Cauchyho produkt - Cauchy product

v matematika, konkrétněji v matematická analýza, Cauchyho produkt je diskrétní konvoluce ze dvou nekonečná řada. Je pojmenována po francouzském matematikovi Augustin Louis Cauchy.

Definice

Produkt Cauchy se může vztahovat na nekonečné řady^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11]} nebo výkonové řady.^[12][13] Když to lidé aplikují na konečné posloupnosti^[14] nebo konečné řady, je to zneužitím jazyka: ve skutečnosti odkazují diskrétní konvoluce.

Konvergence problémy jsou diskutovány v další část.

Cauchyho produkt dvou nekonečných řad

Nechat ${ displaystyle textstyle sum _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i}}$ a ${ displaystyle textstyle sum _ {j = 0} ^ { infty} b_ {j}}$ být dva nekonečná řada se složitými termíny. Produkt Cauchy těchto dvou nekonečných řad je definován diskrétní konvolucí takto:

${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i} right) cdot left ( sum _ {j = 0} ^ { infty} b_ {j} right ) = součet _ {k = 0} ^ { infty} c_ {k}}$ kde ${ displaystyle c_ {k} = součet _ {l = 0} ^ {k} a_ {l} b_ {k-l}}$.

Cauchyho produkt dvou výkonových řad

Zvažte následující dva výkonová řada

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i} x ^ {i}}$ a ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ { infty} b_ {j} x ^ {j}}$

se složitými koeficienty ${ displaystyle {a_ {i} }}$ a ${ displaystyle {b_ {j} }}$. Produkt Cauchy těchto dvou výkonových řad je definován diskrétní konvolucí takto:

${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i} x ^ {i} right) cdot left ( sum _ {j = 0} ^ { infty} b_ {j} x ^ {j} right) = sum _ {k = 0} ^ { infty} c_ {k} x ^ {k}}$ kde ${ displaystyle c_ {k} = součet _ {l = 0} ^ {k} a_ {l} b_ {k-l}}$.

Konvergence a Mertensova věta

Nechat (A_n)_n≥0 a (b_n)_n≥0 být skutečné nebo složité sekvence. Dokázal to Franz Mertens to, pokud série ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n}}$ konverguje na A a ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} b_ {n}}$ konverguje k Ba alespoň jeden z nich absolutně konverguje, pak jejich produkt Cauchy konverguje k AB.^[15]

Nestačí, aby byly obě řady konvergentní; pokud jsou obě sekvence podmíněně konvergentní, produkt Cauchy nemusí konvergovat k produktu dvou řad, jak ukazuje následující příklad:

Příklad

Zvažte ty dva střídavé řady s

${ displaystyle a_ {n} = b_ {n} = { frac {(-1) ^ {n}} { sqrt {n + 1}}} ,,}$

které jsou pouze podmíněně konvergentní (divergence řady absolutních hodnot vyplývá z test přímého srovnání a divergence harmonická řada ). Podmínky jejich produktu Cauchy jsou dány vztahem

${ displaystyle c_ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} { frac {(-1) ^ {k}} { sqrt {k + 1}}} cdot { frac {( -1) ^ {nk}} { sqrt {n-k + 1}}} = (- 1) ^ {n} sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} { sqrt {(k + 1) (n-k + 1)}}}$

pro každé celé číslo n ≥ 0. Protože pro každého k ∈ {0, 1, ..., n} máme nerovnosti k + 1 ≤ n + 1 a n – k + 1 ≤ n + 1, pro druhou odmocninu ve jmenovateli to vyplývá √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1, proto proto, že existují n + 1 summands,

${ displaystyle | c_ {n} | geq sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} {n + 1}} = 1}$

pro každé celé číslo n ≥ 0. Proto, C_n nekonverguje k nule jako n → ∞, proto série (C_n)_n≥0 rozcházejí semestrální test.

Důkaz Mertensovy věty

Převzít bez ztráty obecnosti že série ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n}}$ absolutně konverguje. Definujte částečné částky

${ displaystyle A_ {n} = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i}, quad B_ {n} = sum _ {i = 0} ^ {n} b_ {i} quad { text {and}} quad C_ {n} = sum _ {i = 0} ^ {n} c_ {i}}$

s

${ displaystyle c_ {i} = součet _ {k = 0} ^ {i} a_ {k} b_ {i-k} ,.}$

Pak

${ displaystyle C_ {n} = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {n-i} B_ {i}}$

přeskupením, tedy

${ displaystyle C_ {n} = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {n-i} (B_ {i} -B) + A_ {n} B ,.}$

(1)

Opravit ε > 0. Od té doby ${ displaystyle textstyle suma _ {k v { mathbb {N}}} | a_ {k} | < infty}$ absolutní konvergencí a od té doby B_n konverguje k B tak jako n → ∞, existuje celé číslo N taková, že pro všechna celá čísla n ≥ N,

${ displaystyle | B_ {n} -B | leq { frac { varepsilon / 3} { sum _ {k in { mathbb {N}}} | a_ {k} | +1}}}$

(2)

(toto je jediné místo, kde se používá absolutní konvergence). Vzhledem k tomu, série (A_n)_n≥0 konverguje, jednotlivec A_n musí konvergovat k 0 pomocí semestrální test. Proto existuje celé číslo M taková, že pro všechna celá čísla n ≥ M,

${ displaystyle | a_ {n} | leq { frac { varepsilon} {3N ( sup _ {i in {0, dots, N-1 }} | B_ {i} -B | + 1)}} ,.}$

(3)

Také od té doby A_n konverguje k A tak jako n → ∞, existuje celé číslo L taková, že pro všechna celá čísla n ≥ L,

${ displaystyle | A_ {n} -A | leq { frac { varepsilon / 3} {| B | +1}} ,.}$

(4)

Pak pro všechna celá čísla n ≥ max {L, M + N}, použijte reprezentaci (1) pro C_n, rozdělte částku na dvě části, použijte nerovnost trojúhelníku pro absolutní hodnota a nakonec použijte tři odhady (2), (3) a (4) ukázat

${ displaystyle { begin {aligned} | C_ {n} -AB | & = { biggl |} sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {ni} (B_ {i} -B) + ( A_ {n} -A) B { biggr |} & leq sum _ {i = 0} ^ {N-1} underbrace {| a _ { underbrace { scriptstyle ni} _ { scriptscriptstyle geq M}} | , | B_ {i} -B |} _ { leq , varepsilon / (3N) { text {by (3)}}} + {} podzamykání { sum _ {i = N} ^ {n} | a_ {ni} | , | B_ {i} -B |} _ { leq , varepsilon / 3 { text {by (2)}}} + {} podřízená {| A_ {n} -A | , | B |} _ { leq , varepsilon / 3 { text {autor (4)}}} leq varepsilon ,. End {zarovnáno}}}$

Podle definice konvergence řady, C_n → AB podle potřeby.

Cesàrova věta

V případech, kdy jsou dvě sekvence konvergentní, ale ne absolutně konvergentní, je Cauchyho produkt stále Cesàro lze shrnout. Konkrétně:

Li ${ displaystyle textstyle (a_ {n}) _ {n geq 0}}$, ${ displaystyle textstyle (b_ {n}) _ {n geq 0}}$ jsou skutečné sekvence s ${ displaystyle textstyle součet a_ {n} do A}$ a ${ displaystyle textstyle součet b_ {n} do B}$ pak

${ displaystyle { frac {1} {N}} vlevo ( sum _ {n = 1} ^ {N} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {k = 0} ^ { i} a_ {k} b_ {ik} vpravo) do AB.}$

To lze zobecnit na případ, kdy tyto dvě sekvence nejsou konvergentní, ale pouze Cesàro summable:

Teorém

Pro ${ displaystyle textstyle r> -1}$ a ${ displaystyle textstyle s> -1}$, předpokládejme posloupnost ${ displaystyle textstyle (a_ {n}) _ {n geq 0}}$ je ${ displaystyle textstyle (C, ; r)}$ sumarable with sum A a ${ displaystyle textstyle (b_ {n}) _ {n geq 0}}$ je ${ displaystyle textstyle (C, ; s)}$ sumarable with sum B. Pak je jejich produktem Cauchy ${ displaystyle textstyle (C, ; r + s + 1)}$ sumarable with sum AB.

Příklady

• Pro některé ${ displaystyle textstyle x, y in mathbb {R}}$, nechť ${ displaystyle textstyle a_ {n} = x ^ {n} / n!}$ a ${ displaystyle textstyle b_ {n} = y ^ {n} / n!}$. Pak

${ displaystyle c_ {n} = součet _ {i = 0} ^ {n} { frac {x ^ {i}} {i!}} { frac {y ^ {ni}} {(ni)! }} = { frac {1} {n!}} sum _ {i = 0} ^ {n} { binom {n} {i}} x ^ {i} y ^ {ni} = { frac {(x + y) ^ {n}} {n!}}}$

podle definice a binomický vzorec. Od té doby, formálně, ${ displaystyle textstyle exp (x) = součet a_ {n}}$ a ${ displaystyle textstyle exp (y) = součet b_ {n}}$, ukázali jsme to ${ displaystyle textstyle exp (x + y) = součet c_ {n}}$. Od limitu Cauchyho součinu dvou absolutně konvergentní řada se rovná součinu limitů těchto řad, prokázali jsme vzorec ${ displaystyle textstyle exp (x + y) = exp (x) exp (y)}$ pro všechny ${ displaystyle textstyle x, y in mathbb {R}}$.

• Jako druhý příklad pojďme ${ displaystyle textstyle a_ {n} = b_ {n} = 1}$ pro všechny ${ displaystyle textstyle n v mathbb {N}}$. Pak ${ displaystyle textstyle c_ {n} = n + 1}$ pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ takže produkt Cauchy ${ displaystyle textstyle součet c_ {n} = (1,1 + 2,1 + 2 + 3,1 + 2 + 3 + 4, tečky)}$ nekonverguje.

Zobecnění

Všechno výše uvedené platí pro sekvence v ${ displaystyle textstyle mathbb {C}}$ (komplexní čísla ). The Cauchyho produkt lze definovat pro řady v ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ mezery (Euklidovské prostory ) kde násobení je vnitřní produkt. V tomto případě máme výsledek, že pokud dvě řady konvergují absolutně, pak jejich Cauchyho produkt konverguje absolutně na vnitřní produkt limitů.

Výrobky konečně mnoha nekonečných sérií

Nechat ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ takhle ${ displaystyle n geq 2}$ (ve skutečnosti platí následující ${ displaystyle n = 1}$ ale výrok se v tom případě stává triviálním) a nechť ${ displaystyle sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} a_ {1, k_ {1}}, ldots, sum _ {k_ {n} = 0} ^ { infty} a_ { n, k_ {n}}}$ být nekonečná řada se složitými koeficienty, z nichž všichni kromě ${ displaystyle n}$ten absolutně konverguje a ${ displaystyle n}$ten konverguje. Pak série

${ displaystyle sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} cdots sum _ {k_ {n} = 0} ^ {k_ {n-1}} a_ {1, k_ {n}} a_ {2, k_ {n-1} -k_ {n}} cdots a_ {n, k_ {1} -k_ {2}} }$

konverguje a máme:

${ displaystyle sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} cdots sum _ {k_ {n} = 0} ^ {k_ {n-1}} a_ {1, k_ {n}} a_ {2, k_ {n-1} -k_ {n}} cdots a_ {n, k_ {1} -k_ {2}} = prod _ {j = 1} ^ {n} left ( sum _ {k_ {j} = 0} ^ { infty} a_ {j, k_ {j}} right)}$

Toto tvrzení lze prokázat indukcí ${ displaystyle n}$: Důvod pro ${ displaystyle n = 2}$ je totožný s tvrzením o produktu Cauchy. Toto je naše indukční základna.

Indukční krok probíhá následovně: Nechť je tvrzení pravdivé pro an ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ takhle ${ displaystyle n geq 2}$a nechte ${ displaystyle sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} a_ {1, k_ {1}}, ldots, sum _ {k_ {n + 1} = 0} ^ { infty} a_ {n + 1, k_ {n + 1}}}$ být nekonečná řada se složitými koeficienty, z nichž všichni kromě ${ displaystyle n + 1}$ten absolutně konverguje a ${ displaystyle n + 1}$ten konverguje. Nejprve použijeme indukční hypotézu na sérii ${ displaystyle sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} | a_ {1, k_ {1}} |, ldots, sum _ {k_ {n} = 0} ^ { infty} | a_ {n, k_ {n}} |}$. Získali jsme tu sérii

${ displaystyle sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} cdots sum _ {k_ {n} = 0} ^ {k_ {n-1}} | a_ {1, k_ {n}} a_ {2, k_ {n-1} -k_ {n}} cdots a_ {n, k_ {1} -k_ {2} } |}$

konverguje, a tedy nerovností trojúhelníku a sendvičovým kritériem, řadou

${ displaystyle sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} vlevo | sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} cdots sum _ {k_ {n} = 0} ^ {k_ {n-1}} a_ {1, k_ {n}} a_ {2, k_ {n-1} -k_ {n}} cdots a_ {n, k_ {1} -k_ { 2}} vpravo |}$

konverguje, a tedy řada

${ displaystyle sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} cdots sum _ {k_ {n} = 0} ^ {k_ {n-1}} a_ {1, k_ {n}} a_ {2, k_ {n-1} -k_ {n}} cdots a_ {n, k_ {1} -k_ {2}} }$

absolutně konverguje. Proto indukční hypotézou, tím, co dokázal Mertens, a přejmenováním proměnných máme:

${ displaystyle { begin {aligned} prod _ {j = 1} ^ {n + 1} left ( sum _ {k_ {j} = 0} ^ { infty} a_ {j, k_ {j} } right) & = left ( sum _ {k_ {n + 1} = 0} ^ { infty} overbrace {a_ {n + 1, k_ {n + 1}}} ^ {=: a_ { k_ {n + 1}}} right) left ( sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} overbrace { sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1} } cdots sum _ {k_ {n} = 0} ^ {k_ {n-1}} a_ {1, k_ {n}} a_ {2, k_ {n-1} -k_ {n}} cdots a_ {n, k_ {1} -k_ {2}}} ^ {=: b_ {k_ {1}}} right) & = left ( sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} overbrace { sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} sum _ {k_ {3} = 0} ^ {k_ {2}} cdots sum _ {k_ { n} = 0} ^ {k_ {n-1}} a_ {1, k_ {n}} a_ {2, k_ {n-1} -k_ {n}} cdots a_ {n, k_ {1} - k_ {2}}} ^ {=: a_ {k_ {1}}} vpravo) vlevo ( sum _ {k_ {n + 1} = 0} ^ { infty} overbrace {a_ {n + 1 , k_ {n + 1}}} ^ {=: b_ {k_ {n + 1}}} right) & = left ( sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} overbrace { sum _ {k_ {3} = 0} ^ {k_ {1}} sum _ {k_ {4} = 0} ^ {k_ {3}} cdots sum _ {k_ {n} +1 = 0} ^ {k_ {n}} a_ {1, k_ {n + 1}} a_ {2, k_ {n} -k_ {n + 1}} cdots a_ {n, k_ {1} -k_ { 3}}} ^ {=: a_ {k_ {1}}} vpravo) vlevo ( sum _ {k_ {2} = 0} ^ { infty} overbrace {a_ {n + 1, k_ {2 }}} ^ {=: b_ {n + 1, k_ {2}} =: b_ {k_ {2}}} vpravo) & = vlevo ( sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} a_ {k_ {1}} vpravo) lef t ( sum _ {k_ {2} = 0} ^ { infty} b_ {k_ {2}} right) & = left ( sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty } sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} a_ {k_ {2}} b_ {k_ {1} -k_ {2}} vpravo) & = vlevo ( sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} left ( overbrace { sum _ {k_ {3} = 0} ^ {k_ {2}} cdots sum _ {k_ {n} + 1 = 0} ^ {k_ {n}} a_ {1, k_ {n + 1}} a_ {2, k_ {n} -k_ { n + 1}} cdots a_ {n, k_ {2} -k_ {3}}} ^ {=: a_ {k_ {2}}} vpravo) vlevo ( overbrace {a_ {n + 1, k_ {1} -k_ {2}}} ^ {=: b_ {k_ {1} -k_ {2}}} right) right) & = left ( sum _ {k_ {1} = 0 } ^ { infty} sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1}} overbrace { sum _ {k_ {3} = 0} ^ {k_ {2}} cdots sum _ {k_ {n} + 1 = 0} ^ {k_ {n}} a_ {1, k_ {n + 1}} a_ {2, k_ {n} -k_ {n + 1}} cdots a_ {n, k_ {2} -k_ {3}}} ^ {=: a_ {k_ {2}}} overbrace {a_ {n + 1, k_ {1} -k_ {2}}} ^ {=: b_ {k_ {1} -k_ {2}}} right) & = sum _ {k_ {1} = 0} ^ { infty} sum _ {k_ {2} = 0} ^ {k_ {1} } a_ {n + 1, k_ {1} -k_ {2}} sum _ {k_ {3} = 0} ^ {k_ {2}} cdots sum _ {k_ {n + 1} = 0} ^ {k_ {n}} a_ {1, k_ {n + 1}} a_ {2, k_ {n} -k_ {n + 1}} cdots a_ {n, k_ {2} -k_ {3}} end {zarovnáno}}}$

Proto vzorec platí také pro ${ displaystyle n + 1}$.

Vztah ke konvoluci funkcí

Na konečnou sekvenci lze pohlížet jako na nekonečnou sekvenci s pouze konečně mnoha nenulovými výrazy, nebo jinými slovy jako na funkci ${ displaystyle f: mathbb {N} to mathbb {C}}$ s konečnou podporou. Pro všechny funkce se složitou hodnotou F, G na ${ displaystyle mathbb {N}}$ s konečnou podporou, jeden může vzít jejich konvoluce:

${ displaystyle (f * g) (n) = součet _ {i + j = n} f (i) g (j).}$

Pak ${ displaystyle sum (f * g) (n)}$ je stejná věc jako produkt Cauchy z ${ displaystyle sum f (n)}$ a ${ displaystyle součet g (n)}$.

Obecněji řečeno, vzhledem k jednotné poloskupině S, lze vytvořit poloskupinová algebra ${ displaystyle mathbb {C} [S]}$ z S, s násobením daným konvolucí. Vezmeme-li například ${ displaystyle S = mathbb {N} ^ {d}}$, potom násobení zapnuto ${ displaystyle mathbb {C} [S]}$ je zobecněním Cauchyova produktu do vyšší dimenze.

Poznámky

Reference

• Apostol, Tom M. (1974), Matematická analýza (2. vyd.), Addison Wesley, str. 204, ISBN  978-0-201-00288-1.

• Bloch, Ethan D. (2011), Skutečná čísla a skutečná analýza, Springer, ISBN  9780387721767.

• Canuto, Claudio; Tabák, Anita (2015), Matematická analýza II (2. vyd.), Springer.

• Friedman, Menahem; Kandel, Abraham (2011), Světlo zubního kamene, Springer, ISBN  9783642178481.

• Ghorpade, Sudhir R .; Limaye, Balmohan V. (2006), Kurz kalkulu a reálné analýzy, Springer.

• Hardy, G. H. (1949), Divergentní série, Oxford University Press, str. 227–229.

• Hijab, Omar (2011), Úvod do počtu a klasické analýzy (3. vyd.), Springer.

• Mathonline, Cauchy produkt výkonové řady.

• Montesinos, Vicente; Zizler, Peter; Zizler, Václav (2015), Úvod do moderní analýzy, Springer.

• Oberguggenberger, Michael; Ostermann, Alexander (2011), Analýza pro počítačové vědce, Springer.

• Pedersen, Steen (2015), Od počtu k analýze, Springer.

• Ponnusamy, S. (2012), Základy matematické analýzy, Birkhäuser, ISBN  9780817682927.

• Pugh, Charles C. (2015), Skutečná matematická analýza (2. vyd.), Springer.

• Sohrab, Houshang H. (2014), Základní reálná analýza (2. vyd.), Birkhäuser.

• Weisstein, Eric W., "Cauchy Product", From MathWorld - A Wolfram Web Resource.