Funkce součtu dělitele - Divisor summatory function

Sumační funkce s odstraněnými předními termíny pro ${displaystyle x <10 ^ {4}}$

Sumační funkce s odstraněnými předními termíny pro ${displaystyle x <10 ^ {7}}$

Sumační funkce s odstraněnými předními termíny pro ${displaystyle x <10 ^ {7}}$, v grafu jako distribuce nebo histogram. Svislé měřítko není konstantní zleva doprava; kliknutím na obrázek získáte podrobný popis.

v teorie čísel, funkce součtu dělitele je funkce, která je součtem nad funkce dělitele. Často se vyskytuje při studiu asymptotického chování Funkce Riemann zeta. Někdy se nazývají různé studie chování funkce dělitele problémy dělitele.

Definice

Funkce součtu dělitele je definována jako

${displaystyle D (x) = součet _ {nleq x} d (n) = součet _ {j, k na vrcholu jkleq x} 1}$

kde

${displaystyle d (n) = sigma _ {0} (n) = součet _ {j, k atop jk = n} 1}$

je funkce dělitele. Funkce dělitele počítá počet způsobů, jakým je celé číslo n lze napsat jako součin dvou celých čísel. Obecněji jeden definuje

${displaystyle D_ {k} (x) = součet _ {nleq x} d_ {k} (n) = součet _ {mleq x} součet _ {mnleq x} d_ {k-1} (n)}$

kde d_k(n) počítá počet způsobů, jak n lze psát jako produkt k čísla. Tuto veličinu lze vizualizovat jako počet počtu mřížových bodů ohraničených hyperbolickým povrchem v k rozměry. Tedy pro k=2, D(X) = D₂(X) spočítá počet bodů na čtvercové mřížce ohraničené vlevo svislou osou, zdola vodorovnou osou a vpravo nahoře hyperbolou jk = X. Zhruba lze tento tvar představit jako hyperbolický simplexní. To nám umožňuje poskytnout alternativní výraz pro D(X) a jednoduchý způsob výpočtu ${displaystyle O ({sqrt {x}})}$ čas:

${displaystyle D (x) = součet _ {k = 1} ^ {x} leftlfloor {frac {x} {k}} ightfloor = 2sum _ {k = 1} ^ {u} leftlfloor {frac {x} {k} } ightfloor -u ^ {2}}$, kde ${displaystyle u = leftlfloor {sqrt {x}} ightfloor}$

Pokud je hyperbola v tomto kontextu nahrazena kruhem, pak je určení hodnoty výsledné funkce známé jako Gaussův kruhový problém.

Posloupnost D (n) (sekvence A006218 v OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

Dirichletův problém dělitele

Nalezení uzavřené formy pro tento souhrnný výraz se zdá být nad dostupné techniky, ale je možné uvést aproximace. Není obtížné dosáhnout vedoucího chování série. Peter Gustav Lejeune Dirichlet to prokázal

${displaystyle D (x) = xlog x + x (2gamma -1) + Delta (x)}$

kde ${displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta, a nevodící termín je

${displaystyle Delta (x) = Oleft ({sqrt {x}} ight).}$

Tady, ${displaystyle O}$ označuje Big-O notace. The Dirichletův dělitel problém, přesně řečeno, je najít nejmenší hodnotu ${displaystyle heta}$ pro který

${displaystyle Delta (x) = Oleft (x ^ {heta + epsilon} ight)}$

platí pro všechny ${displaystyle epsilon> 0}$. Ode dneška tento problém zůstává nevyřešen. Pokrok byl pomalý. Mnoho stejných metod funguje pro tento problém i pro Gaussův kruhový problém, další problém počítání mřížových bodů. Sekce F1 Nevyřešené problémy v teorii čísel^[1]zkoumá, co je o těchto problémech známo a ne.

• V roce 1904 G. Voronoi prokázal, že chybový termín lze vylepšit na ${displaystyle O (x ^ {1/3} log x).}$ ^[2]:381
• V roce 1916 G. H. Hardy to ukázal ${displaystyle inf heta geq 1/4}$. Zejména to prokázal pro některé konstantní ${displaystyle K}$, existují hodnoty X pro který ${displaystyle Delta (x)> Kx ^ {1/4}}$ a hodnoty X pro který ${displaystyle Delta (x) <- Kx ^ {1/4}}$.^[3]:69
• V roce 1922 J. van der Corput vylepšil Dirichlet ${displaystyle inf heta leq 33/100 = 0,33}$.^[2]:381
• V roce 1928 J. van der Corput dokázal to ${displaystyle inf heta leq 27/82 = 0,3 {overline {29268}}}$.^[2]:381
• V roce 1950 Chih Tsung-tao a nezávisle v roce 1953 H. E. Richert dokázal to ${displaystyle inf heta leq 15/46 = 0,32608695652 ...}$.^[2]:381
• V roce 1969 Grigori Kolesnik to prokázal ${displaystyle inf heta leq 12/37 = 0. {overline {324}}}$.^[2]:381
• V roce 1973 Grigori Kolesnik to prokázal ${displaystyle inf heta leq 346/1067 = 0,32427366448 ...}$.^[2]:381
• V roce 1982 Grigori Kolesnik to prokázal ${displaystyle inf heta leq 35/108 = 0,32 {overline {407}}}$.^[2]:381
• V roce 1988 H. Iwaniec a C. J. Mozzochi dokázal to ${displaystyle inf heta leq 7/22 = 0,3 {overline {18}}}$.^[4]
• V roce 2003 M.N. Huxley vylepšil to, aby to ukázal ${displaystyle inf heta leq 131/416 = 0,31490384615 ...}$.^[5]

Tak, ${displaystyle inf heta}$ leží někde mezi 1/4 a 131/416 (přibližně 0,3149); široce se předpokládá, že je 1/4. Teoretické důkazy této domněnce dodávají důvěryhodnost ${displaystyle Delta (x) / x ^ {1/4}}$ má (negaussovské) omezující rozdělení.^[6] Hodnota 1/4 by také vyplývala z dohadu o exponentové páry.^[7]

Problém dělitele Piltz

V generalizovaném případě jeden má

${displaystyle D_ {k} (x) = xP_ {k} (log x) + Delta _ {k} (x),}$

kde ${displaystyle P_ {k}}$ je polynom stupně ${displaystyle k-1}$. Pomocí jednoduchých odhadů se to snadno ukáže

${displaystyle Delta _ {k} (x) = Oleft (x ^ {1-1 / k} log ^ {k-2} xight)}$

pro celé číslo ${displaystyle kgeq 2}$. Jako v ${displaystyle k = 2}$ V případě, infimum vázaného není známo pro žádnou hodnotu ${displaystyle k}$. Výpočet této infima je známý jako Piltzův dělitel problém, podle jména německého matematika Adolf Piltz (viz také jeho německá stránka). Definování pořadí ${displaystyle alpha _ {k}}$ jako nejmenší hodnota, pro kterou ${displaystyle Delta _ {k} (x) = Oleft (x ^ {alpha _ {k} + varepsilon} ight)}$ drží, pro všechny ${displaystyle varepsilon> 0}$, jeden má následující výsledky (všimněte si, že ${displaystyle alpha _ {2}}$ je ${displaystyle heta}$ předchozí části):

${displaystyle alpha _ {2} leq {frac {131} {416}},}$^[5]

${displaystyle alpha _ {3} leq {frac {43} {96}},}$^[8] a^[9]

${displaystyle {egin {aligned} alpha _ {k} & leq {frac {3k-4} {4k}} quad (4leq kleq 8) [6pt] alpha _ {9} & leq {frac {35} {54}}, quad alpha _ {10} leq {frac {41} {60}}, quad alpha _ {11} leq {frac {7} {10}} [6pt] alpha _ {k} & leq {frac {k-2} {k + 2}} quad (12leq kleq 25) [6pt] alpha _ {k} & leq {frac {k-1} {k + 4}} quad (26leq kleq 50) [6pt] alpha _ {k} & leq {frac {31k-98} {32k}} quad (51leq kleq 57) [6pt] alpha _ {k} & leq {frac {7k-34} {7k}} quad (kgeq 58) end {aligned}}}$

• E. C. Titchmarsh dohady, že ${displaystyle alpha _ {k} = {frac {k-1} {2k}}.}$

Mellinova transformace

Obě části mohou být vyjádřeny jako Mellin se transformuje:

${displaystyle D (x) = {frac {1} {2pi i}} int _ {c-iinfty} ^ {c + iinfty} zeta ^ {2} (w) {frac {x ^ {w}} {w} }, dw}$

pro ${displaystyle c> 1}$. Tady, ${displaystyle zeta (s)}$ je Funkce Riemann zeta. Podobně jeden má

${displaystyle Delta (x) = {frac {1} {2pi i}} int _ {c ^ {prime} -iinfty} ^ {c ^ {prime} + iinfty} zeta ^ {2} (w) {frac {x ^ {w}} {w}}, dw}$

s ${displaystyle 0$. Vedoucí termín ${displaystyle D (x)}$ se získá posunutím obrysu za dvojitý pól v ${displaystyle w = 1}$: hlavní termín je právě zbytek tím, že Cauchyho integrální vzorec. Obecně platí, že jeden má

${displaystyle D_ {k} (x) = {frac {1} {2pi i}} int _ {c-iinfty} ^ {c + iinfty} zeta ^ {k} (w) {frac {x ^ {w}} {w}}, dw}$

a podobně pro ${displaystyle Delta _ {k} (x)}$, pro ${displaystyle kgeq 2}$.

Poznámky

Reference

• H.M. Edwards, Riemannova funkce Zeta, (1974) Dover Publications, ISBN  0-486-41740-9
• E. C. Titchmarsh, Teorie Riemannovy Zeta-funkce, (1951) Oxford v Clarendon Press, Oxford. (Diskuse o obecném problému dělitele najdete v kapitole 12)
• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001 (Poskytuje úvodní prohlášení k problému Dirichletova dělitele.)
• Vstal. Kurz teorie čísel.Oxford, 1988.
• M.N. Huxley (2003) „Exponenciální sumy a mřížové body III“, Proc. London Math. Soc. (3)87: 591–609