnásobit jako [[4,3⁺, 4]] a [[3^[4]]]⁺.

Duální voština je vyrobena z buněk zvaných deset diamantů dekahedra.

Pět jednotných barev
Vesmírná skupina	Já3 (204)	Odpoledne3 (200)	Fm3 (202)	Fd3 (203)	F23 (196)
Fibrifold	8^-O	4⁻	2⁻	2^{o +}	1^Ó
Skupina coxeterů	[[4,3⁺,4]]	[4,3⁺,4]	[4,(3^1,1)⁺]	[[3^[4]]]⁺	[3^[4]]⁺
Coxeterův diagram
Objednat	dvojnásobek	úplný	polovina	čtvrťák dvojnásobek	čtvrťák
obraz vybarvené buňkami

Tento plást je zastoupen v atomech boru α-kosočtverečný krystal. Středy ikosahedry jsou umístěny v polohách FCC mřížky.^[2]

Související polytopy

Neuniformní varianty se symetrií [4,3,4] a dvěma typy zkráceného oktaedru lze zdvojnásobit umístěním dvou typů zkráceného oktaedru, aby se vytvořil nejednotný plást s zkrácená oktaedra a šestihranné hranoly (jako ditrigonální lichoběžníky). Jeho vrcholná postava je a C_2v-symetrický trojúhelníkový bipyramid.

Tuto voštinu lze potom střídat, aby vznikl další nejednotný plást s pyritohedral icosahedra, oktaedra (jako trojúhelníkové antiprismy) a čtyřstěn (jako sfenoidy). Jeho vrcholná postava má C_2v symetrie a skládá se ze 2 pětiúhelníky, 4 obdélníky, 4 rovnoramenné trojúhelníky (rozdělené do dvou sad po 2) a 4 scalene trojúhelníky.

Viz také

Poznámky

^ [1], A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami
^ Williams, 1979, s. 199, obrázek 5-38.

Reference

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, Architectonic and Catoptric tessellations, s. 292-298, zahrnuje všechny neprismatické formy)
George Olshevsky, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (2006) (Úplný seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb)
Branko Grünbaum, Rovnoměrné obklady 3prostoru. Geombinatorika 4(1994), 49 - 56.
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1,9 Jednotné prostorové výplně)
A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Na regulárních a semiregulárních sítích mnohostěnů a na odpovídajících korelačních sítích) Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
Klitzing, Richarde. „3D euklidovské voštiny o4x3x4o - šarže - O16“.
Jednotné voštiny ve 3 mezerách: šarže 05
Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Vesmír vyplňující mnohostěn". MathWorld.

[1] [1], A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami

[2] Williams, 1979, s. 199, obrázek 5-38.

[1]

[2]