Dirichletova postava - Dirichlet character

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika konkrétně teorie čísel, Dirichletovy postavy jsou si jistí aritmetické funkce které vznikají z zcela multiplikativní postavy na Jednotky z ${ displaystyle mathbb {Z} / k mathbb {Z}}$. K definování se používají znaky Dirichlet Dirichlet L-funkce, což jsou meromorfní funkce s řadou zajímavých analytických vlastností.

Li ${ displaystyle chi}$ je Dirichletova postava, definuje její Dirichlet L-series by

${ displaystyle L (s, chi) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}}}$

kde s je komplexní číslo s skutečná část > 1. Podle analytické pokračování, tento funkce lze rozšířit na meromorfní funkci jako celek složité letadlo. Dirichlet L-funkce jsou zobecněním Riemannova funkce zeta a objeví se prominentně v zobecněná Riemannova hypotéza.

Dirichlet postavy jsou pojmenovány na počest Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Později byly zobecněny Erich Hecke na Hecke postavy (také známý jako Grössencharacter).

Axiomatická definice

Říkáme, že a funkce ${ displaystyle chi}$ z celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ do komplexní čísla ${ displaystyle mathbb {C}}$ je Dirichletův znak, pokud má následující vlastnosti:^[1]

1. Existuje kladné celé číslo k takové, že χ (n) = χ (n + k) pro všechna celá čísla n.
2. Li gcd (n, k)> 1 pak χ (n) = 0; pokud gcd (n, k) = 1 pak χ (n) ≠ 0.
3. χ (mn) = χ (m) χ (n) pro všechna celá čísla m a n.

Z této definice lze odvodit několik dalších vlastností. Podle vlastnosti 3, χ (1) = χ (1 × 1) = χ (1) χ (1). Od gcd (1,k) = 1, vlastnost 2 říká χ (1) ≠ 0, takže

4. χ (1) = 1.

Vlastnosti 3 a 4 ukazují, že každý Dirichletův znak χ je zcela multiplikativní.

Vlastnost 1 říká, že postava je periodicky s tečkou k; říkáme to ${ displaystyle chi}$ je postava pro modul k. To se rovná tomu, že se to říká

5. Li A ≡ b (mod k) pak χ (A) = χ (b).

Pokud gcd (A, k) = 1, Eulerova věta říká to A^{φ (k)} ≡ 1 (mod k) (kde φ (k) je totient funkce ). Proto podle vlastností 5 a 4, χ (A^{φ (k)}) = χ (1) = 1, a o 3, χ (A^{φ (k)}) = χ (A)^{φ (k)}. Tak

6. Pro všechny A relativně prime na k, χ (A) je φ (k) -tý komplex kořen jednoty, tj. ${ displaystyle e ^ {2ri pi / varphi (k)}}$ pro celé číslo 0 ≤ r <φ (k).

Jedinečný charakter období 1 se nazývá triviální charakter. Všimněte si, že jakýkoli znak zmizí na 0 kromě triviálního, což je 1 na všech celých číslech.

Volá se postava ředitel školy pokud předpokládá hodnotu 1 pro argumenty coprime k jeho modulu a jinak je 0.^[2] Volá se postava nemovitý pokud předpokládá pouze skutečné hodnoty. Volá se znak, který není skutečný komplex.^[3]

The podepsat postavy ${ displaystyle chi}$ závisí na jeho hodnotě při -1. Konkrétně ${ displaystyle chi}$ se říká, že je zvláštní -li ${ displaystyle chi (-1) = - 1}$ a dokonce -li ${ displaystyle chi (-1) = 1}$.

Konstrukce pomocí tříd reziduí

Znaky Dirichlet lze zobrazit z hlediska skupina znaků z skupina jednotek z prsten Z/kZ, tak jako znaky rozšířené třídy zbytku.^[4]

Třídy reziduí

Dáno celé číslo k, jeden definuje třída zbytků celého čísla n jako množina všech celých čísel shodných s n modulo k:${ displaystyle { hat {n}} = {x mid x equiv n ({ text {mod}} k) }.}$ To je třída reziduí ${ displaystyle { hat {n}}}$ je coset z n v kvocientový kroužek Z/kZ.

Sada jednotek modulo k tvoří abelianská skupina řádu ${ displaystyle varphi (k)}$, kde násobení skupin je dáno vztahem ${ displaystyle { widehat {mn}} = { hat {m}} { hat {n}}}$ a ${ displaystyle varphi}$ znovu označuje Eulerova phi funkce. Identita v této skupině je třída reziduí ${ displaystyle { hat {1}}}$ a inverzní k ${ displaystyle { hat {m}}}$ je třída reziduí ${ displaystyle { hat {n}}}$ kde ${ displaystyle { hat {m}} { hat {n}} = { hat {1}}}$, tj., ${ displaystyle mn equiv 1 mod k}$. Například pro k= 6, sada jednotek je ${ displaystyle {{ hat {1}}, { hat {5}} }}$ protože 0, 2, 3 a 4 nejsou coprime na 6.

Skupina znaků (Z/k)^* se skládá z znaky zbytkové třídy. Znak třídy zbytku θ na (Z/k)^* je primitivní pokud neexistuje řádný dělitel d z k tak, že θ faktory jako mapa (Z/k)^* → (Z/d)^* → C^*, kde první šipka je přirozená "modifikace d "mapa.^[5]

Dirichletovy postavy

Definice Dirichletova znakového modulu k zajišťuje, že se omezuje na a charakter skupiny jednotek modulo k:^[6] skupinový homomorfismus ${ displaystyle chi}$ z (Z/kZ)^* na nenulová komplexní čísla

${ displaystyle chi: ( mathbb {Z} / k mathbb {Z}) ^ {*} do mathbb {C} ^ {*}}$,

s hodnotami, které jsou nutně kořeny jednoty, protože jednotky jsou modulo k tvoří konečnou skupinu. V opačném směru, vzhledem ke skupině homomorfismus ${ displaystyle chi}$ na skupině jednotek modulo k, můžeme výtah do a zcela multiplikativní funkce na celá čísla relativně prime to k a poté rozšířit tuto funkci na všechna celá čísla definováním hodnoty 0 na celá čísla mající netriviální faktor společný s k. Výslednou funkcí pak bude Dirichletův znak.^[7]

The hlavní postava ${ displaystyle chi _ {0}}$ modulo k má vlastnosti^[7]

${ displaystyle chi _ {0} (n) = 1}$ pokud gcd (n, k) = 1 a

${ displaystyle chi _ {0} (n) = 0}$ pokud gcd (n, k) > 1.

Přidružený charakter multiplikativní skupiny (Z/kZ)^* je ředitel školy znak, který má vždy hodnotu 1.^[8]

Když k je 1, hlavní znak modulo k se rovná 1 u všech celých čísel. Pro k větší než 1, hlavní znak modulo k mizí v celých číslech, které mají netriviální společný faktor k a je 1 v jiných celých číslech.

Existují φ (n) Dirichletovy znaky modulo n.^[7]

Ekvivalentní definice

Existuje několik způsobů definování Dirichletových znaků na základě dalších vlastností, které tyto funkce uspokojují.

Sárközyho stav^[9]

Znak Dirichlet je zcela multiplikativní funkce ${ displaystyle f: mathbb {N} rightarrow mathbb {C}}$ který splňuje a lineární relace rekurence: tedy pokud ${ displaystyle a_ {1} f (n + b_ {1}) + cdots + a_ {k} f (n + b_ {k}) = 0}$

pro všechna kladná čísla ${ displaystyle n}$, kde ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {k}}$ nejsou všechny nulové a ${ displaystyle b_ {1}, ldots, b_ {k}}$ jsou tedy odlišné ${ displaystyle f}$ je Dirichletova postava.

Chudakovův stav

Znak Dirichlet je zcela multiplikativní funkce ${ displaystyle f: mathbb {N} rightarrow mathbb {C}}$ splňující následující tři vlastnosti: a) ${ displaystyle f}$ bere jen konečně mnoho hodnot; b) ${ displaystyle f}$ zmizí jen na konečně mnoho prvočísel; c) existuje ${ displaystyle alpha in mathbb {C}}$ pro zbytek

${ displaystyle left | sum _ {n leq x} f (n) - alpha x right |}$

je jednotně ohraničený, jako ${ displaystyle x rightarrow infty}$. Tuto ekvivalentní definici Dirichletových postav vymyslel Chudakov^[10] v roce 1956 a v roce 2017 prokázali Klurman a Mangerel.^[11]

Několik tabulek znaků

Následující tabulky pomáhají ilustrovat povahu Dirichletova znaku. Představují všechny znaky od modulu 1 do modulu 12. Znaky χ₀ jsou hlavní postavy.

Modul 1

Tady je ${ displaystyle varphi (1) = 1}$ znakový modul 1:

χ n	0
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (0), protože 0 generuje skupinu jednotek modulo 1.

Toto je triviální postava.

Dirichlet L-series for ${ displaystyle chi _ {0} (n)}$ je Funkce Riemann zeta

${ displaystyle zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}} = { frac {1} {1 ^ {s}} } + { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} + { frac {1} {4 ^ {s}}} + cdots}$.

Modul 2

Tady je ${ displaystyle varphi (2) = 1}$ znak modulo 2:

χ n	0	1
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (1), protože 1 generuje skupinu jednotek modulo 2.

Dirichlet L-series for ${ displaystyle chi _ {0} (n)}$ je funkce Dirichlet lambda (úzce související s Funkce Dirichlet eta )

${ displaystyle L ( chi _ {0}, s) = (1-2 ^ {- s}) zeta (s) ,}$

Modul 3

Existují ${ displaystyle varphi (3) = 2}$ znaky modulo 3:

χ n	0	1	2
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	−1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (2), protože 2 generuje skupinu jednotek modulo 3.

Modul 4

Existují ${ displaystyle varphi (4) = 2}$ znaky modulo 4:

χ n	0	1	2	3
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	0	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	0	−1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (3), protože 3 generuje skupinu jednotek modulo 4.

Dirichlet L-series for ${ displaystyle chi _ {0} (n)}$ je funkce Dirichlet lambda (úzce související s Funkce Dirichlet eta )

${ displaystyle L ( chi _ {0}, s) = (1-2 ^ {- s}) zeta (s) ,}$

kde ${ displaystyle zeta (s)}$ je Riemannova zeta funkce. The L-series for ${ displaystyle chi _ {1} (n)}$ je Dirichletova beta funkce

${ displaystyle L ( chi _ {1}, s) = beta (s). ,}$

Modul 5

Existují ${ displaystyle varphi (5) = 4}$ znaků modulo 5. V následující tabulce i je imaginární jednotka.

χ n	0	1	2	3	4
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	1	1	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	i	−i	−1
${ displaystyle chi _ {2} (n)}$	0	1	−1	−1	1
${ displaystyle chi _ {3} (n)}$	0	1	−i	i	−1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (2) a χ (3), protože 2 a 3 generují skupinu jednotek modulo 5.

Modul 6

Existují ${ displaystyle varphi (6) = 2}$ znaky modulo 6:

χ n	0	1	2	3	4	5
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	0	0	0	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	0	0	0	−1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (5), protože 5 generuje skupinu jednotek modulo 6.

Modul 7

Existují ${ displaystyle varphi (7) = 6}$ znaků modulo 7. V tabulce níže ${ displaystyle omega = e ^ {i pi / 3}.}$

χ n	0	1	2	3	4	5	6
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	1	1	1	1	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	ω2	ω	ω	ω2	1
${ displaystyle chi _ {2} (n)}$	0	1	ω	ω2	ω2	ω	1
${ displaystyle chi _ {3} (n)}$	0	1	1	−1	1	−1	−1
${ displaystyle chi _ {4} (n)}$	0	1	ω2	−ω	ω	−ω2	−1
${ displaystyle chi _ {5} (n)}$	0	1	ω	−ω2	ω2	−ω	−1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (3), protože 3 generuje skupinu jednotek modulo 7.

Modul 8

Existují ${ displaystyle varphi (8) = 4}$ znaky modulo 8.

χ n	0	1	2	3	4	5	6	7
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	0	1	0	1	0	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	0	1	0	−1	0	−1
${ displaystyle chi _ {2} (n)}$	0	1	0	−1	0	1	0	−1
${ displaystyle chi _ {3} (n)}$	0	1	0	−1	0	−1	0	1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (3) a χ (5), protože 3 a 5 generují skupinu jednotek modulo 8.

Modul 9

Existují ${ displaystyle varphi (9) = 6}$ znaků modulo 9. V tabulce níže ${ displaystyle omega = e ^ {i pi / 3}.}$

χ n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	1	0	1	1	0	1	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	ω	0	ω2	−ω2	0	−ω	−1
${ displaystyle chi _ {2} (n)}$	0	1	ω2	0	−ω	−ω	0	ω2	1
${ displaystyle chi _ {3} (n)}$	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1
${ displaystyle chi _ {4} (n)}$	0	1	−ω	0	ω2	ω2	0	−ω	1
${ displaystyle chi _ {5} (n)}$	0	1	−ω2	0	−ω	ω	0	ω2	−1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (2), protože 2 generuje skupinu jednotek modulo 9.

Modul 10

Existují ${ displaystyle varphi (10) = 4}$ znaků modulo 10. V tabulce níže i je imaginární jednotka.

χ n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	0	i	0	0	0	−i	0	−1
${ displaystyle chi _ {2} (n)}$	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1
${ displaystyle chi _ {3} (n)}$	0	1	0	−i	0	0	0	i	0	−1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (3), protože 3 generuje skupinu jednotek modulo 10.

Modul 11

Existují ${ displaystyle varphi (11) = 10}$ znaky modulo 11. V tabulce níže ${ displaystyle omega = e ^ {i pi / 5}.}$

χ n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	ω	ω3	ω2	ω4	ω4	ω2	ω3	ω	1
${ displaystyle chi _ {2} (n)}$	0	1	ω2	ω	ω4	ω3	ω3	ω4	ω	ω2	1
${ displaystyle chi _ {3} (n)}$	0	1	ω3	ω4	ω	ω2	ω2	ω	ω4	ω3	1
${ displaystyle chi _ {4} (n)}$	0	1	ω4	ω2	ω3	ω	ω	ω3	ω2	ω4	1
${ displaystyle chi _ {5} (n)}$	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1
${ displaystyle chi _ {6} (n)}$	0	1	−ω	ω3	ω2	ω4	−ω4	−ω2	−ω3	ω	−1
${ displaystyle chi _ {7} (n)}$	0	1	−ω2	ω	ω4	ω3	−ω3	−ω4	−ω	ω2	−1
${ displaystyle chi _ {8} (n)}$	0	1	−ω3	ω4	ω	ω2	−ω2	−ω	−ω4	ω3	−1
${ displaystyle chi _ {9} (n)}$	0	1	−ω4	ω2	ω3	ω	−ω	−ω3	−ω2	ω4	−1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (2), protože 2 generuje skupinu jednotek modulo 11.

Modul 12

Existují ${ displaystyle varphi (12) = 4}$ znaky modulo 12.

χ n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
${ displaystyle chi _ {0} (n)}$	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1
${ displaystyle chi _ {1} (n)}$	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1
${ displaystyle chi _ {2} (n)}$	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1
${ displaystyle chi _ {3} (n)}$	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	1

Všimněte si, že χ je zcela určeno χ (5) a χ (7), protože 5 a 7 generují skupinu jednotek modulo 12.

Příklady

Li p je zvláštní prvočíslo, pak funkce

${ displaystyle chi (n) = vlevo ({ frac {n} {p}} vpravo), }$ kde ${ displaystyle left ({ frac {n} {p}} right)}$ je Legendární symbol, je primitivní Dirichletova postava modulo p.^[12]

Obecněji, pokud m je kladné liché číslo, funkce

${ displaystyle chi (n) = vlevo ({ frac {n} {m}} vpravo), }$ kde ${ displaystyle left ({ frac {n} {m}} right)}$ je Jacobi symbol, je Dirichletova postava modulo m.^[12]

Toto jsou příklady skutečných postav. Obecně platí, že všechny skutečné postavy pocházejí z Symbol Kronecker.

Primitivní postavy a dirigent

Zbytky mod N dát vzniknout zbytkům mod M, pro jakýkoli faktor M z N, zahozením některých informací. Účinek na Dirichletovy znaky jde opačným směrem: pokud χ je znakový mod M, to indukuje znak χ * mod N pro jakýkoli násobek N z M. Postava je primitivní pokud není indukován žádným znakem menšího modulu.^[3]

Pokud χ je znakový mod n a d rozděluje n, pak říkáme, že modul d je indukovaný modul pro χ pokud A coprime na n a 1 mod d znamená χ (A)=1:^[13] ekvivalentně χ (A) = χ (b) kdykoli A, b jsou shodné mod d a každý coprime n.^[14] Znak je primitivní, pokud neexistuje menší indukovaný modul.^[14]

Můžeme to formalizovat odlišně definováním znaků χ₁ mod N₁ a χ₂ mod N₂ být společně vyškoleni pokud pro nějaký modul N takhle N₁ a N₂ oba rozdělit N máme χ₁(n) = χ₂(n) pro všechny n coprime na N: to znamená, že každý z χ vyvolává nějaký znak χ *₁ a χ₂. V takovém případě existuje znak modulo gcd N₁ a N₂ vyvolání obou χ₁ a χ_2. Toto je vztah rovnocennosti postav. Znak s nejmenším modulem ve smyslu dělitelnosti ve třídě ekvivalence je primitivní a tento nejmenší modul je dirigent postav ve třídě.

Nejasnost znaků může vést k chybě Eulerovy faktory v jejich L-funkce.

Ortogonalita znaků

The vztahy ortogonality pro znaky omezené skupinové převodu na Dirichletovy znaky.^[15] Pokud opravíme znak χ modulo n pak součet

${ displaystyle sum _ {a { bmod {n}}} chi (a) = 0 }$

pokud χ není jistina, v takovém případě je součet φ (n). Podobně, pokud opravíme třídu zbytků A modulo n a součet všech postav, které máme

${ displaystyle sum _ { chi} chi (a) = 0 }$

pokud ${ displaystyle a equiv 1 { pmod {n}}}$ v takovém případě je součet φ (n). Dedukujeme, že každá periodická funkce s periodou n podporováno ve třídách reziduí n je lineární kombinace Dirichletových znaků.^[16] Máme také vztah součtu znaků uvedený v kapitole 4 Davenportu

${ displaystyle { frac {1} { phi (q)}} sum _ { chi} { bar { chi}} (a) chi (n) = { begin {případů} 1, & { text {if}} n equiv a { pmod {q}} 0, & { text {jinak,}} end {případy}}}$

kde součet převezme všechny Dirichletovy znaky modulo nějaké pevné q, A a n jsou opraveny pomocí ${ displaystyle (a, q) = 1}$, a ${ displaystyle phi (q)}$ označuje Eulerovu totient funkce.

Dějiny

Dirichletovy postavy a jejich L-series představil Peter Gustav Lejeune Dirichlet, v roce 1831, aby prokázal Dirichletova věta o aritmetických postupech. Studoval pouze L- seriály opravdu s a hlavně jako s má tendenci k 1. Rozšíření těchto funkcí na komplexní s v celé komplexní rovině byla získána Bernhard Riemann v roce 1859.

Viz také

Reference

• Viz kapitola 6 Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001
• Apostol, T. M. (1971). "Některé vlastnosti zcela multiplikativních aritmetických funkcí". Americký matematický měsíčník. 78 (3): 266–271. doi:10.2307/2317522. JSTOR  2317522. PAN  0279053. Zbl  0209.34302.
• Davenport, Harold (1967). Multiplikativní teorie čísel. Přednášky z pokročilé matematiky. 1. Chicago: Markham. Zbl  0159.06303.
• Hasse, Helmute (1964). Vorlesungen über Zahlentheorie. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 59 (2. přepracované vydání). Springer-Verlag. PAN  0188128. Zbl  0123.04201. viz kapitola 13.
• Mathar, R. J. (2010). "Tabulka Dirichletovy řady L a hlavních funkcí zeta modulo pro malé moduly". arXiv:1008.2547 [math.NT ].
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplikativní teorie čísel. I. Klasická teorie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 97. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-84903-6. Zbl  1142.11001.
• Spira, Robert (1969). "Výpočet Dirichletových L-funkcí". Matematika výpočtu. 23 (107): 489–497. doi:10.1090 / S0025-5718-1969-0247742-X. PAN  0247742. Zbl  0182.07001.
• Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991). Algebraická teorie čísel. Cambridge studium pokročilé matematiky. 27. Cambridge University Press. ISBN  0-521-36664-X. Zbl  0744.11001.

externí odkazy

• "Dirichletova postava", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• "Dirichletovy postavy". v LMFDB