Funkce Dedekind psi - Dedekind psi function
v teorie čísel, Funkce Dedekind psi je multiplikativní funkce na kladná celá čísla definovaná
kde je produkt převzat všemi prvočísly dělení (Podle konvence , který je prázdný produkt, má hodnotu 1.) Funkce byla zavedena Richard Dedekind ve spojení s modulární funkce.
Hodnota pro prvních několik celých čísel je:
Funkce je větší než pro všechny větší než 1 a je dokonce pro všechny větší než 2. Pokud je číslo bez čtverce pak , kde je funkce dělitele.
The funkci lze také definovat nastavením pro pravomoci jakéhokoli prime a poté rozšíření definice na všechna celá čísla pomocí multiplikativity. To také vede k prokázání generující funkce z hlediska Funkce Riemann zeta, který je
To je také důsledek skutečnosti, že můžeme psát jako Dirichletova konvoluce z .
Existuje také aditivní definice funkce psi. Cituji z Dicksona,[1]
R. Dedekind[2] prokázal, že pokud je n rozloženo jakýmkoli způsobem na produkt ab a pokud e je g.c.d. a, b potom
kde a se pohybuje nad všemi děliteli n ap nad hlavními děliteli n.
Všimněte si, že je totientová funkce.
Vyšší objednávky
Zobecnění na vyšší objednávky prostřednictvím poměrů Jordanův totient je
se sérií Dirichlet
- .
Je to také Dirichletova konvoluce síly a čtverec Möbiova funkce,
- .
Li
je charakteristická funkce čtverců, další Dirichletova konvoluce vede k generalizované σ-funkce,
- .
Reference
externí odkazy
Viz také
- Goro Shimura (1971). Úvod do aritmetické teorie automorfních funkcí. Princeton. (strana 25, rovnice (1))
- Carella, N. A. (2010). "Celá čísla bez hranic a extrémní hodnoty některých aritmetických funkcí". arXiv:1012.4817.
- Mathar, Richard J. (2011). "Průzkum Dirichletovy řady multiplikativních aritmetických funkcí". arXiv:1106.4038. Oddíl 3.13.2
- OEIS: A065958 je ψ2, OEIS: A065959 je ψ3, a OEIS: A065960 je ψ4