Ramanujans součet - Ramanujans sum - Wikipedia

v teorie čísel, pobočka matematika, Ramanujanova suma, obvykle označeno C_q(n), je funkcí dvou kladných celočíselných proměnných q a n definovaný vzorcem:

${ displaystyle c_ {q} (n) = součet _ {1 leq a leq q atop (a, q) = 1} e ^ {2 pi i { tfrac {a} {q}} n },}$

kde (A, q) = 1 to znamená A přebírá pouze hodnoty coprime na q.

Srinivasa Ramanujan zmínil tyto částky v referátu z roku 1918.^[1] Kromě expanzí popsaných v tomto článku jsou v důkazu použity Ramanujanovy částky Vinogradovova věta že každé dostatečně velké liché číslo je součtem tří připraví.^[2]

Zápis

Pro celá čísla A a b, ${ displaystyle a mid b}$ je přečteno "A rozděluje b„a znamená, že existuje celé číslo C takhle b = ac. Podobně, ${ displaystyle a nmid b}$ je přečteno "A nedělí b". Symbol součtu

${ displaystyle suma _ {d , střední , m} f (d)}$

znamená, že d prochází všemi kladnými děliteli m, např.

${ Displaystyle suma _ {d , střední , 12} f (d) = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (6) + f (12) .}$

${ displaystyle (a, , b)}$ je největší společný dělitel,

${ displaystyle phi (n)}$ je Eulerova totientová funkce,

${ displaystyle mu (n)}$ je Möbiova funkce, a

${ displaystyle zeta (s)}$ je Funkce Riemann zeta.

Vzorce pro C_q(n)

Trigonometrie

Tyto vzorce pocházejí z definice, Eulerův vzorec ${ displaystyle e ^ {ix} = cos x + i sin x,}$ a elementární trigonometrické identity.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} c_ {1} (n) & = 1 c_ {2} (n) & = cos n pi c_ {3} (n) & = 2 cos { tfrac {2} {3}} n pi c_ {4} (n) & = 2 cos { tfrac {1} {2}} n pi c_ {5} (n) & = 2 cos { tfrac {2} {5}} n pi +2 cos { tfrac {4} {5}} n pi c_ {6} (n) & = 2 cos { tfrac {1} {3}} n pi c_ {7} (n) & = 2 cos { tfrac {2} {7}} n pi +2 cos { tfrac {4} {7} } n pi +2 cos { tfrac {6} {7}} n pi c_ {8} (n) & = 2 cos { tfrac {1} {4}} n pi +2 cos { tfrac {3} {4}} n pi c_ {9} (n) & = 2 cos { tfrac {2} {9}} n pi +2 cos { tfrac { 4} {9}} n pi +2 cos { tfrac {8} {9}} n pi c_ {10} (n) & = 2 cos { tfrac {1} {5}} n pi +2 cos { tfrac {3} {5}} n pi end {zarovnáno}}}$

a tak dále (OEIS: A000012, OEIS: A033999, OEIS: A099837, OEIS: A176742,.., OEIS: A100051, ...) Ukazují to C_q(n) je vždy skutečný.

Kluyver

Nechat ${ displaystyle zeta _ {q} = e ^ { frac {2 pi i} {q}}.}$ Pak ζ_q je kořen rovnice X^q − 1 = 0. Každá ze svých sil,

${ displaystyle zeta _ {q}, zeta _ {q} ^ {2}, ldots, zeta _ {q} ^ {q-1}, zeta _ {q} ^ {q} = zeta _ {q} ^ {0} = 1}$

je také kořen. Proto, protože existují q z nich jsou všechny kořeny. Čísla ${ displaystyle zeta _ {q} ^ {n}}$ kde 1 ≤ n ≤ q se nazývají q-th kořeny jednoty. ζ_q se nazývá a primitivní q-tý kořen jednoty, protože nejmenší hodnota n to dělá ${ displaystyle zeta _ {q} ^ {n} = 1}$ je q. Druhý primitivní q-tým kořenem jednoty jsou čísla ${ displaystyle zeta _ {q} ^ {a}}$ kde (A, q) = 1. Proto existují φ (q) primitivní q-té kořeny jednoty.

To znamená součet Ramanujan C_q(n) je součet n-tá síla primitiva q-té kořeny jednoty.

Je to fakt^[3] že pravomoci ζ_q jsou přesně primitivní kořeny pro všechny dělitele q.

Příklad. Nechat q = 12. Pak

${ displaystyle zeta _ {12}, zeta _ {12} ^ {5}, zeta _ {12} ^ {7},}$ a ${ displaystyle zeta _ {12} ^ {11}}$ jsou primitivní dvanácté kořeny jednoty,

${ displaystyle zeta _ {12} ^ {2}}$ a ${ displaystyle zeta _ {12} ^ {10}}$ jsou primitivní šesté kořeny jednoty,

${ displaystyle zeta _ {12} ^ {3} = i}$ a ${ displaystyle zeta _ {12} ^ {9} = - i}$ jsou primitivní čtvrté kořeny jednoty,

${ displaystyle zeta _ {12} ^ {4}}$ a ${ displaystyle zeta _ {12} ^ {8}}$ jsou primitivní třetí kořeny jednoty,

${ displaystyle zeta _ {12} ^ {6} = - 1}$ je primitivní druhý kořen jednoty a

${ displaystyle zeta _ {12} ^ {12} = 1}$ je primitivní první kořen jednoty.

Proto pokud

${ displaystyle eta _ {q} (n) = součet _ {k = 1} ^ {q} zeta _ {q} ^ {kn}}$

je součet n-tá síla všech kořenů, primitivní i nepimitivní,

${ displaystyle eta _ {q} (n) = součet _ {d mid q} c_ {d} (n),}$

a tím Möbiova inverze,

${ displaystyle c_ {q} (n) = součet _ {d mid q} mu left ({ frac {q} {d}} right) eta _ {d} (n).}$

Vyplývá to z identity X^q − 1 = (X − 1)(X^q−1 + X^q−2 + ... + X + 1) to

${ displaystyle eta _ {q} (n) = { začátek {případů} 0 & q nmid n q & q mid n konec {případů}}}$

a to vede k vzorci

${ displaystyle c_ {q} (n) = součet _ {d mid (q, n)} mu doleva ({ frac {q} {d}} doprava) d,}$

publikoval Kluyver v roce 1906.^[4]

To ukazuje C_q(n) je vždy celé číslo. Porovnejte to se vzorcem

${ displaystyle phi (q) = součet _ {d mid q} mu doleva ({ frac {q} {d}} doprava) d.}$

von Sterneck

Z definice je to snadno patrné C_q(n) je multiplikativní když se považuje za funkci q pro pevnou hodnotu n:^[5] tj.

${ displaystyle { mbox {If}} ; (q, r) = 1 ; { mbox {pak}} ; c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} ( n).}$

Z definice (nebo Kluyverova vzorce) lze jednoznačně dokázat, že pokud p je prvočíslo,

${ displaystyle c_ {p} (n) = { začátek {případů} -1 & { mbox {if}} p nmid n phi (p) & { mbox {if}} p mid n end {cases}},}$

a pokud p^k je hlavní síla kde k > 1,

${ displaystyle c_ {p ^ {k}} (n) = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} p ^ {k-1} nmid n - p ^ {k-1} & { mbox {if}} p ^ {k-1} mid n { mbox {and}} p ^ {k} nmid n phi (p ^ {k}) & { mbox {if} } p ^ {k} mid n end {cases}}.}$

Tento výsledek a multiplikativní vlastnost lze použít k prokázání

${ displaystyle c_ {q} (n) = mu left ({ frac {q} {(q, n)}} right) { frac { phi (q)} { phi left ({ frac {q} {(q, n)}} vpravo)}}.}$

Tomu se říká von Sterneckova aritmetická funkce.^[6] Rovnocennost toho a Ramanujanova součtu je způsobena Hölderem.^[7][8]

Další vlastnosti C_q(n)

Pro všechna kladná celá čísla q,

${ displaystyle { begin {zarovnané} c_ {1} (q) & = 1 c_ {q} (1) & = mu (q) c_ {q} (q) & = phi (q ) c_ {q} (m) & = c_ {q} (n) && { text {pro}} m ekviv n { pmod {q}} konec {zarovnáno}}}$

Pro pevnou hodnotu q absolutní hodnota sekvence ${ displaystyle {c_ {q} (1), c_ {q} (2), ldots }}$ je omezen φ (q) a pro pevnou hodnotu n absolutní hodnota sekvence ${ displaystyle {c_ {1} (n), c_ {2} (n), ldots }}$ je ohraničen n.

Li q > 1

${ displaystyle sum _ {n = a} ^ {a + q-1} c_ {q} (n) = 0.}$

Nechat m₁, m₂ > 0, m = lcm (m₁, m₂). Pak^[9] Ramanujanovy částky uspokojují vlastnost ortogonality:

${ displaystyle { frac {1} {m}} součet _ {k = 1} ^ {m} c_ {m_ {1}} (k) c_ {m_ {2}} (k) = { začátek { případy} phi (m) & m_ {1} = m_ {2} = m, 0 & { text {jinak}} end {případy}}}$

Nechat n, k > 0. Potom^[10]

${ displaystyle sum _ { stackrel {d mid n} { gcd (d, k) = 1}} d ; { frac { mu ({ tfrac {n} {d}})} { phi (d)}} = { frac { mu (n) c_ {n} (k)} { phi (n)}},}$

známý jako Brauer - Rademacher identita.

Li n > 0 a A je jakékoli celé číslo, máme také^[11]

${ displaystyle sum _ { stackrel {1 leq k leq n} { gcd (k, n) = 1}} c_ {n} (ka) = mu (n) c_ {n} (a) ,}$

kvůli Cohenovi.

Stůl

Expanze Ramanujan

Li F(n) je aritmetická funkce (tj. komplexní funkce celých čísel nebo přirozených čísel), pak a konvergentní nekonečná řada formuláře:

${ displaystyle f (n) = součet _ {q = 1} ^ { infty} a_ {q} c_ {q} (n)}$

nebo ve tvaru:

${ displaystyle f (q) = součet _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} c_ {q} (n)}$

Kde A_k ∈ C, se nazývá a Expanze Ramanujan^[12] z F(n).

Ramanujan našel rozšíření některých známých funkcí teorie čísel. Všechny tyto výsledky jsou dokázány „elementárním“ způsobem (tj. Pouze pomocí formálních manipulací řad a nejjednodušších výsledků o konvergenci).^[13][14][15]

Expanze nulová funkce závisí na výsledku analytické teorie prvočísel, konkrétně na řadě

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n}}}$

konverguje k 0 a výsledky pro r(n) a r′(n) závisí na větách v dřívější práci.^[16]

Všechny vzorce v této části pocházejí z práce Ramanujana z roku 1918.

Generování funkcí

The generující funkce částek Ramanujan je Dirichletova řada:

${ displaystyle zeta (s) součet _ { delta , střední , q} mu doleva ({ frac {q} { delta}} doprava) delta ^ {1-s} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {c_ {q} (n)} {n ^ {s}}}}$

je generující funkce pro sekvenci C_q(1), C_q(2), ... kde q je udržována konstantní a

${ displaystyle { frac { sigma _ {r-1} (n)} {n ^ {r-1} zeta (r)}} = součet _ {q = 1} ^ { infty} { frac {c_ {q} (n)} {q ^ {r}}}}$

je generující funkce pro sekvenci C₁(n), C₂(n), ... kde n je konstantní.

K dispozici je také dvojitá řada Dirichlet

${ displaystyle { frac { zeta (s) zeta (r + s-1)} { zeta (r)}} = součet _ {q = 1} ^ { infty} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {c_ {q} (n)} {q ^ {r} n ^ {s}}}.}$

σ_k(n)

σ_k(n) je funkce dělitele (tj. součet k-té pravomoci dělitelů n, včetně 1 a n). σ₀(n), počet dělitelů n, je obvykle psáno d(n) a σ₁(n), součet dělitelů n, je obvykle psáno σ (n).

Li s > 0,

${ displaystyle { begin {sladěno} sigma _ {s} (n) & = n ^ {s} zeta (s + 1) left ({ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {s + 1}}} + { frac {c_ {2} (n)} {2 ^ {s + 1}}} + { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s + 1 }}} + cdots right) sigma _ {- s} (n) & = zeta (s + 1) left ({ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {s +1}}} + { frac {c_ {2} (n)} {2 ^ {s + 1}}} + { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s + 1}} } + cdots right) end {zarovnáno}}}$

Nastavení s = 1 dává

${ displaystyle sigma (n) = { frac { pi ^ {2}} {6}} n vlevo ({ frac {c_ {1} (n)} {1}} + { frac {c_ {2} (n)} {4}} + { frac {c_ {3} (n)} {9}} + cdots right).}$

Pokud Riemannova hypotéza je pravda, a ${ displaystyle - { tfrac {1} {2}}$

${ displaystyle sigma _ {s} (n) = zeta (1-s) left ({ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {1-s}}} + { frac { c_ {2} (n)} {2 ^ {1-s}}} + { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {1-s}}} + cdots right) = n ^ {s} zeta (1 + s) left ({ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {1 + s}}} + { frac {c_ {2} (n)} {2 ^ {1 + s}}} + { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {1 + s}}} + cdots right).}$

d(n)

d(n) = σ₀(n) je počet dělitelů n, včetně 1 a n sám.

${ displaystyle { begin {aligned} -d (n) & = { frac { log 1} {1}} c_ {1} (n) + { frac { log 2} {2}} c_ { 2} (n) + { frac { log 3} {3}} c_ {3} (n) + cdots - d (n) (2 gamma + log n) & = { frac { log ^ {2} 1} {1}} c_ {1} (n) + { frac { log ^ {2} 2} {2}} c_ {2} (n) + { frac { log ^ {2} 3} {3}} c_ {3} (n) + cdots end {zarovnáno}}}$

kde γ = 0,5772 ... je Euler – Mascheroniho konstanta.

φ(n)

Eulerova totientová funkce φ (n) je počet kladných celých čísel menší než n a coprime n. Ramanujan definuje jeho zobecnění, pokud

${ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} p_ {2} ^ {a_ {2}} p_ {3} ^ {a_ {3}} cdots}$

je hlavní faktorizace n, a s je komplexní číslo, řekněme

${ displaystyle varphi _ {s} (n) = n ^ {s} (1-p_ {1} ^ {- s}) (1-p_ {2} ^ {- s}) (1-p_ {3 } ^ {- s}) cdots,}$

aby φ₁(n) = φ(n) je Eulerova funkce.^[17]

Dokazuje to

${ displaystyle { frac { mu (n) n ^ {s}} { varphi _ {s} (n) zeta (s)}} = součet _ { nu = 1} ^ { infty} { frac { mu (n nu)} { nu ^ {s}}}}$

a pomocí toho to ukazuje

${ displaystyle { frac { varphi _ {s} (n) zeta (s + 1)} {n ^ {s}}} = { frac { mu (1) c_ {1} (n)} { varphi _ {s + 1} (1)}} + { frac { mu (2) c_ {2} (n)} { varphi _ {s + 1} (2)}} + { frac { mu (3) c_ {3} (n)} { varphi _ {s + 1} (3)}} + cdots.}$

Pronájem s = 1,

${ displaystyle varphi (n) = { frac {6} { pi ^ {2}}} n vlevo (c_ {1} (n) - { frac {c_ {2} (n)} {2 ^ {2} -1}} - { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {2} -1}} - { frac {c_ {5} (n)} {5 ^ {2} -1}} + { frac {c_ {6} (n)} {(2 ^ {2} -1) (3 ^ {2} -1)}} - { frac {c_ {7} (n) } {7 ^ {2} -1}} + { frac {c_ {10} (n)} {(2 ^ {2} -1) (5 ^ {2} -1)}} - cdots right ).}$

Všimněte si, že konstanta je inverzní^[18] z toho ve vzorci pro σ (n).

Λ (n)

Funkce Von Mangoldta Λ (n) = 0 pokud n = p^k je mocnina prvočísla, v takovém případě se jedná o přirozený logaritmický log p.

${ displaystyle - Lambda (m) = c_ {m} (1) + { frac {1} {2}} c_ {m} (2) + { frac {1} {3}} c_ {m} (3) + cdots}$

Nula

Pro všechny n > 0,

${ displaystyle 0 = c_ {1} (n) + { frac {1} {2}} c_ {2} (n) + { frac {1} {3}} c_ {3} (n) + cdots.}$

To je ekvivalentní s věta o prvočísle.^[19][20]

r_2s(n) (součty čtverců)

r_2s(n) je počet způsobů reprezentace n jako součet 2s čtverce, počítání různých objednávek a znamení jako odlišných (např. r₂(13) = 8, jako 13 = (± 2)² + (±3)² = (±3)² + (±2)².)

Ramanujan definuje funkci δ_2s(n) a odkazuje na referát^[21] ve kterém to dokázal r_2s(n) = δ_2s(n) pro s = 1, 2, 3 a 4. Pro s > 4 ukazuje, že δ_2s(n) je dobrá aproximace r_2s(n).

s = 1 má speciální vzorec:

${ displaystyle delta _ {2} (n) = pi left ({ frac {c_ {1} (n)} {1}} - { frac {c_ {3} (n)} {3} } + { frac {c_ {5} (n)} {5}} - cdots right).}$

V následujících vzorcích se značky opakují s periodou 4.

${ displaystyle { begin {aligned} delta _ {2s} (n) & = { frac { pi ^ {s} n ^ {s-1}} {(s-1)!}} left ( { frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {s}}} + { frac {c_ {4} (n)} {2 ^ {s}}} + { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s}}} + { frac {c_ {8} (n)} {4 ^ {s}}} + { frac {c_ {5} (n)} {5 ^ { s}}} + { frac {c_ {12} (n)} {6 ^ {s}}} + { frac {c_ {7} (n)} {7 ^ {s}}} + { frac {c_ {16} (n)} {8 ^ {s}}} + cdots right) && s equiv 0 { pmod {4}} [6pt] delta _ {2s} (n) & = { frac { pi ^ {s} n ^ {s-1}} {(s-1)!}} left ({ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {s}}} - { frac {c_ {4} (n)} {2 ^ {s}}} + { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s}}} - { frac {c_ {8 } (n)} {4 ^ {s}}} + { frac {c_ {5} (n)} {5 ^ {s}}} - { frac {c_ {12} (n)} {6 ^ {s}}} + { frac {c_ {7} (n)} {7 ^ {s}}} - { frac {c_ {16} (n)} {8 ^ {s}}} + cdots right) && s equiv 2 { pmod {4}} [6pt] delta _ {2s} (n) & = { frac { pi ^ {s} n ^ {s-1}} {( s-1)!}} left ({ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {s}}} + { frac {c_ {4} (n)} {2 ^ {s}} } - { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s}}} + { frac {c_ {8} (n)} {4 ^ {s}}} + { frac {c_ { 5} (n)} {5 ^ {s}}} + { frac {c_ {12} (n)} {6 ^ {s}}} - { frac {c_ {7} (n)} {7 ^ {s}}} + { frac {c_ {16} (n)} {8 ^ {s}}} + cdots right) && s equiv 1 { pmod {4}} { text {and} } s> 1 [6pt] delta _ {2s} (n) & = { frac { pi ^ {s} n ^ {s-1}} {(s-1)!}} left ({ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {s}}} - { frac {c_ {4} (n)} {2 ^ {s}}} - { frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s}}} - { frac {c_ {8} (n) } {4 ^ {s}}} + { frac {c_ {5} (n)} {5 ^ {s}}} - { frac {c_ {12} (n)} {6 ^ {s}} } - { frac {c_ {7} (n)} {7 ^ {s}}} - { frac {c_ {16} (n)} {8 ^ {s}}} + cdots right) && s equiv 3 { pmod {4}} konec {zarovnáno}}}$

a proto,

${ displaystyle { begin {aligned} r_ {2} (n) & = pi left ({ frac {c_ {1} (n)} {1}} - { frac {c_ {3} (n )} {3}} + { frac {c_ {5} (n)} {5}} - { frac {c_ {7} (n)} {7}} + { frac {c_ {11} ( n)} {11}} - { frac {c_ {13} (n)} {13}} + { frac {c_ {15} (n)} {15}} - { frac {c_ {17} (n)} {17}} + cdots right) [6pt] r_ {4} (n) & = pi ^ {2} n left ({ frac {c_ {1} (n)} {1}} - { frac {c_ {4} (n)} {4}} + { frac {c_ {3} (n)} {9}} - { frac {c_ {8} (n) } {16}} + { frac {c_ {5} (n)} {25}} - { frac {c_ {12} (n)} {36}} + { frac {c_ {7} (n )} {49}} - { frac {c_ {16} (n)} {64}} + cdots right) [6pt] r_ {6} (n) & = { frac { pi ^ {3} n ^ {2}} {2}} left ({ frac {c_ {1} (n)} {1}} - { frac {c_ {4} (n)} {8}} - { frac {c_ {3} (n)} {27}} - { frac {c_ {8} (n)} {64}} + { frac {c_ {5} (n)} {125}} - { frac {c_ {12} (n)} {216}} - { frac {c_ {7} (n)} {343}} - { frac {c_ {16} (n)} {512} } + cdots right) [6pt] r_ {8} (n) & = { frac { pi ^ {4} n ^ {3}} {6}} left ({ frac {c_ { 1} (n)} {1}} + { frac {c_ {4} (n)} {16}} + { frac {c_ {3} (n)} {81}} + { frac {c_ {8} (n)} {256}} + { frac {c_ {5} (n)} {625}} + { frac {c_ {12} (n)} {1296}} + { frac { c_ {7} (n)} {2401}} + { frac {c_ {16} (n)} {4096}} + cdots right) end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle r '_ {2s} (n)}$ (součty trojúhelníků)

${ displaystyle r '_ {2s} (n)}$ je počet způsobů n lze vyjádřit jako součet 2s trojúhelníková čísla (tj. čísla 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; n-té trojúhelníkové číslo je dáno vzorcem n(n + 1)/2.)

Analýza zde je podobná analýze pro čtverce. Ramanujan odkazuje na stejný papír jako on pro čtverce, kde ukázal, že existuje funkce ${ displaystyle delta '_ {2s} (n)}$ takhle ${ displaystyle r '_ {2s} (n) = delta' _ {2s} (n)}$ pro s = 1, 2, 3 a 4, a to pro s > 4, ${ displaystyle delta '_ {2s} (n)}$ je dobrá aproximace ${ displaystyle r '_ {2s} (n).}$

Znovu, s = 1 vyžaduje speciální vzorec:

${ displaystyle delta '_ {2} (n) = { frac { pi} {4}} vlevo ({ frac {c_ {1} (4n + 1)} {1}} - { frac {c_ {3} (4n + 1)} {3}} + { frac {c_ {5} (4n + 1)} {5}} - { frac {c_ {7} (4n + 1)} { 7}} + cdots right).}$

Li s je násobkem 4,

${ displaystyle { begin {aligned} delta '_ {2s} (n) & = { frac {({ frac { pi} {2}}) ^ {s}} {(s-1)! }} left (n + { frac {s} {4}} right) ^ {s-1} left ({ frac {c_ {1} (n + { frac {s} {4}})} {1 ^ {s}}} + { frac {c_ {3} (n + { frac {s} {4}})} {3 ^ {s}}} + { frac {c_ {5} (n + { frac {s} {4}})} {5 ^ {s}}} + cdots right) && s equiv 0 { pmod {4}} [6pt] delta '_ {2s} ( n) & = { frac {({ frac { pi} {2}}) ^ {s}} {(s-1)!}} left (n + { frac {s} {4}} vpravo) ^ {s-1} vlevo ({ frac {c_ {1} (2n + { frac {s} {2}})} {1 ^ {s}}} + { frac {c_ {3} (2n + { frac {s} {2}})} {3 ^ {s}}} + { frac {c_ {5} (2n + { frac {s} {2}})} {5 ^ {s }}} + cdots right) && s equiv 2 { pmod {4}} [6pt] delta '_ {2s} (n) & = { frac {({ frac { pi} { 2}}) ^ {s}} {(s-1)!}} Left (n + { frac {s} {4}} right) ^ {s-1} left ({ frac {c_ { 1} (4n + s)} {1 ^ {s}}} - { frac {c_ {3} (4n + s)} {3 ^ {s}}} + { frac {c_ {5} (4n + s)} {5 ^ {s}}} - cdots right) && s equiv 1 { pmod {2}} { text {and}} s> 1 end {zarovnáno}}}$

Proto,

${ displaystyle { begin {aligned} r '_ {2} (n) & = { frac { pi} {4}} left ({ frac {c_ {1} (4n + 1)} {1 }} - { frac {c_ {3} (4n + 1)} {3}} + { frac {c_ {5} (4n + 1)} {5}} - { frac {c_ {7} ( 4n + 1)} {7}} + cdots right) [6pt] r '_ {4} (n) & = left ({ frac { pi} {2}} right) ^ { 2} left (n + { frac {1} {2}} right) left ({ frac {c_ {1} (2n + 1)} {1}} + { frac {c_ {3} ( 2n + 1)} {9}} + { frac {c_ {5} (2n + 1)} {25}} + cdots right) [6pt] r '_ {6} (n) & = { frac {({ frac { pi} {2}}) ^ {3}} {2}} left (n + { frac {3} {4}} right) ^ {2} left ( { frac {c_ {1} (4n + 3)} {1}} - { frac {c_ {3} (4n + 3)} {27}} + { frac {c_ {5} (4n + 3 )} {125}} - cdots right) [6pt] r '_ {8} (n) & = { frac {({ frac { pi} {2}}) ^ {4}} {6}} (n + 1) ^ {3} left ({ frac {c_ {1} (n + 1)} {1}} + { frac {c_ {3} (n + 1)} { 81}} + { frac {c_ {5} (n + 1)} {625}} + cdots right) end {zarovnáno}}}$

Součty

Nechat

${ displaystyle { begin {zarovnáno} T_ {q} (n) & = c_ {q} (1) + c_ {q} (2) + cdots + c_ {q} (n) U_ {q} (n) & = T_ {q} (n) + { tfrac {1} {2}} phi (q) end {zarovnáno}}}$

Pak pro s > 1,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sigma _ {- s} (1) + cdots + sigma _ {- s} (n) & = zeta (s + 1) left (n + { frac { T_ {2} (n)} {2 ^ {s + 1}}} + { frac {T_ {3} (n)} {3 ^ {s + 1}}} + { frac {T_ {4} (n)} {4 ^ {s + 1}}} + cdots right) & = zeta (s + 1) left (n + { tfrac {1} {2}} + { frac { U_ {2} (n)} {2 ^ {s + 1}}} + { frac {U_ {3} (n)} {3 ^ {s + 1}}} + { frac {U_ {4} (n)} {4 ^ {s + 1}}} + cdots right) - { tfrac {1} {2}} zeta (s) d (1) + cdots + d (n) & = - { frac {T_ {2} (n) log 2} {2}} - { frac {T_ {3} (n) log 3} {3}} - { frac {T_ {4 } (n) log 4} {4}} - cdots d (1) log 1+ cdots + d (n) log n & = - { frac {T_ {2} (n) (2 gamma log 2- log ^ {2} 2)} {2}} - { frac {T_ {3} (n) (2 gamma log 3- log ^ {2} 3)} {3 }} - { frac {T_ {4} (n) (2 gamma log 4- log ^ {2} 4)} {4}} - cdots r_ {2} (1) + cdots + r_ {2} (n) & = pi left (n - { frac {T_ {3} (n)} {3}} + { frac {T_ {5} (n)} {5}} - { frac {T_ {7} (n)} {7}} + cdots right) end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Gaussovské období
• Kloosterman součet

Poznámky

Reference

• Hardy, G. H. (1999), Ramanujan: Dvanáct přednášek o předmětech navržených jeho životem a dílem, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN  978-0-8218-2023-0

• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979) [1938]. Úvod do teorie čísel (5. vydání). Oxford: Clarendon Press. ISBN  0-19-853171-0. PAN  0568909. Zbl  0423.10001.
• Knopfmacher, John (1990) [1975], Abstraktní teorie analytických čísel (2. vyd.), New York: Dover, ISBN  0-486-66344-2, Zbl  0743.11002

• Nathanson, Melvyn B. (1996), Teorie aditivních čísel: klasické základy, Postgraduální texty z matematiky, 164, Springer-Verlag, oddíl A.7, ISBN  0-387-94656-X, Zbl  0859.11002.
• Nicol, C. A. (1962). "Některé vzorce zahrnující částky Ramanujan". Umět. J. Math. 14: 284–286. doi:10.4153 / CJM-1962-019-8.

• Ramanujan, Srinivasa (1918), „O určitých trigonometrických částkách a jejich aplikacích v teorii čísel“, Transakce Cambridge Philosophical Society, 22 (15): 259–276 (str. 179–199 jeho Shromážděné dokumenty)

• Ramanujan, Srinivasa (1916), „O určitých aritmetických funkcích“, Transakce Cambridge Philosophical Society, 22 (9): 159–184 (str. 136–163 jeho Shromážděné dokumenty)

• Ramanujan, Srinivasa (2000), Shromážděné dokumenty, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN  978-0-8218-2076-6

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Aritmetické funkce. Úvod do základních a analytických vlastností aritmetických funkcí a některých jejich téměř periodických vlastností, Série přednášek London Mathematical Society, 184, Cambridge University Press, ISBN  0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

externí odkazy

• Tóth, László (2011). "Součty produktů součtu Ramanujan". ANNALI DELL'UNIVERSITA 'DI FERRARA. 58: 183–197. arXiv:1104.1906. doi:10.1007 / s11565-011-0143-3.