Riemannova hypotéza - Riemann hypothesis

Skutečná část (červená) a imaginární část (modrá) funkce Riemann zeta podél kritické linie Re (s) = 1/2. První netriviální nuly lze vidět na Im (s) = ± 14,135, ± 21,022 a ± 25,011.

V matematice je Riemannova hypotéza je dohad že Funkce Riemann zeta má svoje nuly pouze u záporných sudých celých čísel a komplexní čísla s skutečná část 1/2. Mnoho z nich to považuje za nejdůležitější nevyřešený problém v čistá matematika (Bombieri 2000 ). Je o ni velký zájem teorie čísel protože to znamená výsledky o distribuci prvočísla. Navrhl to Bernhard Riemann (1859 ), po kom je pojmenován.

Riemannova hypotéza a některé její zobecnění spolu s Goldbachova domněnka a dvojče hlavní domněnka, obsahují Hilbertův osmý problém v David Hilbert seznam uživatelů 23 nevyřešených problémů; je to také jeden z Clay Mathematics Institute Problémy s cenou tisíciletí. Název se také používá pro některé blízce příbuzné analogy, například Riemannova hypotéza pro křivky nad konečnými poli.

Funkce Riemannova zeta ζ (s) je funkce jehož argument s může být jakýkoli komplexní číslo jiné než 1 a jejichž hodnoty jsou také komplexní. Má nuly u záporných sudých celých čísel; to je, ζ (s) = 0 když s je jedno z −2, −4, −6, .... Tito se nazývají jeho triviální nuly. Záporná sudá celá čísla však nejsou jedinými hodnotami, pro které je funkce zeta nulová. Ostatní jsou voláni netriviální nuly. Riemannova hypotéza se týká umístění těchto netriviálních nul a uvádí, že:

Skutečná část každé netriviální nuly funkce Riemann zeta je1/2.

Pokud je tedy hypotéza správná, všechny netriviální nuly leží na kritické linii skládající se z komplexních čísel 1/2 + to, kde t je reálné číslo a i je imaginární jednotka.

Existuje několik netechnických knih o Riemannově hypotéze, jako např Derbyshire (2003), Rockmore (2005) (Sabbagh2003a, 2003b ),du Sautoy (2003), a Watkins (2015). Knihy Edwards (1974), Patterson (1988), Borwein a kol. (2008), Mazur & Stein (2015) a Broughan (2017) dát matematické úvody, zatímcoTitchmarsh (1986), Ivić (1985) a Karatsuba a Voronin (1992) jsou pokročilé monografie.

Funkce Riemann zeta

The Funkce Riemann zeta je definován pro komplex s se skutečnou částí větší než 1 ze strany absolutně konvergentní nekonečná řada

{ displaystyle zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}} = { frac {1} {1 ^ {s}} } + { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} + cdots}

Leonhard Euler již uvažoval o této sérii ve třicátých letech 20. století pro skutečné hodnoty s, ve spojení s jeho řešením Basilejský problém. Také dokázal, že se rovná Produkt Euler

{ displaystyle zeta (s) = prod _ {p { text {prime}}} { frac {1} {1-p ^ {- s}}} = { frac {1} {1-2 ^ {- s}}} cdot { frac {1} {1-3 ^ {- s}}} cdot { frac {1} {1-5 ^ {- s}}} cdot { frac {1} {1-7 ^ {- s}}} cdot { frac {1} {1-11 ^ {- s}}} cdots}

Kde nekonečný produkt přesahuje všechna prvočísla str.^[1]

Riemannova hypotéza pojednává o nulách mimo oblast konvergence této řady a Eulerova produktu. Aby měla hypotéza smysl, je nutné analyticky pokračovat funkce k získání formuláře, který je platný pro celý komplex s. To je přípustné, protože funkce zeta ano meromorfní, takže jeho analytické pokračování je zaručeno jako jedinečné a funkční formy rovnocenné s jejich domén. Jeden začíná ukázkou, že funkce zeta a Funkce Dirichlet eta uspokojit vztah

{ displaystyle left (1 - { frac {2} {2 ^ {s}}} right) zeta (s) = eta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n ^ {s}}} = { frac {1} {1 ^ {s}}} - { frac {1} {2 ^ {s }}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} - cdots.}

Ale řada napravo konverguje nejen při skutečné části s je větší než jedna, ale obecněji kdykoli s má pozitivní skutečnou část. Tato alternativní řada tedy rozšiřuje funkci zeta Re(s) > 1 do větší domény Re(s) > 0, kromě nul ${ displaystyle s = 1 + 2 pi in / ln (2)}$ z ${ displaystyle 1-2 / 2 ^ {s}}$ kde ${ displaystyle n}$ je jakékoli nenulové celé číslo (viz Funkce Dirichlet eta ). Funkci zeta lze rozšířit i na tyto hodnoty tím, že vezmeme limity a dáme konečnou hodnotu pro všechny hodnoty s s pozitivní skutečnou částí s výjimkou jednoduchá tyč na s = 1.

V pásu 0 s) < 1 funkce zeta vyhovuje funkční rovnice

{ displaystyle zeta (s) = 2 ^ {s} pi ^ {s-1} sin left ({ frac { pi s} {2}} right) Gamma (1 s ) zeta (1 s).}

Poté lze definovat ζ (s) pro všechna zbývající nenulová komplexní čísla s (Re(s) ≤ 0 a s ≠ 0) tak, že použijeme tuto rovnici mimo pás a necháme ζ (s) kdykoli se rovnat pravé straně rovnice s má nepozitivní skutečnou část (a s ≠ 0).

Li s je záporné sudé celé číslo pak ζ (s) = 0, protože faktor sin (πs/ 2) zmizí; tohle jsou triviální nuly funkce zeta. (Li s je kladné sudé celé číslo, tento argument neplatí, protože nuly sinus funkce jsou zrušeny póly funkce gama protože to vyžaduje záporné celočíselné argumenty.)

Hodnota ζ (0) = −1/2 není určena funkční rovnicí, ale je mezní hodnotou ζ (s) tak jako s blíží se nule. Funkční rovnice také naznačuje, že funkce zeta nemá žádné nuly se zápornou skutečnou částí jinou než triviální nuly, takže všechny netriviální nuly leží v kritickém pásu, kde s má skutečnou část mezi 0 a 1.

Původ

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... je velmi pravděpodobné, že všechny kořeny jsou skutečné. Samozřejmě by si zde někdo přál přísný důkaz; Prozatím jsem po několika prchavých marných pokusech hledání tohoto prozatímně odložil, protože se to zdá být pro okamžitý cíl mého vyšetřování nepostradatelné.
— Riemannovo prohlášení o Riemannově hypotéze z (Riemann 1859 ). (Diskutoval o verzi funkce zeta, upravené tak, aby její kořeny (nuly) byly spíše skutečné než na kritické linii.)

Riemannovou původní motivací ke studiu funkce zeta a jejích nul byl jejich výskyt v jeho explicitní vzorec pro počet prvočísel $π$ (X) menší nebo rovno danému číslu X, který publikoval ve svém příspěvku z roku 1859 “O počtu prvočísel menších než daná velikost ". Jeho vzorec byl uveden z hlediska související funkce

{ displaystyle Pi (x) = pi (x) + { tfrac {1} {2}} pi (x ^ { frac {1} {2}}) + { tfrac {1} {3 }} pi (x ^ { frac {1} {3}}) + { tfrac {1} {4}} pi (x ^ { frac {1} {4}}) + { tfrac { 1} {5}} pi (x ^ { frac {1} {5}}) + { tfrac {1} {6}} pi (x ^ { frac {1} {6}}) + cdots}

který počítá prvočísla a hlavní síly až X, počítá se hlavní síla strⁿ jako¹⁄_n. Počet prvočísel lze z této funkce obnovit pomocí Möbioův inverzní vzorec,

{ displaystyle { begin {aligned} pi (x) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n}} Pi (x ^ { frac {1} {n}}) & = Pi (x) - { frac {1} {2}} Pi (x ^ { frac {1} {2}}) - { frac { 1} {3}} Pi (x ^ { frac {1} {3}}) - { frac {1} {5}} Pi (x ^ { frac {1} {5}}) + { frac {1} {6}} Pi (x ^ { frac {1} {6}}) - cdots, end {zarovnáno}}}

kde μ je Möbiova funkce. Riemannova formule je tedy

{ displaystyle Pi _ {0} (x) = operatorname {li} (x) - součet _ { rho} operatorname {li} (x ^ { rho}) - log (2) + int _ {x} ^ { infty} { frac {dt} {t (t ^ {2} -1) log (t)}}}

kde součet je nad netriviálními nulami funkce zeta a kde Π₀ je mírně upravená verze Π, která nahrazuje jeho hodnotu v bodech diskontinuity průměrem jeho horní a dolní hranice:

{ displaystyle Pi _ {0} (x) = lim _ { varepsilon až 0} { frac { Pi (x- varepsilon) + Pi (x + varepsilon)} {2}}.}

Součet v Riemannově vzorci není absolutně konvergentní, ale lze je vyhodnotit převzetím nul ρ v pořadí podle absolutní hodnoty jejich imaginární části. Funkce li vyskytující se v prvním členu je (unoffset) logaritmická integrální funkce dané Hodnota Cauchyho jistiny divergentního integrálu

{ displaystyle operatorname {li} (x) = int _ {0} ^ {x} { frac {dt} { log (t)}}.}

Podmínky li (X^ρ) zahrnující nuly funkce zeta vyžaduje určitou opatrnost při jejich definici, protože li má body větve na 0 a 1 a jsou definovány (pro X > 1) analytickým pokračováním v komplexní proměnné ρ v oblasti Re (ρ)> 0, tj. Měly by být považovány za Ei (ρ ln X). Ostatní výrazy také odpovídají nulám: dominantní výraz li (X) pochází z pólu v s = 1, považováno za nulu multiplicity −1, a zbývající malé členy pocházejí z triviálních nul. Některé grafy součtu prvních několika termínů této řady viz Riesel & Göhl (1970) nebo Zagier (1977).

Tento vzorec říká, že nuly Riemannovy zeta funkce řídí oscilace prvočísel kolem jejich „očekávaných“ poloh. Riemann věděl, že netriviální nuly funkce zeta jsou symetricky rozloženy kolem linie s = 1/2 + to, a věděl, že všechny jeho netriviální nuly musí ležet v dosahu 0 ≤ Re (s) ≤ 1. Zkontroloval, že několik nul leželo na kritické linii se skutečnou částí 1/2 a navrhl, aby to byly všechny; toto je Riemannova hypotéza.

Výsledek zaujal představivost většiny matematiků, protože je tak neočekávaný a spojuje dvě zdánlivě nesouvisející oblasti v matematice; a to, teorie čísel, což je studium diskrétního, a komplexní analýza, která se zabývá kontinuálními procesy. (Burton 2006, str. 376)

Důsledky

Praktické použití Riemannovy hypotézy zahrnuje mnoho propozic známých jako Riemannova hypotéza a některé, u nichž lze prokázat, že jsou ekvivalentní Riemannově hypotéze.

Rozdělení prvočísel

Riemannova explicitní formule pro počet prvočísel menší než daný počet pokud jde o součet nad nulami Riemannovy zeta funkce říká, že velikost oscilací prvočísel kolem jejich očekávané polohy je řízena skutečnými částmi nul zeta funkce. Zejména chybný výraz v věta o prvočísle úzce souvisí s polohou nul. Například pokud β je horní hranice skutečných částí nul, pak (Ingham 1932 ),^{:Věta 30, str.83} (Montgomery & Vaughan 2007 )^{:p. 430}

{ displaystyle pi (x) - operatorname {li} (x) = O left (x ^ { beta} log x right)}

.

Je již známo, že 1/2 ≤ β ≤ 1 (Ingham 1932 ).^{:p. 82}

Von Koch (1901) dokázal, že Riemannova hypotéza implikuje „nejlepší možné“ vázané na chybu věty o prvočísle. Přesná verze Kochova výsledku, kvůli Schoenfeld (1976), říká, že z Riemannovy hypotézy vyplývá

{ displaystyle | pi (x) - operatorname {li} (x) | <{ frac {1} {8 pi}} { sqrt {x}} log (x), qquad { text {pro všechny}} x geq 2657,}

kde π (X) je funkce počítání prvočísel, a log (X) je přirozený logaritmus z X.

Schoenfeld (1976) také ukázal, že Riemannova hypotéza naznačuje

{ displaystyle | psi (x) -x | <{ frac {1} {8 pi}} { sqrt {x}} log ^ {2} (x), qquad { text {pro všechny }} x geq 73,2,}

kde ψ (X) je Čebyševova druhá funkce.

Dudek (2014) dokázal, že Riemannova hypotéza to znamená pro všechny ${ displaystyle x geq 2}$ je tu prime ${ displaystyle p}$ uspokojující

{ displaystyle x - { frac {4} { pi}} { sqrt {x}} log x

.

Toto je explicitní verze věty o Cramér.

Růst aritmetických funkcí

Riemannova hypotéza implikuje silné hranice růstu mnoha dalších aritmetických funkcí, kromě výše uvedené funkce počítání prvočísel.

Jeden příklad zahrnuje Möbiova funkce μ. Tvrzení, že rovnice

{ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}}}}

platí pro všechny s se skutečnou částí větší než 1/2, se součtem na pravé straně konvergující, je ekvivalentní Riemannově hypotéze. Z toho můžeme také vyvodit, že pokud Funkce Mertens je definováno

{ displaystyle M (x) = součet _ {n leq x} mu (n)}

pak tvrzení, že

{ displaystyle M (x) = O left (x ^ {{ frac {1} {2}} + varepsilon} right)}

protože každé kladné ε je ekvivalentní Riemannově hypotéze (J.E. Littlewood 1912; viz například: odstavec 14.25 v Titchmarsh (1986) ). (Význam těchto symbolů viz Velká O notace.) Determinant řádu n Redhefferova matice je rovný M(n), takže Riemannova hypotéza může být také uvedena jako podmínka růstu těchto determinantů. Riemannova hypotéza klade poměrně silnou vazbu na růst M, od té doby Odlyzko & te Riele (1985) vyvrátil mírně silnější Mertensova domněnka

{ displaystyle | M (x) | leq { sqrt {x}}.}

Riemannova hypotéza je ekvivalentní mnoha dalším dohadům o rychlosti růstu dalších aritmetických funkcí kromě μ (n). Typickým příkladem je Robinova věta (Robin 1984 ), kde se uvádí, že pokud σ (n) je funkce dělitele, dána

{ displaystyle sigma (n) = součet _ {d mid n} d}

pak

{ displaystyle sigma (n)

pro všechny n > 5040 právě tehdy, pokud je pravdivá Riemannova hypotéza, kde γ je Euler – Mascheroniho konstanta.

Další příklad našel Jérôme Franel a rozšířeno o Landau (vidět Franel & Landau (1924) ). Riemannova hypotéza je ekvivalentní několika tvrzením, která ukazují, že podmínky Farey sekvence jsou docela pravidelné. Jedna taková rovnocennost je následující: pokud F_n je Fareyova posloupnost řádu n, počínaje 1 /n a až 1/1, pak tvrzení, že pro všechna ε> 0

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} | F_ {n} (i) - { tfrac {i} {m}} | = O (n ^ {{ frac {1} {2} } + epsilon})}

je ekvivalentní Riemannově hypotéze. Tady

{ displaystyle m = součet _ {i = 1} ^ {n} phi (i)}

je počet termínů v pořadí Farey pořadí n.

Příklad od teorie skupin, pokud G(n) je Landauova funkce dané maximálním řádem prvků symetrická skupina S_n stupně n, pak Massias, Nicolas & Robin (1988) ukázal, že Riemannova hypotéza je ekvivalentní vázané

{ displaystyle log g (n) <{ sqrt { operatorname {Li} ^ {- 1} (n)}}}

pro všechny dostatečně velké n.

Lindelöfova hypotéza a růst funkce zeta

Riemannova hypotéza má také různé slabší důsledky; jeden je Lindelöfova hypotéza na rychlosti růstu funkce zeta na kritické linii, která říká, že pro všechny ε > 0,

{ displaystyle zeta left ({ frac {1} {2}} + it right) = O (t ^ { varepsilon}),}

tak jako ${ displaystyle t to infty}$ .

Riemannova hypotéza také naznačuje poměrně ostré hranice rychlosti růstu funkce zeta v jiných oblastech kritického pásu. Například to naznačuje

{ displaystyle e ^ { gamma} leq limsup _ {t rightarrow + infty} { frac {| zeta (1 + it) |} { log log t}} leq 2e ^ { gama}}

{ displaystyle { frac {6} { pi ^ {2}}} e ^ { gamma} leq limsup _ {t rightarrow + infty} { frac {1 / | zeta (1 + it ) |} { log log t}} leq { frac {12} { pi ^ {2}}} e ^ { gamma}}

takže rychlost růstu of (1+to) a jeho inverzní by byla známa až na faktor 2 (Titchmarsh 1986 ).

Velká domněnka mezery

Věta o prvočísle znamená, že v průměru mezera mezi prvočíslem str a jeho nástupcem je logstr. Některé mezery mezi prvočísly však mohou být mnohem větší než průměr. Cramér dokázal, že za předpokladu Riemannovy hypotézy je každá mezera Ó(√str logstr). Toto je případ, kdy i ta nejlepší hranice, kterou lze dokázat pomocí Riemannovy hypotézy, je mnohem slabší, než se zdá pravdivá: Cramérova domněnka znamená, že každá mezera je Ó((logstr)²), který, i když je větší než průměrná mezera, je mnohem menší než mezní hodnota vyplývající z Riemannovy hypotézy. Číselné důkazy podporují Cramérovu domněnku (Pěkně 1999 ).

Analytická kritéria ekvivalentní Riemannově hypotéze

Bylo nalezeno mnoho tvrzení ekvivalentních Riemannově hypotéze, přestože dosud žádné z nich nevedlo k velkému pokroku v jeho dokazování (nebo vyvracení). Některé typické příklady jsou následující. (Ostatní zahrnují funkce dělitele σ (n).)

The Kritérium Riesz byl dán Riesz (1916), v tom smyslu, že vázaný

{ displaystyle - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-x) ^ {k}} {(k-1)! zeta (2k)}} = O left (x ^ {{ frac {1} {4}} + epsilon} vpravo)}

platí pro všechna ε> 0 právě tehdy, pokud platí Riemannova hypotéza.

Nyman (1950) dokázal, že Riemannova hypotéza je pravdivá tehdy a jen tehdy, pokud jde o prostor funkcí formy

{ displaystyle f (x) = součet _ { nu = 1} ^ {n} c _ { nu} rho left ({ frac { theta _ { nu}} {x}} vpravo) }

kde ρ (z) je zlomková část z, 0 ≤ θ_ν ≤ 1, a

{ displaystyle sum _ { nu = 1} ^ {n} c _ { nu} theta _ { nu} = 0}

,

je hustá v Hilbertův prostor L²(0,1) funkcí integrovatelných do čtverců na jednotkovém intervalu. Beurling (1955) rozšířil to tím, že ukázal, že funkce zeta nemá nuly se skutečnou částí větší než 1 /str právě když je tento funkční prostor hustý L^str(0,1)

Salem (1953) ukázal, že Riemannova hypotéza je pravdivá právě tehdy, pokud je integrální rovnicí

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {z ^ {- sigma -1} phi (z)} {{e ^ {x / z}} + 1}} dz = 0}

nemá žádná netriviální ohraničená řešení ${ displaystyle phi}$ pro ${ displaystyle 1/2 < sigma <1}$ .

Weilovo kritérium je tvrzení, že pozitivita určité funkce je ekvivalentní Riemannově hypotéze. Související je Li kritérium, tvrzení, že pozitivita určité posloupnosti čísel je ekvivalentní Riemannově hypotéze.

Speiser (1934) dokázal, že Riemannova hypotéza je ekvivalentní tvrzení, že ${ displaystyle zeta}$ , derivát ${ displaystyle zeta (s)}$ , nemá v pruhu žádné nuly

{ displaystyle 0 < Re (s) <{ frac {1} {2}}.}

Že ${ displaystyle zeta (s)}$ má pouze jednoduché nuly na kritické linii je ekvivalentní jeho derivaci, která nemá na nulové linii žádné nuly.

The Farey sekvence poskytuje dvě ekvivalence, kvůli Jerome Franel a Edmund Landau v roce 1924.

Důsledky zobecněné Riemannovy hypotézy

Několik aplikací používá zobecněná Riemannova hypotéza pro Dirichlet řada L. nebo funkce zeta číselných polí spíše než jen Riemannova hypotéza. Mnoho základních vlastností Riemannovy zeta funkce lze snadno zobecnit na všechny Dirichletovy řady L, takže je pravděpodobné, že metoda, která prokáže Riemannovu hypotézu pro Riemannovu zeta funkci, bude fungovat také pro zobecněnou Riemannovu hypotézu pro Dirichletovy L-funkce. Několik výsledků nejprve prokázalo použití zobecněné Riemannovy hypotézy, které byly později poskytnuty bezpodmínečné důkazy bez použití, i když byly obvykle mnohem těžší. Mnoho důsledků z následujícího seznamu je převzato Conrad (2010).

V roce 1913 Grönwall ukázal, že zobecněná Riemannova hypotéza naznačuje, že Gaussova seznam imaginárních kvadratických polí s číslem třídy 1 je kompletní, ačkoli Baker, Stark a Heegner o tom později bezpodmínečně dokázali, aniž by použili zobecněnou Riemannovu hypotézu.
V roce 1917 Hardy a Littlewood ukázali, že zobecněná Riemannova hypotéza implikuje Čebyševovu domněnku, že

{ displaystyle lim _ {x až 1 ^ {-}} součet _ {p> 2} (- 1) ^ {(p + 1) / 2} x ^ {p} = + infty,}

který říká, že prvočísla 3 mod 4 jsou v jistém smyslu častější než prvočísla 1 mod 4. (Související výsledky viz Věta o prvočísle § Závod o prvočíslo.)

V roce 1923 Hardy a Littlewood ukázali, že zobecněná Riemannova hypotéza implikuje slabou formu Goldbachova domněnka pro lichá čísla: že každé dostatečně velké liché číslo je součtem tří prvočísel, ačkoli v roce 1937 Vinogradov poskytl bezpodmínečný důkaz. V roce 1997 Deshouillers, Effinger, te Riele Zinoviev ukázal, že zobecněná Riemannova hypotéza naznačuje, že každé liché číslo větší než 5 je součtem tří prvočísel. V roce 2013 Harald Helfgott prokázal ternární Goldbachův domněnku bez závislosti na GRH, s výhradou několika rozsáhlých výpočtů dokončených pomocí Davida J. Platta.
V roce 1934 Chowla ukázal, že zobecněná Riemannova hypotéza naznačuje, že první vrchol v aritmetické progresi A mod m je nanejvýš Km²log (m)² pro nějakou pevnou konstantu K..
V roce 1967 Hooley ukázal, že zobecněná Riemannova hypotéza naznačuje Artinova domněnka o primitivních kořenech.
V roce 1973 Weinberger ukázal, že zobecněná Riemannova hypotéza naznačuje, že Eulerův seznam je idonální čísla je kompletní.
Weinberger (1973) ukázal, že zobecněná Riemannova hypotéza pro funkce zeta všech algebraických číselných polí znamená, že jakékoli číselné pole s číslem třídy 1 je buď Euklidovský nebo imaginární kvadratické číselné pole diskriminačního −19, −43, −67 nebo −163.
V roce 1976 G. Miller ukázal, že zobecněná Riemannova hypotéza naznačuje, že lze vyzkoušejte, zda je číslo prvočíslo v polynomiálním čase přes Millerův test. V roce 2002 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal a Nitin Saxena prokázali tento výsledek bezpodmínečně pomocí Test prvosti AKS.
Odlyzko (1990) diskutovali o tom, jak lze zobecněnou Riemannovu hypotézu použít k ostřejšímu odhadu diskriminantů a počtu tříd číselných polí.
Ono & Soundararajan (1997) ukázal, že zobecněná Riemannova hypotéza to naznačuje Ramanujanova integrální kvadratická forma X² + y² + 10z² představuje všechna celá čísla, která představuje lokálně, s přesně 18 výjimkami.

Vyloučený střed

Některé důsledky RH jsou také důsledky jeho negace, a jsou tedy teorémy. Ve své diskusi o Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronnova věta, (Irsko a Rosen 1990, str. 359)

Způsob dokazování je zde opravdu úžasný. Pokud je zobecněná Riemannova hypotéza pravdivá, pak věta je pravdivá. Pokud je zobecněná Riemannova hypotéza nepravdivá, pak je věta pravdivá. Věta je tedy pravdivá !! (interpunkce v originále)

Je třeba věnovat pozornost tomu, co je rozuměno tím, že říkáme, že zobecněná Riemannova hypotéza je nepravdivá: je třeba přesně určit, která třída Dirichletovy řady má protiklad.

Littlewoodova věta

To se týká znamení chyby v věta o prvočísle Bylo vypočítáno, že π (X)

X) pro všechny X ≤ 10²⁵ (viz stůl ), a žádná hodnota X je známo, pro které π (X)> li (X).

V roce 1914 Littlewood dokázal, že existují libovolně vysoké hodnoty X pro který

{ displaystyle pi (x)> operatorname {li} (x) + { frac {1} {3}} { frac { sqrt {x}} { log x}} log log log X,}

a že existují také libovolně velké hodnoty X pro který

{ displaystyle pi (x) < operatorname {li} (x) - { frac {1} {3}} { frac { sqrt {x}} { log x}} log log log X.}

Rozdíl π (X) - li (X) změní znaménko nekonečně mnohokrát. Šikmé číslo je odhad hodnoty X odpovídající první změně znaménka.

Littlewoodův důkaz je rozdělen do dvou případů: RH se považuje za nepravdivý (asi polovina stránky Ingham 1932, Chapt. V) a předpokládá se, že RH je pravdivá (asi tucet stránek). Stanisław Knapowski na to navázal a publikoval článek o počtu opakování ${ displaystyle Delta (n)}$ znaménko změn v intervalu ${ displaystyle Delta (n)}$ .^[2]

Gaussova domněnka o čísle třídy

To je dohad (poprvé uvedeno v článku 303 Gaussova Disquisitiones Arithmeticae ), že existuje pouze konečně mnoho imaginárních kvadratických polí s daným číslem třídy. Jedním ze způsobů, jak to dokázat, by bylo ukázat to jako diskriminační D → −∞ číslo třídy h(D) → ∞.

Následující posloupnost vět zahrnujících Riemannovu hypotézu je popsána v Irsko a Rosen 1990, str. 358–361:

Věta (Hecke; 1918). Nechat D <0 je diskriminátor imaginárního kvadratického číselného pole K.. Předpokládejme zobecněnou Riemannovu hypotézu pro L- funkce všech imaginárních kvadratických Dirichletových postav. Pak existuje absolutní konstanta C takhle
${ displaystyle h (D)> C { frac { sqrt {| D |}} { log | D |}}.}$

Věta (Deuring; 1933). Pokud je RH nepravdivá, pak h(D)> 1 pokud |D| je dostatečně velká.

Věta (Mordell; 1934). Pokud je RH nepravdivá, pak h(D) → ∞ jako D → −∞.

Věta (Heilbronn; 1934). Pokud je zobecněná RH pro L- funkce nějaké imaginární kvadratické Dirichletovy postavy h(D) → ∞ jako D → −∞.

(V díle Hecke a Heilbronn, jediný L-funkce, které se vyskytnou, jsou ty, které jsou spojeny s imaginárními kvadratickými znaky, a je to jen pro ty L-funkce, které GRH je pravda nebo GRH je nepravdivé je zamýšlen; selhání GRH pro L-funkce kubické Dirichletovy postavy by, přísně vzato, znamenala, že GRH je falešná, ale to nebyl ten druh selhání GRH, který měl Heilbronn na mysli, takže jeho předpoklad byl omezenější než jednoduše GRH je nepravdivé.)

V roce 1935 Carl Siegel později posílila výsledek bez použití RH nebo GRH jakýmkoli způsobem.

Růst Eulerova totientu

V roce 1983 J. L. Nicolas dokázal (Ribenboim 1996, str. 320) to

{ displaystyle varphi (n)

pro nekonečně mnoho n, kde φ (n) je Eulerova totientová funkce a y je Eulerova konstanta.

Ribenboim poznamenává, že:

Metoda dokazování je zajímavá tím, že nerovnost je zobrazena nejprve za předpokladu, že Riemannova hypotéza je pravdivá, za druhé za opačného předpokladu.

Zobecnění a analogie

Dirichletova řada L a další číselná pole

Riemannovu hypotézu lze zobecnit nahrazením funkce Riemannova zeta formálně podobnou, ale mnohem obecnější globální L-funkce. V tomto širším prostředí lze očekávat netriviální nuly globálu L-funkce mít skutečnou část 1/2. Skutečný význam Riemannovy hypotézy v matematice představují spíše tyto domněnky než klasická Riemannova hypotéza pouze pro jedinou Riemannovu zeta funkci.

The zobecněná Riemannova hypotéza rozšiřuje Riemannovu hypotézu na všechny Dirichletovy funkce L.. Z toho zejména vyplývá domněnka, že Siegelovy nuly (nuly L-funkce mezi 1/2 a 1) neexistují.

The rozšířená Riemannova hypotéza rozšiřuje Riemannovu hypotézu na všechny Funkce Dedekind zeta z algebraické číselné pole. Rozšířená Riemannova hypotéza pro abelianské rozšíření racionálů je ekvivalentní zobecněné Riemannově hypotéze. Riemannovu hypotézu lze také rozšířit na L-funkce Hecke postavy číselných polí.

The velká Riemannova hypotéza rozšiřuje to na všechny funkce automorphic zeta, jako Mellin se transformuje z Hecke vlastní tvary.

Funkční pole a zeta funkce odrůd nad konečnými poli

Artin (1924) představil globální zeta funkce (kvadratické) funkční pole a předpokládal pro ně analogii Riemannovy hypotézy, kterou prokázal Hasse v případě rodu 1 a Weil (1948) obecně. Například skutečnost, že Gaussova suma, kvadratického charakteru a konečné pole velikosti q (s q lichý), má absolutní hodnotu ${ displaystyle { sqrt {q}}}$ je ve skutečnosti instancí Riemannovy hypotézy v nastavení funkčního pole. To vedlo Weil (1949) domýšlet podobné tvrzení pro všechny algebraické odrůdy; výsledný Weil dohady byly prokázány Pierre Deligne (1974, 1980 ).

Aritmetické zeta funkce aritmetických schémat a jejich L-faktory

Aritmetické funkce zeta zobecnit ziemové funkce Riemanna a Dedekinda, jakož i zeta funkce variet přes konečná pole na každé aritmetické schéma nebo schéma konečného typu přes celá čísla. Aritmetická zeta funkce obyčejného připojeného ekvidimenzionální aritmetické schéma Kroneckerovy dimenze n lze rozložit na produkt příslušně definovaných L-faktorů a pomocného faktoru Jean-Pierre Serre (1969–1970 ). Za předpokladu funkční rovnice a meromorfního pokračování zobecněná Riemannova hypotéza pro L-faktor uvádí, že její nuly uvnitř kritického pásu ${ displaystyle Re (s) v (0, n)}$ ležet na středové čáře. Odpovídajícím způsobem zobecněná Riemannova hypotéza pro aritmetickou zeta funkci pravidelného připojeného ekvidimenzionálního aritmetického schématu uvádí, že její nuly uvnitř kritického pásu leží na svislých čarách ${ displaystyle Re (s) = 1 / 2,3 / 2, tečky, n-1/2}$ a jeho póly uvnitř kritického pásu leží na svislých čarách ${ displaystyle Re (s) = 1,2, tečky, n-1}$ . Toto je známé pro schémata s pozitivní charakteristikou a vyplývá z Pierre Deligne (1974, 1980 ), ale v charakteristické nule zůstává zcela neznámý.

Selberg zeta funkce

Selberg (1956) představil Selbergova funkce zeta Riemannova povrchu. Jsou podobné funkci Riemannovy zeta: mají funkční rovnici a nekonečný součin podobný Eulerovu součinu, ale přebírají spíše uzavřenou geodetiku než prvočísla. The Selbergův stopový vzorec je analogem pro tyto funkce explicitní vzorce v teorii prvočísel. Selberg dokázal, že Selbergovy zeta funkce uspokojují analogii Riemannovy hypotézy, přičemž imaginární části jejich nul souvisí s vlastními hodnotami laplaciánského operátora Riemannova povrchu.

Funkce Ihara zeta

The Funkce Ihara zeta konečného grafu je obdobou Selbergova funkce zeta, který byl poprvé představen Yasutaka Ihara v kontextu diskrétních podskupin speciální lineární skupiny p-adic dva po dvou. Pravidelný konečný graf je a Ramanujan graf, matematický model efektivních komunikačních sítí, právě když jeho funkce Ihara zeta splňuje analogii Riemannovy hypotézy, na kterou poukázal T. Sunada.

Montgomeryho párová korelační domněnka

Montgomery (1973) navrhl domněnka párové korelace že korelační funkce (vhodně normalizovaných) nul funkce zeta by měly být stejné jako funkce vlastních čísel a náhodná poustevnická matice. Odlyzko (1987) ukázal, že toto je podporováno rozsáhlými numerickými výpočty těchto korelačních funkcí.

Montgomery ukázal, že (za předpokladu Riemannovy hypotézy) jsou alespoň 2/3 všech nul jednoduché a související domněnka je, že všechny nuly funkce zeta jsou jednoduché (nebo obecněji nemají netriviální celočíselné lineární vztahy mezi jejich imaginárními částmi ). Funkce Dedekind zeta algebraických číselných polí, která zobecňují funkci Riemannova zeta, často mají více komplexních nul (Radziejewski 2007 ). Je to proto, že funkce Dedekind zeta jsou činěny jako součin sil Artin L-funkce, takže nuly funkcí Artin L někdy způsobí vznik několika nul funkcí Dedekind zeta. Další příklady funkcí zeta s více nulami jsou L-funkce některých eliptické křivky: mohou mít více nul ve skutečném bodě jejich kritické linie; the Birch-Swinnerton-Dyer domněnka předpovídá, že multiplicita této nuly je hodností eliptické křivky.

Další funkce zeta

Existují mnoho dalších příkladů funkcí zeta s analogy Riemannovy hypotézy, z nichž některé byly prokázány. Funkce Goss zeta funkčních polí má Riemannovu hypotézu, prokázanou Sheats (1998). Hlavní domněnka z Teorie Iwasawa, prokázáno Barry Mazur a Andrew Wiles pro cyklotomická pole a Wiles pro úplně reálná pole, identifikuje nuly a str-adic L-funkce s vlastními hodnotami operátora, takže jej lze považovat za analogii Hilbert-Pólya domněnka pro str-adic L-funkce (Wiles 2000 ).

Pokusy o důkazy

Několik matematiků se zabývalo Riemannovou hypotézou, ale žádný z jejich pokusů dosud nebyl přijat jako důkaz. Watkins (2007) uvádí některá nesprávná řešení a další jsou často ohlášené.

Teorie operátorů

Hilbert a Pólya navrhli, že jedním ze způsobů, jak odvodit Riemannovu hypotézu, by bylo najít a operátor s vlastním nastavením, z jehož existence je tvrzení o reálných částech nul ζ (s) bude následovat, když použijeme kritérium na skutečné vlastní čísla. Určitá podpora této myšlenky pochází z několika analogů Riemannova zeta funkcí, jejichž nuly odpovídají vlastním číslům nějakého operátora: nuly zeta funkce odrůdy přes konečné pole odpovídají vlastním číslům Frobeniův prvek na étale cohomology skupina, nuly a Selbergova funkce zeta jsou vlastní čísla a Laplaciánský operátor Riemannova povrchu a nuly a funkce p-adic zeta odpovídají vlastním vektorům akce Galois na ideální třídní skupiny.

Odlyzko (1987) ukázalo, že distribuce nul Riemannovy zeta funkce sdílí některé statistické vlastnosti s vlastními hodnotami náhodné matice čerpáno z Gaussův jednotný soubor. To poskytuje určitou podporu domněnce Hilbert-Pólya.

V roce 1999 Michael Berry a Jonathan Keating domníval se, že existuje nějaká neznámá kvantizace ${ displaystyle { hat {H}}}$ klasického hamiltoniánu H = xp aby

{ displaystyle zeta (1/2 + i { hat {H}}) = 0}

a ještě silněji, že Riemannovy nuly se shodují se spektrem operátora ${ displaystyle 1/2 + i { hat {H}}}$ . To je v rozporu s kanonická kvantizace, což vede k Heisenbergův princip nejistoty ${ displaystyle [x, p] = 1/2}$ a přirozená čísla jako spektrum kvantový harmonický oscilátor. Klíčovým bodem je, že Hamiltonian by měl být operátor s vlastním adjunktem, takže kvantizace by byla realizací programu Hilbert – Pólya. V souvislosti s tímto kvantově mechanickým problémem navrhli Berry a Connes, že inverze potenciálu Hamiltonianova je spojena s poloviční derivací funkce

{ displaystyle N (s) = { frac {1} { pi}} operatorname {Arg} xi (1/2 + i { sqrt {s}})}

pak v přístupu Berry – Connes

{ displaystyle V ^ {- 1} (x) = { sqrt {4 pi}} { frac {d ^ {1/2} N (x)} {dx ^ {1/2}}}}

(Connes 1999 ). Tím se získá Hamiltonian, jehož vlastní hodnoty jsou druhou mocninou imaginární části Riemannových nul, a také to, že funkční determinant tohoto Hamiltonovského operátoru je jen Funkce Riemann Xi. Funkce Riemann Xi by byla ve skutečnosti úměrná funkčnímu determinantu (produkt Hadamard)

{ displaystyle det (H + 1/4 + s (s-1))}

jak v tomto přístupu prokázal Connes a další

{ displaystyle { frac { xi (s)} { xi (0)}} = { frac { det (H + s (s-1) +1/4)} { det (H + 1 / 4)}}.}

Analogie s Riemannovou hypotézou o konečných polích naznačuje, že Hilbertův prostor obsahující vlastní vektory odpovídající nulám může být jakousi první kohomologickou skupinou spektrum Spec (Z) celých čísel. Deninger (1998) popsal některé pokusy o nalezení takové teorie cohomologie (Leichtnam 2005 ).

Zagier (1981) zkonstruoval přirozený prostor invariantních funkcí na horní polovině roviny, který má vlastní hodnoty pod laplaciánským operátorem, které odpovídají nulam Riemannovy zeta funkce - a poznamenal, že v nepravděpodobném případě, že by bylo možné ukázat existenci vhodného pozitivního určitého vnitřního produktu na v tomto prostoru bude následovat Riemannova hypotéza. Cartier (1982) discussed a related example, where due to a bizarre bug a computer program listed zeros of the Riemann zeta function as eigenvalues of the same Laplacian operator.

Schumayer & Hutchinson (2011) surveyed some of the attempts to construct a suitable physical model related to the Riemann zeta function.

Lee–Yang theorem

The Lee–Yang theorem states that the zeros of certain partition functions in statistical mechanics all lie on a "critical line" with their real part equals to 0, and this has led to some speculation about a relationship with the Riemann hypothesis (Knauf 1999 ).

Turán's result

Pál Turán (1948 ) showed that if the functions

{displaystyle sum _{n=1}^{N}n^{-s}}

have no zeros when the real part of s is greater than one then

{displaystyle T(x)=sum _{nleq x}{frac {lambda (n)}{n}}geq 0{ ext{ for }}x>0,}

kde λ (n) je Liouville function given by (−1)^r -li n má r prime factors. He showed that this in turn would imply that the Riemann hypothesis is true. Ale Haselgrove (1958) dokázal to T(X) is negative for infinitely many X (and also disproved the closely related Pólya domněnka ), a Borwein, Ferguson & Mossinghoff (2008) showed that the smallest such X je 72185376951205. Spira (1968) showed by numerical calculation that the finite Dirichlet series above for N=19 has a zero with real part greater than 1. Turán also showed that a somewhat weaker assumption, the nonexistence of zeros with real part greater than 1+N^−1/2+ε pro velké N in the finite Dirichlet series above, would also imply the Riemann hypothesis, but Montgomery (1983) showed that for all sufficiently large N these series have zeros with real part greater than 1 + (log log N)/(4 log N). Therefore, Turán's result is prázdně pravda and cannot help prove the Riemann hypothesis.

Nekomutativní geometrie

Connes (1999, 2000 ) has described a relationship between the Riemann hypothesis and nekomutativní geometrie, and shows that a suitable analog of the Selbergův stopový vzorec for the action of the idèle třída skupina on the adèle class space would imply the Riemann hypothesis. Some of these ideas are elaborated in Lapidus (2008).

Hilbertovy prostory celých funkcí

Louis de Branges (1992 ) showed that the Riemann hypothesis would follow from a positivity condition on a certain Hilbert space of entire functions.However Conrey & Li (2000) showed that the necessary positivity conditions are not satisfied. Despite this obstacle, de Branges has continued to work on an attempted proof of the Riemann hypothesis along the same lines, but this has not been widely accepted by other mathematicians(Sarnak 2005 ).

Kvazikrystaly

The Riemann hypothesis implies that the zeros of the zeta function form a kvazikrystal, a distribution with discrete support whose Fourier transform also has discrete support.Dyson (2009) suggested trying to prove the Riemann hypothesis by classifying, or at least studying, 1-dimensional quasicrystals.

Arithmetic zeta functions of models of elliptic curves over number fields

When one goes from geometric dimension one, e.g. an algebraic number field, to geometric dimension two, e.g. a regular model of an eliptická křivka over a number field, the two-dimensional part of the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of the model deals with the poles of the zeta function. In dimension one the study of the zeta integral in Tateova práce does not lead to new important information on the Riemann hypothesis. Contrary to this, in dimension two work of Ivan Fesenko on two-dimensional generalisation of Tate's thesis includes an integral representation of a zeta integral closely related to the zeta function. In this new situation, not possible in dimension one, the poles of the zeta function can be studied via the zeta integral and associated adele groups. Related conjecture of Fesenko (2010 ) on the positivity of the fourth derivative of a boundary function associated to the zeta integral essentially implies the pole part of the generalized Riemann hypothesis. Suzuki (2011 ) proved that the latter, together with some technical assumptions, implies Fesenko's conjecture.

Multiple zeta functions

Deligne's proof of the Riemann hypothesis over finite fields used the zeta functions of product varieties, whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the original zeta function, in order to bound the real parts of the zeros of the original zeta function. By analogy, Kurokawa (1992) introduced multiple zeta functions whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the Riemann zeta function. To make the series converge he restricted to sums of zeros or poles all with non-negative imaginary part. So far, the known bounds on the zeros and poles of the multiple zeta functions are not strong enough to give useful estimates for the zeros of the Riemann zeta function.

Location of the zeros

Number of zeros

The functional equation combined with the argument principle implies that the number of zeros of the zeta function with imaginary part between 0 and T je dána

{displaystyle N(T)={frac {1}{pi }}mathop {mathrm {Arg} } (xi (s))={frac {1}{pi }}mathop {mathrm {Arg} } (Gamma ({ frac {s}{2}})pi ^{-{frac {s}{2}}}zeta (s)s(s-1)/2)}

pro s=1/2+iT, where the argument is defined by varying it continuously along the line with Im(s)=T, starting with argument 0 at ∞+iT. This is the sum of a large but well understood term

{displaystyle {frac {1}{pi }}mathop {mathrm {Arg} } (Gamma ({ frac {s}{2}})pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={frac {T}{2pi }}log {frac {T}{2pi }}-{frac {T}{2pi }}+7/8+O(1/T)}

and a small but rather mysterious term

{displaystyle S(T)={frac {1}{pi }}mathop {mathrm {Arg} } (zeta (1/2+iT))=O(log(T)).}

So the density of zeros with imaginary part near T is about log(T)/2π, and the function S describes the small deviations from this. Funkce S(t) jumps by 1 at each zero of the zeta function, and for t ≥ 8 it decreases monotonically between zeros with derivative close to −log t.

Karatsuba (1996) proved that every interval (T, T+H] pro ${displaystyle Hgeq T^{{frac {27}{82}}+varepsilon }}$ contains at least

{displaystyle H(ln T)^{frac {1}{3}}e^{-c{sqrt {ln ln T}}}}

points where the function S(t) changes sign.

Selberg (1946) showed that the average moments of even powers of S jsou dány

{displaystyle int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={frac {(2k)!}{k!(2pi )^{2k}}}T(log log T)^{k}+O(T(log log T)^{k-1/2}).}

To naznačuje S(T)/(log log T)^1/2 připomíná a Gaussian random variable with mean 0 and variance 2π² (Ghosh (1983) proved this fact).In particular |S(T) | is usually somewhere around (log log T)^1/2, but occasionally much larger. The exact order of growth of S(T) není znám. There has been no unconditional improvement to Riemann's original bound S(T)=O(log T), though the Riemann hypothesis implies the slightly smaller bound S(T)=O(log T/log log T) (Titchmarsh 1986 ). The true order of magnitude may be somewhat less than this, as random functions with the same distribution as S(T) tend to have growth of order about log(T)^1/2. In the other direction it cannot be too small: Selberg (1946) to ukázal S(T) ≠ o((log T)^1/3/(log log T)^7/3), and assuming the Riemann hypothesis Montgomery showed that S(T) ≠ o((log T)^1/2/(log log T)^1/2).

Numerical calculations confirm that S grows very slowly: |S(T) | < 1 for T < 280, |S(T) | < 2 for T < 6800000, and the largest value of |S(T) | found so far is not much larger than 3 (Odlyzko 2002 ).

Riemann's estimate S(T) = O(log T) implies that the gaps between zeros are bounded, and Littlewood improved this slightly, showing that the gaps between their imaginary parts tends to 0.

Theorem of Hadamard and de la Vallée-Poussin

Hadamard (1896) a de la Vallée-Poussin (1896) independently proved that no zeros could lie on the line Re(s) = 1. Together with the functional equation and the fact that there are no zeros with real part greater than 1, this showed that all non-trivial zeros must lie in the interior of the critical strip 0 < Re(s) < 1. This was a key step in their first proofs of the věta o prvočísle.

Both the original proofs that the zeta function has no zeros with real part 1 are similar, and depend on showing that if ζ(1+to) vanishes, then ζ(1+2to) is singular, which is not possible. One way of doing this is by using the inequality

{displaystyle |zeta (sigma )^{3}zeta (sigma +it)^{4}zeta (sigma +2it)|geq 1}

for σ > 1, t real, and looking at the limit as σ → 1. This inequality follows by taking the real part of the log of the Euler product to see that

{displaystyle |zeta (sigma +it)|=exp Re sum _{p^{n}}{frac {p^{-n(sigma +it)}}{n}}=exp sum _{p^{n}}{frac {p^{-nsigma }cos(tlog p^{n})}{n}},}

where the sum is over all prime powers strⁿ, aby

{displaystyle |zeta (sigma )^{3}zeta (sigma +it)^{4}zeta (sigma +2it)|=exp sum _{p^{n}}p^{-nsigma }{frac {3+4cos(tlog p^{n})+cos(2tlog p^{n})}{n}}}

which is at least 1 because all the terms in the sum are positive, due to the inequality

{displaystyle 3+4cos( heta )+cos(2 heta )=2(1+cos( heta ))^{2}geq 0.}

Zero-free regions

De la Vallée-Poussin (1899–1900) dokázal, že pokud σ + i t is a zero of the Riemann zeta function, then 1 − σ ≥ C/log (t) pro nějakou pozitivní konstantu C. In other words, zeros cannot be too close to the line σ = 1: there is a zero-free region close to this line. This zero-free region has been enlarged by several authors using methods such as Vinogradov's mean-value theorem. Ford (2002) gave a version with explicit numerical constants: ζ(σ + i t ) ≠ 0 kdykoli |t | ≥ 3 a

{displaystyle sigma geq 1-{frac {1}{57.54(log {|t|})^{2/3}(log {log {|t|}})^{1/3}}}.}

Zeros on the critical line

Hardy (1914) a Hardy & Littlewood (1921) showed there are infinitely many zeros on the critical line, by considering moments of certain functions related to the zeta function. Selberg (1942) proved that at least a (small) positive proportion of zeros lie on the line. Levinson (1974) improved this to one-third of the zeros by relating the zeros of the zeta function to those of its derivative, and Conrey (1989) improved this further to two-fifths.

Most zeros lie close to the critical line. Přesněji, Bohr & Landau (1914) showed that for any positive ε, all but an infinitely small proportion of zeros lie within a distance ε of the critical line. Ivić (1985) gives several more precise versions of this result, called zero density estimates, which bound the number of zeros in regions with imaginary part at most T and real part at least 1/2+ε.

Hardy–Littlewood conjectures

In 1914 Godfrey Harold Hardy dokázal to ${displaystyle zeta left({ frac {1}{2}}+it ight)}$ has infinitely many real zeros.

The next two conjectures of Hardy a John Edensor Littlewood on the distance between real zeros of ${displaystyle zeta left({ frac {1}{2}}+it ight)}$ and on the density of zeros of ${displaystyle zeta left({ frac {1}{2}}+it ight)}$ na intervalu ${displaystyle (T,T+H]}$ for sufficiently large ${displaystyle T>0}$ , a ${displaystyle H=T^{a+varepsilon }}$ and with as small as possible value of ${ displaystyle a> 0}$ , kde ${ displaystyle varepsilon> 0}$ is an arbitrarily small number, open two new directions in the investigation of the Riemann zeta function:

1. Pro všechny

{ displaystyle varepsilon> 0}

there exists a lower bound

{displaystyle T_{0}=T_{0}(varepsilon )>0}

takové, že pro

{displaystyle Tgeq T_{0}}

a

{displaystyle H=T^{{ frac {1}{4}}+varepsilon }}

the interval

{displaystyle (T,T+H]}

contains a zero of odd order of the function

{displaystyle zeta {igl (}{ frac {1}{2}}+it{igr )}}

.

Nechat ${ displaystyle N (T)}$ be the total number of real zeros, and ${displaystyle N_{0}(T)}$ be the total number of zeros of odd order of the function ${displaystyle ~zeta left({ frac {1}{2}}+it ight)~}$ lying on the interval ${displaystyle (0,T]~}$ .

2. Pro všechny

{ displaystyle varepsilon> 0}

tady existuje

{displaystyle T_{0}=T_{0}(varepsilon )>0}

a nějaký

{displaystyle c=c(varepsilon )>0}

, such that for

{displaystyle Tgeq T_{0}}

a

{displaystyle H=T^{{ frac {1}{2}}+varepsilon }}

nerovnost

{displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)geq cH}

je pravda.

Selberg's zeta function conjecture

Atle Selberg (1942 ) investigated the problem of Hardy–Littlewood 2 and proved that for any ε > 0 there exists such ${displaystyle T_{0}=T_{0}(varepsilon )>0}$ a C = C(ε) > 0, such that for ${displaystyle Tgeq T_{0}}$ a ${displaystyle H=T^{0.5+varepsilon }}$ nerovnost ${displaystyle N(T+H)-N(T)geq cHlog T}$ je pravda. Selberg conjectured that this could be tightened to ${displaystyle H=T^{0.5}}$ . A. A. Karatsuba (1984a, 1984b, 1985 ) proved that for a fixed ε satisfying the condition 0 < ε < 0.001, a sufficiently large T a ${displaystyle H=T^{a+varepsilon }}$ , ${displaystyle a={ frac {27}{82}}={ frac {1}{3}}-{ frac {1}{246}}}$ , the interval (T, T+H) contains at least cHln (T) real zeros of the Funkce Riemann zeta ${displaystyle zeta left({ frac {1}{2}}+it ight)}$ and therefore confirmed the Selberg conjecture. The estimates of Selberg and Karatsuba can not be improved in respect of the order of growth as T → ∞.

Karatsuba (1992) proved that an analog of the Selberg conjecture holds for almost all intervals (T, T+H], ${displaystyle H=T^{varepsilon }}$ , where ε is an arbitrarily small fixed positive number. The Karatsuba method permits to investigate zeros of the Riemann zeta-function on "supershort" intervals of the critical line, that is, on the intervals (T, T+H], the length H of which grows slower than any, even arbitrarily small degree T. In particular, he proved that for any given numbers ε, ${ displaystyle varepsilon _ {1}}$ satisfying the conditions ${displaystyle 0$ almost all intervals (T, T+H] pro ${displaystyle Hgeq exp {{(ln T)^{varepsilon }}}}$ contain at least ${displaystyle H(ln T)^{1-varepsilon _{1}}}$ zeros of the function ${displaystyle zeta left({ frac {1}{2}}+it ight)}$ . This estimate is quite close to the one that follows from the Riemann hypothesis.

Numerical calculations

Absolute value of the ζ-function

Funkce

{displaystyle pi ^{-{frac {s}{2}}}Gamma ({ frac {s}{2}})zeta (s)}

has the same zeros as the zeta function in the critical strip, and is real on the critical line because of the functional equation, so one can prove the existence of zeros exactly on the real line between two points by checking numerically that the function has opposite signs at these points. Usually one writes

{displaystyle zeta ({ frac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i heta (t)}}

where Hardy's function Z a Funkce Riemann – Siegel theta θ are uniquely defined by this and the condition that they are smooth real functions with θ(0)=0.By finding many intervals where the function Z changes sign one can show that there are many zeros on the critical line. To verify the Riemann hypothesis up to a given imaginary part T of the zeros, one also has to check that there are no further zeros off the line in this region. This can be done by calculating the total number of zeros in the region using Turingova metoda and checking that it is the same as the number of zeros found on the line. This allows one to verify the Riemann hypothesis computationally up to any desired value of T (provided all the zeros of the zeta function in this region are simple and on the critical line).

Some calculations of zeros of the zeta function are listed below. So far all zeros that have been checked are on the critical line and are simple. (A multiple zero would cause problems for the zero finding algorithms, which depend on finding sign changes between zeros.) For tables of the zeros, see Haselgrove & Miller (1960) nebo Odlyzko.

Rok	Number of zeros	Autor
1859?	3	B. Riemann used the Riemann – Siegelův vzorec (unpublished, but reported in Siegel 1932 ).
1903	15	J. P. Gram (1903) použitý Euler–Maclaurin summation a objevil Gramův zákon. He showed that all 10 zeros with imaginary part at most 50 range lie on the critical line with real part 1/2 by computing the sum of the inverse 10th powers of the roots he found.
1914	79 (γ_n ≤ 200)	R. J. Backlund (1914) introduced a better method of checking all the zeros up to that point are on the line, by studying the argument S(T) of the zeta function.
1925	138 (γ_n ≤ 300)	J. I. Hutchinson (1925) found the first failure of Gram's law, at the Gram point G₁₂₆.
1935	195	E. C. Titchmarsh (1935) used the recently rediscovered Riemann – Siegelův vzorec, which is much faster than Euler–Maclaurin summation. It takes about O(T^{3/2 + ε}) steps to check zeros with imaginary part less than T, while the Euler–Maclaurin method takes about O(T^2+ε) kroky.
1936	1041	E. C. Titchmarsh (1936) and L. J. Comrie were the last to find zeros by hand.
1953	1104	A. M. Turing (1953) found a more efficient way to check that all zeros up to some point are accounted for by the zeros on the line, by checking that Z has the correct sign at several consecutive Gram points and using the fact that S(T) has average value 0. This requires almost no extra work because the sign of Z at Gram points is already known from finding the zeros, and is still the usual method used. This was the first use of a digital computer to calculate the zeros.
1956	15000	D. H. Lehmer (1956) discovered a few cases where the zeta function has zeros that are "only just" on the line: two zeros of the zeta function are so close together that it is unusually difficult to find a sign change between them. This is called "Lehmer's phenomenon", and first occurs at the zeros with imaginary parts 7005.063 and 7005.101, which differ by only .04 while the average gap between other zeros near this point is about 1.
1956	25000	D. H. Lehmer
1958	35337	N. A. Meller
1966	250000	R. S. Lehman
1968	3500000	Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) stated Rosser's rule (described below).
1977	40000000	R. P. Brent
1979	81000001	R. P. Brent
1982	200000001	R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983	300000001	J. van de Lune, H. J. J. te Riele
1986	1500000001	van de Lune, te Riele & Winter (1986) gave some statistical data about the zeros and give several graphs of Z at places where it has unusual behavior.
1987	A few of large (~10¹²) height	A. M. Odlyzko (1987 ) computed smaller numbers of zeros of much larger height, around 10¹², to high precision to check Montgomeryho párová korelační domněnka.
1992	A few of large (~10²⁰) height	A. M. Odlyzko (1992 ) computed a 175 million zeros of heights around 10²⁰ and a few more of heights around 2×10²⁰, and gave an extensive discussion of the results.
1998	10000 of large (~10²¹) height	A. M. Odlyzko (1998 ) computed some zeros of height about 10²¹
2001	10000000000	J. van de Lune (unpublished)
2004	~900000000000^[3]	S. Wedeniwski (ZetaGrid distributed computing)
2004	10000000000000 and a few of large (up to ~10²⁴) heights	X. Gourdon (2004) and Patrick Demichel used the Algoritmus Odlyzko – Schönhage. They also checked two billion zeros around heights 10¹³, 10¹⁴, ..., 10²⁴.
2020	12363153437138 up to height 3000175332800	Platt & Trudgian (2020). They also verified the work of Gourdon (2004) a další.

Gramové body

A Gram point is a point on the critical line 1/2 + to where the zeta function is real and non-zero. Using the expression for the zeta function on the critical line, ζ(1/2 + to) = Z(t)E^{− iθ (t)}, where Hardy's function, Z, is real for real t, and θ is the Funkce Riemann – Siegel theta, we see that zeta is real when sin(θ(t)) = 0. This implies that θ(t) is an integer multiple of π, which allows for the location of Gram points to be calculated fairly easily by inverting the formula for θ. They are usually numbered as G_n pro n = 0, 1, ..., where G_n is the unique solution of θ(t) = nπ.

Gram observed that there was often exactly one zero of the zeta function between any two Gram points; Hutchinson called this observation Gramův zákon. There are several other closely related statements that are also sometimes called Gram's law: for example, (−1)ⁿZ(G_n) is usually positive, or Z(t) usually has opposite sign at consecutive Gram points. The imaginary parts γ_n of the first few zeros (in blue) and the first few Gram points G_n are given in the following table

		G₋₁	y₁	G₀	y₂	G₁	y₃	G₂	y₄	G₃	y₅	G₄	y₆	G₅
0.000	3.436	9.667	14.135	17.846	21.022	23.170	25.011	27.670	30.425	31.718	32.935	35.467	37.586	38.999

This is a polar plot of the first 20 non-trivial Funkce Riemann zeta zeros (including Gramové body ) along the critical line

{displaystyle zeta (1/2+it)}

for real values of

{ displaystyle t}

running from 0 to 50. The consecutively labeled zeros have 50 red plot points between each, with zeros identified by concentric magenta rings scaled to show the relative distance between their values of t. Gram's law states that the curve usually crosses the real axis once between zeros.

The first failure of Gram's law occurs at the 127th zero and the Gram point G₁₂₆, which are in the "wrong" order.

G₁₂₄	y₁₂₆	G₁₂₅	G₁₂₆	y₁₂₇	y₁₂₈	G₁₂₇	y₁₂₉	G₁₂₈
279.148	279.229	280.802	282.455	282.465	283.211	284.104	284.836	285.752

A Gram point t is called good if the zeta function is positive at 1/2 + to. The indices of the "bad" Gram points where Z has the "wrong" sign are 126, 134, 195, 211, ... (sequence A114856 v OEIS ). A Gram block is an interval bounded by two good Gram points such that all the Gram points between them are bad. A refinement of Gram's law called Rosser's rule due to Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) says that Gram blocks often have the expected number of zeros in them (the same as the number of Gram intervals), even though some of the individual Gram intervals in the block may not have exactly one zero in them. For example, the interval bounded by G₁₂₅ a G₁₂₇ is a Gram block containing a unique bad Gram point G₁₂₆, and contains the expected number 2 of zeros although neither of its two Gram intervals contains a unique zero. Rosser a kol. checked that there were no exceptions to Rosser's rule in the first 3 million zeros, although there are infinitely many exceptions to Rosser's rule over the entire zeta function.

Gram's rule and Rosser's rule both say that in some sense zeros do not stray too far from their expected positions. The distance of a zero from its expected position is controlled by the function S defined above, which grows extremely slowly: its average value is of the order of (log log T)^1/2, which only reaches 2 for T around 10²⁴. This means that both rules hold most of the time for small T but eventually break down often. Vskutku, Trudgian (2011) showed that both Gram's law and Rosser's rule fail in a positive proportion of cases. To be specific, it is expected that in about 73% one zero is enclosed by two successive Gram points, but in 14% no zero and in 13% two zeros are in such a Gram-interval on the long run.

Arguments for and against the Riemann hypothesis

Mathematical papers about the Riemann hypothesis tend to be cautiously noncommittal about its truth. Of authors who express an opinion, most of them, such as Riemann (1859) a Bombieri (2000), imply that they expect (or at least hope) that it is true. The few authors who express serious doubt about it include Ivić (2008), který uvádí některé důvody skepticismu a Littlewood (1962), který jednoznačně prohlašuje, že to považuje za falešné, že pro to neexistují žádné důkazy a žádný představitelný důvod, proč by to byla pravda. Konsenzus článků průzkumu (Bombieri 2000, Conrey 2003, a Sarnak 2005 ) je, že důkazy o tom jsou silné, ale ne ohromující, takže i když je to pravděpodobně pravda, existují důvodné pochybnosti.

Některé z argumentů pro a proti Riemannově hypotéze jsou uvedeny v seznamu Sarnak (2005), Conrey (2003), a Ivić (2008) a zahrnují následující:

Několik analogů Riemannovy hypotézy již bylo prokázáno. Důkaz Riemannovy hypotézy pro odrůdy nad konečnými poli podle Deligne (1974) je možná jediným nejsilnějším teoretickým důvodem ve prospěch Riemannovy hypotézy. To poskytuje určité důkazy pro obecnější domněnku, že všechny funkce zeta spojené s automorfními formami uspokojují Riemannovu hypotézu, která zahrnuje klasickou Riemannovu hypotézu jako speciální případ. Podobně Selberg zeta funkce uspokojují analogii Riemannovy hypotézy a jsou v některých ohledech podobné Riemannově zeta funkci, která má funkční rovnici a nekonečnou expanzi produktu analogickou s expanzí produktu Euler. Existují však také některé zásadní rozdíly; například nejsou dány Dirichletovou řadou. Riemannova hypotéza pro Funkce Goss zeta bylo prokázáno Sheats (1998). Na rozdíl od těchto pozitivních příkladů některé Funkce Epstein zeta nesplňují Riemannovu hypotézu, přestože mají na kritické linii nekonečné množství nul (Titchmarsh 1986 ). Tyto funkce jsou velmi podobné funkci Riemann zeta a mají Dirichletovu řadu rozšíření a funkční rovnici, ale ty, o nichž je známo, že selhávají Riemannovu hypotézu, nemají produkt Euler a přímo nesouvisí s automorfní reprezentace.
Zpočátku se numerické ověření toho, že mnoho nul leží na řádku, jeví jako silný důkaz. Ale analytická teorie čísel měla mnoho dohadů podložených podstatnými číselnými důkazy, které se ukázaly jako nepravdivé. Vidět Šikmé číslo pro notoricky známý příklad, kde první výjimka z věrohodné domněnky související s Riemannovou hypotézou pravděpodobně nastává kolem 10³¹⁶; protipříklad Riemannovy hypotézy s imaginární částí by tato velikost byla daleko za čímkoli, co lze v současné době vypočítat pomocí přímého přístupu. Problém je v tom, že chování je často ovlivňováno velmi pomalu rostoucími funkcemi, jako je log log T, které mají sklon k nekonečnu, ale dělejte to tak pomalu, že to nelze zjistit výpočtem. Takové funkce se vyskytují v teorii funkce zeta, která řídí chování jejích nul; například funkce S(T) výše má průměrnou velikost kolem (log log T)^1/2. Tak jako S(T) poskočí alespoň o 2 při jakémkoli protikladu k Riemannově hypotéze, dalo by se očekávat, že se všechny protiklady k Riemannově hypotéze začnou objevovat, až když S(T) se zvětší. Pokud jde o výpočet, nikdy to není mnohem víc než 3, ale je známo, že je neomezený, což naznačuje, že výpočty možná ještě nedosáhly oblasti typického chování funkce zeta.
Denjoy pravděpodobnostní argument pro Riemannovu hypotézu (Edwards 1974 ) je založeno na pozorování, že pokud μ (X) je náhodná posloupnost „1“ sa „1“ s pro každou ε> 0, částečné částky

{ displaystyle M (x) = součet _ {n leq x} mu (n)}

(jejichž hodnoty jsou pozice v a jednoduchá náhodná procházka ) uspokojit vázané

{ displaystyle M (x) = O (x ^ {1/2 + varepsilon})}

s pravděpodobnost 1. Riemannova hypotéza je ekvivalentní s touto hranicí pro Möbiova funkce μ a Funkce Mertens M odvozeno stejným způsobem z ní. Jinými slovy, Riemannova hypotéza je v určitém smyslu ekvivalentní s tím, že μ (X) se chová jako náhodná sekvence losování mincí. Když μ (X) je nenulové, jeho znaménko udává paritu počtu hlavních faktorů X, neformálně tedy Riemannova hypotéza říká, že parita počtu hlavních faktorů celého čísla se chová náhodně. Takové pravděpodobnostní argumenty v teorii čísel často dávají správnou odpověď, ale je velmi obtížné je provést důkladně a občas dávají nesprávnou odpověď na některé výsledky, například Maierova věta.

Výpočty v Odlyzko (1987) ukazují, že nuly funkce zeta se chovají velmi podobně jako vlastní čísla náhodné hermitovské matice, což naznačuje, že jsou vlastními čísly nějakého samoadjungujícího operátoru, což by znamenalo Riemannovu hypotézu. Všechny pokusy o nalezení takového operátora selhaly.
Existuje několik vět, jako např Goldbachova slabá domněnka pro dostatečně velká lichá čísla, která byla nejprve prokázána pomocí zobecněné Riemannovy hypotézy, a později se ukázalo, že jsou bezpodmínečně pravdivá. To lze považovat za slabý důkaz pro zobecněnou Riemannovu hypotézu, protože několik jejích „předpovědí“ je pravdivých.
Lehmerův fenomén (Lehmer 1956 ), kde jsou dvě nuly někdy velmi blízké, se někdy uvádí jako důvod k nevěře v Riemannovu hypotézu. Dalo by se však očekávat, že k tomu dojde příležitostně, i když je Riemannova hypotéza pravdivá, a výpočty Odlyzka naznačují, že blízké páry nul se vyskytují stejně často, jak předpovídal Montgomeryho domněnka.
Patterson (1988) naznačuje, že nejpřesvědčivějším důvodem Riemannovy hypotézy pro většinu matematiků je naděje, že prvočísla budou distribuována co nejpravidelněji.^[4]

Poznámky

^ Leonhard Euler. Variae pozorování circa série infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, s. 160–188, věty 7 a 8. Ve větě 7 Euler dokazuje vzorec ve zvláštním případě ${ displaystyle s = 1}$ , a ve větě 8 to dokazuje obecněji. V prvním důsledku své Věty 7 to poznamenává ${ displaystyle zeta (1) = log infty}$ , a využije tento druhý výsledek ve své Věty 19, aby ukázal, že součet inverzí prvočísel je ${ displaystyle log log infty}$ .
^ Knapowski, Stanisław (1962). "Při změně znaménka rozdílu π (x) -li (x)". Acta Arithmetica. 7 (2): 107–119. doi:10,4064 / aa-7-2-107-119. ISSN 0065-1036.
^ Weisstein, Eric W. „Nuly funkce Riemann Zeta“. mathworld.wolfram.com. Citováno 28. dubna 2020. ZetaGrid je projekt distribuované výpočetní techniky, který se pokouší vypočítat co nejvíce nul. K 18. únoru 2005 dosáhl 1029,9 miliardy nul.
^ p. 75: „K tomuto seznamu by se pravděpodobně měl přidat„ platonický “důvod, že se očekává, že přirozená čísla budou nejdokonalejší představitelnou představou, a že je to kompatibilní pouze s prvočísly distribuovanými co nejpravidelnějším způsobem ...“

Reference

Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207–246, doi:10.1007 / BF01181075, S2CID 117936362
Backlund, R. J. (1914), „Sur les Zéros de la Fonction ζ (s) de Riemann“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 158: 1979–1981
Beurling, Arne (1955), „Problém uzavření týkající se Riemannovy zeta funkce“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 41 (5): 312–314, Bibcode:1955PNAS ... 41..312B, doi:10.1073 / pnas.41.5.312, PAN 0070655, PMC 528084, PMID 16589670
Bohr, H.; Landau, E. (1914), „Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen ", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269–272, doi:10.1007 / BF03014823, S2CID 121145912
Bombieri, Enrico (2000), Riemannova hypotéza - oficiální popis problému (PDF), Hliněný matematický institut, vyvoláno 2008-10-25 Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, vyd. (2008), Riemannova hypotéza: Zdroj pro Afficionado i Virtuoso, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
Borwein, Peter; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), „Podepsat změny v součtech funkce Liouville“, Matematika výpočtu, 77 (263): 1681–1694, Bibcode:2008MaCom..77.1681B, doi:10.1090 / S0025-5718-08-02036-X, PAN 2398787
de Branges, Louis (1992), „Konvergence produktů Euler“, Journal of Functional Analysis, 107 (1): 122–210, doi:10.1016 / 0022-1236 (92) 90103-P, PAN 1165869
Broughan, Kevin (2017), Ekvivalenty Riemannovy hypotézy, Cambridge University Press, ISBN 978-1108290784
Burton, David M. (2006), Základní teorie čísel, Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited, ISBN 978-0-07-061607-3
Cartier, P. (1982), „Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée“, Seminář teorie čísel, Paříž 1980–81 (Paříž, 1980/1981), Progr. Matematika., 22, Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 35–48, PAN 0693308
Connes, Alain (1999), „Stopový vzorec v nekomutativní geometrii a nuly Riemannovy zeta funkce“, Selecta Mathematica. Nová řada, 5 (1): 29–106, arXiv:matematika / 9811068, doi:10,1007 / s000290050042, PAN 1694895, S2CID 55820659
Connes, Alain (2000), „Noncommutative geometry and the Riemann zeta function“, Matematika: hranice a perspektivy„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 35–54, PAN 1754766
Connes, Alain (2016), „Esej o Riemannově hypotéze“, in Nash, J. F.; Rassias, Michael (eds.), Otevřené problémy v matematice, New York: Springer, s. 225–257, arXiv:1509.05576, doi:10.1007/978-3-319-32162-2_5
Conrey, J. B. (1989), „Více než dvě pětiny nul funkce Riemann zeta jsou na kritické linii“, J. Reine Angew. Matematika., 1989 (399): 1–16, doi:10.1515 / crll.1989.399.1, PAN 1004130, S2CID 115910600
Conrey, J. Brian (2003), „Riemannova hypotéza“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti: 341–353 Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Conrey, J. B.; Li, Xian-Jin (2000), „Poznámka k některým podmínkám pozitivity týkajícím se zeta a L-funkcí“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 2000 (18): 929–940, arXiv:matematika / 9812166, doi:10.1155 / S1073792800000489, PAN 1792282, S2CID 14678312
Deligne, Pierre (1974), „La Conecture de Weil. Já“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 43: 273–307, doi:10.1007 / BF02684373, PAN 0340258, S2CID 123139343
Deligne, Pierre (1980), „La Conecture de Weil: II“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 52: 137–252, doi:10.1007 / BF02684780, S2CID 189769469
Deninger, Christopher (1998), „Některé analogie mezi teorií čísel a dynamickými systémy ve foliovaných prostorech“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlín, 1998)„Documenta Mathematica, s. 163–186, PAN 1648030
Dudek, Adrian W. (2014-08-21), „K Riemannově hypotéze a rozdílu mezi prvočísly“, International Journal of Number Theory, 11 (3): 771–778, arXiv:1402.6417, Bibcode:2014arXiv1402.6417D, doi:10.1142 / S1793042115500426, ISSN 1793-0421, S2CID 119321107
Dyson, Freemane (2009), "Ptáci a žáby" (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 56 (2): 212–223, PAN 2483565
Edwards, H. M. (1974), Riemannova funkce Zeta, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, PAN 0466039
Fesenko, Ivan (2010), "Analýza aritmetických schémat. II", Journal of K-theory, 5 (3): 437–557, doi:10.1017 / is010004028jkt103
Ford, Kevin (2002), „Vinogradovův integrál a hranice funkce Riemann zeta“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 85 (3): 565–633, arXiv:1910.08209, doi:10.1112 / S0024611502013655, PAN 1936814, S2CID 121144007
Franel, J.; Landau, E. (1924), „Les suites de Farey et le problème des nombres premiers“ (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)", Göttinger Nachrichten: 198–206
Ghosh, Amit (1983), „O Riemannově zeta funkci - věty o střední hodnotě a rozdělení | S (T) |“, J. Teorie čísel, 17: 93–102, doi:10.1016 / 0022-314X (83) 90010-0
Gourdon, Xavier (2004), 10. den¹³ první nuly funkce Riemann Zeta a výpočet nul ve velmi velké výšce (PDF)
Gram, J. P. (1903), „Note sur les zéros de la fonction ζ (s) de Riemann“, Acta Mathematica, 27: 289–304, doi:10.1007 / BF02421310, S2CID 115327214
Hadamard, Jacques (1896), „Sur la distribution des zéros de la fonction ζ (s) et ses conséquences arithmétiques“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 14: 199–220, doi:10,24033 / bsmf.545 Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Hardy, G. H. (1914), „Sur les Zéros de la Fonction ζ (s) de Riemann“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 158: 1012–1014, JFM 45.0716.04 Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1921), „Nula Riemannova zeta-funkce na kritické linii“, Matematika. Z., 10 (3–4): 283–317, doi:10.1007 / BF01211614, S2CID 126338046
Haselgrove, C. B. (1958), „Vyvrácení domněnky o Pólyi“, Mathematika, 5 (2): 141–145, doi:10.1112 / S0025579300001480, ISSN 0025-5793, PAN 0104638, Zbl 0085.27102 Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Haselgrove, C. B.; Miller, J. C. P. (1960), Tabulky funkce Riemann zeta, Royal Society Mathematical Tables, sv. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06152-0, PAN 0117905 Posouzení
Hutchinson, J. I. (1925), „Na kořenech funkce Riemann Zeta“, Transakce Americké matematické společnosti, 27 (1): 49–60, doi:10.2307/1989163, JSTOR 1989163
Ingham, A.E. (1932), Rozdělení prvočísel„Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics“, 30, Cambridge University Press. Přetištěno 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, PAN1074573
Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Klasický úvod do moderní teorie čísel (druhé vydání), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X
Ivić, A. (1985), Funkce Riemann Zeta, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80634-9, PAN 0792089 (Dotisk Dover 2003)
Ivić, Aleksandar (2008), „O některých důvodech pro pochybování o Riemannově hypotéze“, Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (eds.), Riemannova hypotéza: Zdroj pro Afficionado i Virtuoso, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, str. 131–160, arXiv:math.NT / 0311162, ISBN 978-0-387-72125-5
Karatsuba, A. A. (1984a), „Nuly funkce ζ (s) na krátkých intervalech kritické linie“, Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. Rohož. (v Rusku), 48 (3): 569–584, PAN 0747251
Karatsuba, A. A. (1984b), „Distribuce nul funkce ζ(1/2 + to)", Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. Rohož. (v Rusku), 48 (6): 1214–1224, PAN 0772113
Karatsuba, A. A. (1985), „Nuly Riemannovy zeta-funkce na kritické linii“, Trudy Mat. Inst. Steklov. (v ruštině) (167): 167–178, PAN 0804073
Karatsuba, A. A. (1992), „O počtu nul Riemannovy zeta-funkce ležící téměř ve všech krátkých intervalech kritické linie“, Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Rohož. (v Rusku), 56 (2): 372–397, Bibcode:1993IzMat..40..353K, doi:10.1070 / IM1993v040n02ABEH002168, PAN 1180378
Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), Riemannova zeta funkce, de Gruyter Expositions in Mathematics, 5, Berlín: Walter de Gruyter & Co., doi:10.1515/9783110886146, ISBN 978-3-11-013170-3, PAN 1183467
Keating, Jonathan P .; Snaith, N. C. (2000), „Random matrix theory and ζ(1/2 + to)", Komunikace v matematické fyzice, 214 (1): 57–89, Bibcode:2000CMaPh.214 ... 57K, doi:10.1007 / s002200000261, PAN 1794265, S2CID 11095649
Knauf, Andreas (1999), „Teorie čísel, dynamické systémy a statistická mechanika“, Recenze v matematické fyzice, 11 (8): 1027–1060, Bibcode:1999RvMaP..11.1027K, doi:10.1142 / S0129055X99000325, PAN 1714352
von Koch, Niels Helge (1901), „Sur la distribution des nombres premers“, Acta Mathematica, 24: 159–182, doi:10.1007 / BF02403071, S2CID 119914826
Kurokawa, Nobushige (1992), "Více funkcí zeta: příklad", Funkce Zeta v geometrii (Tokio, 1990)Adv. Stud. Čistá matematika., 21, Tokio: Kinokuniya, s. 219–226, PAN 1210791
Lapidus, Michel L. (2008), Při hledání Riemannových nul, Providence, R.I .: American Mathematical Society, doi:10.1090 / mbk / 051, ISBN 978-0-8218-4222-5, PAN 2375028
Lavrik, A. F. (2001) [1994], "Funkce Zeta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Lehmer, D. H. (1956), „Rozšířený výpočet Riemannovy zeta funkce“, Mathematika. Žurnál čisté a aplikované matematiky, 3 (2): 102–108, doi:10.1112 / S0025579300001753, PAN 0086083
Leichtnam, Eric (2005), „Pozvánka na Deningerovu práci na aritmetických funkcích zeta“, Geometrie, spektrální teorie, skupiny a dynamika, Contemp. Matematika., 387„Providence, RI: Amer. Matematika. Soc., S. 201–236, doi:10.1090 / conm / 387/07243, PAN 2180209.
Levinson, N. (1974), „Více než třetina nul Riemannovy zeta funkce je na σ = 1/2“, Adv. Matematika., 13 (4): 383–436, doi:10.1016/0001-8708(74)90074-7, PAN 0564081
Littlewood, J. E. (1962), „Riemannova hypotéza“, Vědec spekuluje: antologie částečně upečeného nápadu, New York: Základní knihy
van de Lune, J .; te Riele, H. J. J.; Winter, D. T. (1986), „O nulech funkce Riemann zeta v kritickém pásu. IV“, Matematika výpočtu, 46 (174): 667–681, doi:10.2307/2008005, JSTOR 2008005, PAN 0829637
Massias, J.-P .; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), „Hodnocení asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique“, Acta Arithmetica, 50 (3): 221–242, doi:10,4064 / aa-50-3-221-242, PAN 0960551
Mazur, Barry; Stein, William (2015), Prvočísla a Riemannova hypotéza
Montgomery, Hugh L. (1973), „Párová korelace nul funkce zeta“, Teorie analytických čísel, Proc. Symposy. Čistá matematika., XXIV„Providence, R.I .: American Mathematical Society, s. 181–193, PAN 0337821 Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Montgomery, Hugh L. (1983), "Nuly aproximací funkce zeta", in Erdős, Paul (vyd.), Studium čisté matematiky. Na památku Paula Turána, Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, s. 497–506, ISBN 978-3-7643-1288-6, PAN 0820245
Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007), Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie, Cambridge studium pokročilé matematiky, 97, Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-84903-6
Pěkně, Thomas R. (1999), „Nové maximální mezery a první výskyty“, Matematika výpočtu, 68 (227): 1311–1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, doi:10.1090 / S0025-5718-99-01065-0, PAN 1627813.
Nyman, Bertil (1950), Na jednorozměrné překladové skupině a poloskupině v určitých funkčních prostorech, Disertační práce, University of Uppsala: University of Uppsala, PAN 0036444
Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), „Deaktivace Mertensova domněnky“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985 (357): 138–160, doi:10,1515 / crll.1985.357.138, PAN 0783538, S2CID 13016831, archivovány z originál dne 11. 7. 2012
Odlyzko, A. M. (1987), „O rozdělení mezer mezi nulami funkce zeta“, Matematika výpočtu, 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890, JSTOR 2007890, PAN 0866115
Odlyzko, A. M. (1990), „Meze pro diskriminující a související odhady počtu tříd, regulátorů a nul funkcí zeta: průzkum nedávných výsledků“, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Série 2, 2 (1): 119–141, doi:10,5802 / jtnb.22, PAN 1061762
Odlyzko, A. M. (1992), 10. den²⁰-th nula funkce Riemann zeta a 175 milionů jejích sousedů (PDF) Tato nepublikovaná kniha popisuje implementaci algoritmu a podrobně popisuje výsledky.
Odlyzko, A. M. (1998), 10. den²¹první nula Riemannovy zeta funkce (PDF)
Ono, Kene; Soundararajan, K. (1997), „Ramanujanova ternární kvadratická forma“, Inventiones Mathematicae, 130 (3): 415–454, Bibcode:1997InMat.130..415O, doi:10.1007 / s002220050191, S2CID 122314044
Patterson, S. J. (1988), Úvod do teorie Riemannovy zeta-funkce, Cambridge studia pokročilé matematiky, 14, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511623707, ISBN 978-0-521-33535-5, PAN 0933558
Platt, David; Trudgian, Tim (2020), Riemannova hypotéza je pravdivá ${ displaystyle 3 cdot 10 ^ {12}}$ , arXiv:2004.09765v1
Radziejewski, Maciej (2007), „Nezávislost funkcí Hecke zeta konečného řádu na normálních polích“, Transakce Americké matematické společnosti, 359 (5): 2383–2394, doi:10.1090 / S0002-9947-06-04078-5, PAN 2276625, Existuje nekonečně mnoho neizomorfních algebraických číselných polí, jejichž funkce Dedekind zeta mají nekonečně mnoho netriviálních vícenásobných nul.
Ribenboim, Paulo (1996), Nová kniha rekordů prvočísel, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
Riemann, Bernhard (1859), „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“, Monatsberichte der Berliner Akademie. v Gesammelte Werke, Teubner, Lipsko (1892), dotisk Dover, New York (1953). Původní rukopis (s anglickým překladem). Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ) a (Edwards 1974 )
Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970), „Některé výpočty související s Riemannovým vzorcem prvočísel“, Matematika výpočtu, 24 (112): 969–983, doi:10.2307/2004630, JSTOR 2004630, PAN 0277489
Riesz, M. (1916), „Sur l'hypothèse de Riemann“, Acta Mathematica, 40: 185–190, doi:10.1007 / BF02418544
Robin, G. (1984), „Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 63 (2): 187–213, PAN 0774171
Rosser, J. Barkley; Yohe, J. M .; Schoenfeld, Lowell (1969), „Rigorózní výpočet a nuly Riemannovy zeta funkce. (S diskusí)“, Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), sv. 1: Matematika, software, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 70–76, PAN 0258245
Rudin, Walter (1973), Funkční analýza, 1. vydání (leden 1973), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54225-2
Salem, Raphaël (1953), „Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann“, Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 236: 1127–1128, PAN 0053148
Sarnak, Peter (2005), Problémy tisíciletí: Riemannova hypotéza (2004) (PDF), Hliněný matematický institut, vyvoláno 2015-07-28 Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Schoenfeld, Lowell (1976), "Ostřejší hranice pro Čebyševovy funkce θ (x) a ψ (x). II", Matematika výpočtu, 30 (134): 337–360, doi:10.2307/2005976, JSTOR 2005976, PAN 0457374
Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011), „Fyzika Riemannovy hypotézy“, Recenze moderní fyziky, 83 (2): 307–330, arXiv:1101.3116, Bibcode:2011RvMP ... 83..307S, doi:10.1103 / RevModPhys.83.307, S2CID 119290777
Selberg, Atle (1942), „Na nuly Riemannovy zeta funkce“, SKR. Norske Vid. Akad. Oslo I., 10: 59 pp, PAN 0010712
Selberg, Atle (1946), „Příspěvky k teorii Riemannovy zeta-funkce“, Oblouk. Matematika. Naturvid., 48 (5): 89–155, PAN 0020594
Selberg, Atle (1956), „Harmonická analýza a diskontinuální skupiny ve slabě symetrických Riemannovských prostorech s aplikacemi na Dirichletovu řadu“, J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20: 47–87, PAN 0088511
Serre, Jean-Pierre (1969–1970), „Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et dohectures)“, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19
Sheats, Jeffrey T. (1998), „Riemannova hypotéza pro funkci Goss zeta pro F_q[T] ", Žurnál teorie čísel, 71 (1): 121–157, arXiv:matematika / 9801158, doi:10.1006 / jnth.1998.2232, PAN 1630979, S2CID 119703557
Siegel, C. L. (1932), „Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie“, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80 Přetištěno v Gesammelte Abhandlungen, sv. 1. Berlín: Springer-Verlag, 1966.
Speiser, Andreasi (1934), „Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion“, Mathematische Annalen, 110: 514–521, doi:10.1007 / BF01448042, JFM 60.0272.04, S2CID 119413347, archivovány z originál dne 2015-06-27
Spira, Robert (1968), „Nuly částí funkce zeta. II“, Matematika výpočtu, 22 (101): 163–173, doi:10.2307/2004774, JSTOR 2004774, PAN 0228456
Stein, William; Mazur, Barry (2007), Co je Riemannova hypotéza? (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 2009-03-27
Suzuki, Masatoshi (2011), „Pozitivnost určitých funkcí souvisejících s analýzou na eliptických površích“, Žurnál teorie čísel, 131 (10): 1770–1796, doi:10.1016 / j.jnt.2011.03.007
Titchmarsh, Edward Charles (1935), „Nuly funkce Riemann Zeta“, Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědyKrálovská společnost 151 (873): 234–255, Bibcode:1935RSPSA.151..234T, doi:10.1098 / rspa.1935.0146, JSTOR 96545
Titchmarsh, Edward Charles (1936), „Nuly funkce Riemann Zeta“, Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědyKrálovská společnost 157 (891): 261–263, Bibcode:1936RSPSA.157..261T, doi:10.1098 / rspa.1936.0192, JSTOR 96692
Titchmarsh, Edward Charles (1986), Teorie Riemannovy zeta funkce (2. vyd.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, PAN 0882550
Trudgian, Timothy (2011), „O úspěchu a neúspěchu Gramova zákona a Rosserova pravidla“, Acta Arithmetica, 125 (3): 225–256, doi:10,4064 / aa148-3-2
Turán, Paul (1948), „O některých přibližných Dirichletových polynomech v teorii Retaannovy zeta funkce“, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 24 (17): 36, PAN 0027305 Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Turing, Alan M. (1953), „Některé výpočty Riemannovy zeta funkce“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 3: 99–117, doi:10.1112 / plms / s3-3.1.99, PAN 0055785
de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), „Recherches analytiques sur la Théorie des nombers premiers“, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 20: 183–256
de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899–1900), „Sur la fonction ζ (s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée“, Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg., 59 (1) Přetištěno v (Borwein a kol. 2008 ).
Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., Ne. 1041 = Publ. Inst. Matematika. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paříž, PAN 0027151
Weil, André (1949), "Počty řešení rovnic v konečných polích", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (5): 497–508, doi:10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4, PAN 0029393 Přetištěno v Oeuvres Scientifiques / Collected Papers Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
Weinberger, Peter J. (1973), „Na euklidovských kruzích algebraických celých čísel“, Teorie analytických čísel (St. Louis Univ., 1972), Proc. Symposy. Čistá matematika., 24„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 321–332, PAN 0337902
Wiles, Andrew (2000), „Dvacet let teorie čísel“, Matematika: hranice a perspektivy„Providence, R.I .: American Mathematical Society, s. 329–342, ISBN 978-0-8218-2697-3, PAN 1754786
Zagier, Don (1977), „Prvních 50 milionů prvočísel“ (PDF), Matematika. VyzvědačSpringer, 0: 7–19, doi:10.1007 / BF03039306, PAN 0643810, S2CID 189886510, archivovány z originál (PDF) dne 2009-03-27
Zagier, Don (1981), „Eisensteinova řada a funkce Riemann zeta“, Automorfní formy, teorie reprezentace a aritmetika (Bombay, 1979), Tata Inst. Fond. Res. Studie z matematiky, 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, str. 275–301, PAN 0633666

Populární expozice

Sabbagh, Karl (2003a), Největší nevyřešený problém v matematice, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, PAN 1979664
Sabbagh, Karl (2003b), Nuly Dr. Riemanna, Atlantic Books, Londýn, ISBN 978-1-843-54101-1
du Sautoy, Marcus (2003), Hudba prvočísel, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, PAN 2060134
Rockmore, Dan (2005), Sledování Riemannovy hypotézy, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, PAN 2269393
Derbyshire, Johne (2003), Prime posedlost, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, PAN 1968857
Watkins, Matthew (2015), Tajemství prvočísel Knihy Liberalis, ISBN 978-1782797814, PAN 0000000
Frenkel, Edward (2014), Riemannova hypotéza Numberphile, 11. března 2014 (video)

externí odkazy

Americký matematický institut, Riemannova hypotéza
Nuly databáze, 103 800 788 359 nul
Klíč k Riemannově hypotéze - Numberphile, a Youtube video o Riemannově hypotéze od Numberphile
Apostol, Tom, Kde jsou nuly zety s? Báseň o Riemannově hypotéze, zpívaný podle John Derbyshire.
Borwein, Peter, Riemannova hypotéza (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 2009-03-27 (Prezentace pro přednášku)
Conrad, K. (2010), Důsledky Riemannovy hypotézy
Conrey, J. Brian; Farmář, David W, Rovnocennost s Riemannovou hypotézou, archivovány z originál dne 16. 3. 2010
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004), Výpočet nul funkce Zeta (Recenze hypotézy GUE, poskytuje také rozsáhlou bibliografii).
Odlyzko, Andrew, Domovská stránka počítaje v to papíry o nulách funkce zeta a tabulky nul funkce zeta
Odlyzko, Andrew (2002), Nuly funkce Riemann zeta: dohady a výpočty (PDF) Prezentace
Pegg, ed (2004), Deset bilionů nula zeta Web Math Games. Diskuse o výpočtu Xaviera Gourdona prvních deseti bilionů netriviálních nul
Pugh, Glen, Java applet pro vykreslování Z (t)
Rubinstein, Michael, algoritmus pro generování nul, archivovány z originál dne 2007-04-27.
du Sautoy, Marcus (2006), Prvočísla jsou zapojena, Seed Magazine, archivovány z originál dne 2017-09-22, vyvoláno 2006-03-27
Stein, William A., Co je Riemannova hypotéza, archivovány z originál dne 04.01.2009
de Vries, Andreas (2004), Graf funkce Riemanna Zeta ζ (s), jednoduchý animovaný applet Java.
Watkins, Matthew R. (2007-07-18), Navrhované důkazy Riemannovy hypotézy
Zetagrid (2002) Projekt distribuovaných výpočtů, který se pokusil vyvrátit Riemannovu hypotézu; uzavřena v listopadu 2005

[1] Leonhard Euler. Variae pozorování circa série infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, s. 160–188, věty 7 a 8. Ve větě 7 Euler dokazuje vzorec ve zvláštním případě ${ displaystyle s = 1}$ , a ve větě 8 to dokazuje obecněji. V prvním důsledku své Věty 7 to poznamenává ${ displaystyle zeta (1) = log infty}$ , a využije tento druhý výsledek ve své Věty 19, aby ukázal, že součet inverzí prvočísel je ${ displaystyle log log infty}$ .

[Knapowski1962-2] Knapowski, Stanisław (1962). "Při změně znaménka rozdílu π (x) -li (x)". Acta Arithmetica. 7 (2): 107–119. doi:10,4064 / aa-7-2-107-119. ISSN 0065-1036.

[3] Weisstein, Eric W. „Nuly funkce Riemann Zeta“. mathworld.wolfram.com. Citováno 28. dubna 2020. ZetaGrid je projekt distribuované výpočetní techniky, který se pokouší vypočítat co nejvíce nul. K 18. únoru 2005 dosáhl 1029,9 miliardy nul.

[4] . 75: „K tomuto seznamu by se pravděpodobně měl přidat„ platonický “důvod, že se očekává, že přirozená čísla budou nejdokonalejší představitelnou představou, a že je to kompatibilní pouze s prvočísly distribuovanými co nejpravidelnějším způsobem ...“

[1]

[2]

[3]

[4]

L-funkce v teorie čísel
Analytické příklady	Funkce Riemann zeta Dirichlet L-funkce L-funkce Hecke postav Automorfní L-funkce Selberg třída
Algebraické příklady	Funkce Dedekind zeta Artin L-funkce Hasse – Weil L-funkce Motivační L-funkce
Věty	Analytický vzorec čísla třídy Riemann – von Mangoldtův vzorec Weil dohady
Analytické dohady	Riemannova hypotéza Zobecněná Riemannova hypotéza Lindelöfova hypotéza Ramanujan – Peterssonova domněnka Artin domněnka
Algebraické domněnky	Birch a domněnka Swinnerton-Dyer Deligneova domněnka Beilinsonovy domněnky Bloch – Kato domněnka Langlandsova domněnka
str-adic L-funkce	Hlavní domněnka Iwasawovy teorie Selmerova skupina Eulerův systém