Funkce součtu čtverců - Sum of squares function - Wikipedia

v teorie čísel, funkce součtu čtverců je aritmetická funkce který udává počet reprezentace pro daný klad celé číslo n jako součet k čtverce, kde reprezentace, které se liší pouze v pořadí summands nebo ve znacích čísel, která jsou čtvercová, se počítají jako různá a jsou označena r_k(n).

Definice

The funkce je definován jako

${ displaystyle r_ {k} (n) = | {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k}) in mathbb {Z} ^ {k} : n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + cdots + a_ {k} ^ {2} } |}$

kde ${ displaystyle | , |}$ označuje mohutnost a soubor. Jinými slovy, r_k(n) je počet způsobů n lze napsat jako součet k čtverce.

Například, ${ displaystyle r_ {2} (1) = 4}$ od té doby ${ displaystyle 1 = 0 ^ {2} + ( pm 1) ^ {2} = ( pm 1) ^ {2} + 0 ^ {2}}$ kde každá částka má dvě kombinace znaků a také ${ displaystyle r_ {2} (2) = 4}$ od té doby ${ displaystyle 2 = ( pm 1) ^ {2} + ( pm 1) ^ {2}}$ se čtyřmi kombinacemi znaků. Na druhou stranu, ${ displaystyle r_ {2} (3) = 0}$ protože neexistuje způsob, jak reprezentovat 3 jako součet dvou čtverců.

Vzorce

k = 2

Počet způsobů zápisu a přirozené číslo protože součet dvou čtverců je dán vztahem r₂(n). Je to výslovně dáno

${ displaystyle r_ {2} (n) = 4 (d_ {1} (n) -d_ {3} (n))}$

kde d₁(n) je počet dělitele z n což jsou shodný až 1 modulo 4 a d₃(n) je počet dělitelů n které jsou shodné se 3 modulo 4. Pomocí součtů lze výraz zapsat jako:

${ displaystyle r_ {2} (n) = 4 součet _ {d mid n na vrcholu d , ekviv , 1,3 { pmod {4}}} (- 1) ^ {(d-1 ) / 2}}$

Prime faktorizace ${ displaystyle n = 2 ^ {g} p_ {1} ^ {f_ {1}} p_ {2} ^ {f_ {2}} cdots q_ {1} ^ {h_ {1}} q_ {2} ^ {h_ {2}} cdots}$, kde ${ displaystyle p_ {i}}$ jsou hlavní faktory formuláře ${ displaystyle p_ {i} equiv 1 { pmod {4}},}$ a ${ displaystyle q_ {i}}$ jsou hlavními faktory formy ${ displaystyle q_ {i} equiv 3 { pmod {4}}}$ dává jiný vzorec

${ displaystyle r_ {2} (n) = 4 (f_ {1} +1) (f_ {2} +1) cdots}$, pokud Všechno exponenty ${ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, cdots}$ jsou dokonce. Pokud jeden nebo více ${ displaystyle h_ {i}}$ jsou zvláštní, pak ${ displaystyle r_ {2} (n) = 0}$.

k = 3

Gauss dokázal, že pro a číslo bez čtverce n > 4,

${ displaystyle r_ {3} (n) = { begin {cases} 24h (-n), & { text {if}} n equiv 3 { pmod {8}}, 0 & { text { if}} n equiv 7 { pmod {8}}, 12h (-4n) & { text {jinak}}, end {případů}}}$

kde h(m) označuje číslo třídy celého čísla m.

k = 4

Počet způsobů, jak reprezentovat n protože součet čtyř čtverců byl způsoben Carl Gustav Jakob Jacobi a je to osmkrát součet všech jejích dělitelů, které nejsou dělitelné 4, tj.

${ displaystyle r_ {4} (n) = 8 součet _ {d , střední , n, 4 , nmid , d} d.}$

Zastupování n = 2^km, kde m je liché celé číslo, lze vyjádřit ${ displaystyle r_ {4} (n)}$ z hlediska funkce dělitele jak následuje:

${ displaystyle r_ {4} (n) = 8 sigma (2 ^ { min {k, 1 }} m).}$

k = 8

Jacobi také našel explicitní vzorec pro případ k = 8:

${ displaystyle r_ {8} (n) = 16 součet _ {d , střední , n} (- 1) ^ {n + d} d ^ {3}.}$

Generující funkce

The generující funkce z sekvence ${ displaystyle r_ {k} (n)}$ pro pevné k lze vyjádřit pomocí Funkce Jacobi theta:^[1]

${ displaystyle vartheta (0; q) ^ {k} = vartheta _ {3} ^ {k} (q) = součet _ {n = 0} ^ { infty} r_ {k} (n) q ^ {n},}$

kde

${ displaystyle vartheta (0; q) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} = 1 + 2q + 2q ^ {4} + 2q ^ {9 } + 2q ^ {16} + cdots.}$

Číselné hodnoty

Prvních 30 hodnot pro ${ displaystyle r_ {k} (n), ; k = 1, tečky, 8}$ jsou uvedeny v následující tabulce:

Viz také

• Jacobiho věta o čtyřech čtvercích

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Funkce součtu čtverců". MathWorld.