Podmnožina - Subset

Eulerův diagram zobrazeno
A je správná podmnožina B, A⊂Ba naopak B je správná nadmnožina A.

v matematika, a soubor A je podmnožina sady B padám elementy z A jsou také prvky B; B je pak a nadmnožina z A. Je možné pro A a B být si rovni; pokud jsou nerovné, pak A je správná podmnožina z B. Vztah jedné sady, která je podmnožinou jiné, se nazývá zařazení (nebo někdy zadržování). A je podmnožinou B lze také vyjádřit jako B zahrnuje (nebo obsahuje) A nebo A je zahrnut (nebo obsažen) v B.

Vztah podmnožiny definuje a částečná objednávka na soupravách. Ve skutečnosti podmnožiny dané množiny tvoří a Booleova algebra ve vztahu podmnožiny, ve kterém připojte se a setkejte se jsou dány průsečík a svaz a samotný podmnožinový vztah je Booleovský vztah zahrnutí.

Definice

Li A a B jsou sady a všechny živel z A je také prvkem B, pak:

A je podmnožina z B, označeno ${displaystyle Asubseteq B,}$ nebo ekvivalentně
B je nadmnožina z A, označeno ${displaystyle Bsupseteq A.}$ ^[1]

Li A je podmnožinou B, ale A není rovnat se na B (tj. tady existuje alespoň jeden prvek B, který není prvkem A), pak:

A je správně (nebo přísný) podmnožina z B, označeno ${displaystyle Asubsetneq B}$ (nebo ${displaystyle Asubset B}$ ^[1]^[2]). Nebo ekvivalentně
B je správně (nebo přísný) nadmnožina z A, označeno ${displaystyle Bsupsetneq A}$ (nebo ${displaystyle Bsupset A}$ ^[1]).
The prázdná sada, psané {} nebo ∅, je podmnožinou jakékoli sady X a vlastní podmnožina libovolné množiny kromě sebe.

Pro jakoukoli sadu S, zahrnutí vztah ⊆ je a částečná objednávka na scéně ${displaystyle {mathcal {P}} (S)}$ (dále jen napájecí sada z S—Sada všech podskupin S^[3]) definován ${displaystyle Aleq Biff Asubseteq B}$ . Můžeme také částečně objednat ${displaystyle {mathcal {P}} (S)}$ obráceným zahrnutím množiny definováním ${displaystyle Aleq Biff Bsubseteq A.}$

Při kvantifikaci $A \subseteq B$ je reprezentován jako $\forall X (X \in A \to X \in B)$ .^[4]

Můžeme toto tvrzení dokázat $A \subseteq B$ použitím důkazní techniky známé jako argument prvku^[5]:

Nechť sady A a B být dán. Dokázat to $A \subseteq B$ ,
předpokládat že A je zvláštní, ale libovolně zvolený prvek B,
ukázat že A je prvek B.

Platnost této techniky lze chápat jako důsledek Univerzální generalizace: technika ukazuje $C \in A \to C \in B$ pro libovolně zvolený prvek C. Z toho pak vyplývá univerzální zevšeobecnění $\forall X (X \in A \to X \in B)$ , což odpovídá $A \subseteq B$ , jak je uvedeno výše.

Vlastnosti

Sada A je podmnožina z B kdyby a jen kdyby jejich průsečík se rovná A.

Formálně:

{displaystyle Asubseteq BLeftrightarrow Acap B = A.}

Sada A je podmnožina z B právě tehdy, pokud se jejich svazek rovná B.

Formálně:

{displaystyle Asubseteq BLeftrightarrow Acup B = B.}

A konečný soubor A je podmnožina z B, pokud a pouze pokud mohutnost jejich průsečíku se rovná mohutnosti A.

Formálně:

{displaystyle Asubseteq BLeftrightarrow | Acap B | = | A |.}

Symboly ⊂ a ⊃

Někteří autoři používají k označení symboly ⊂ a ⊃ podmnožina a nadmnožina respektive; to znamená se stejným významem a místo symbolů, a ⊇.^[6] Například u těchto autorů to platí o každé sadě A že A ⊂ A.

Jiní autoři dávají přednost použití symbolů ⊂ a ⊃ k označení správně (nazývané také přísné) podmnožina a správně nadmnožina; to znamená se stejným významem a místo symbolů ⊊ a ⊋.^[7]^[1] Toto použití činí ⊆ a ⊂ analogickými k nerovnost symboly ≤ a <. Například pokud X ≤ y, pak X se může nebo nemusí rovnat y, ale pokud X < y, pak X rozhodně se nerovná y, a je méně než y. Podobně použití konvence, že ⊂ je správná podmnožina, pokud A ⊆ B, pak A se může nebo nemusí rovnat B, ale pokud A ⊂ B, pak A rozhodně se nerovná B.

Příklady podmnožin

Pravidelné polygony tvoří podmnožinu polygonů

Množina A = {1, 2} je vlastní podmnožinou B = {1, 2, 3}, takže oba výrazy A ⊆ B a A ⊊ B jsou pravdivé.
Sada D = {1, 2, 3} je podmnožinou (ale ne správná podmnožina) E = {1, 2, 3}, tedy D ⊆ E je pravda a D ⊊ E není pravda (nepravda).
Jakákoli sada je podmnožinou sama o sobě, ale není správnou podmnožinou. (X ⊆ X je true a X ⊊ X je false pro libovolnou množinu X.)
Sada {X: X je prvočíslo větší než 10} je správná podmnožina {X: X je liché číslo větší než 10}
Sada přirozená čísla je správná podmnožina množiny racionální čísla; podobně množina bodů v a úsečka je správná podmnožina množiny bodů v a čára. Jedná se o dva příklady, kdy podmnožina i celá množina jsou nekonečné a podmnožina má stejné mohutnost (pojem, který odpovídá velikosti, tj. počtu prvků konečné množiny) jako celek; takové případy mohou být v rozporu s původní intuicí člověka.
Sada racionální čísla je správná podmnožina množiny reálná čísla. V tomto příkladu jsou obě množiny nekonečné, ale druhá množina má větší mohutnost (nebo Napájení) než předchozí sada.

Další příklad v Eulerův diagram:

A je správná podmnožina B.
C je podmnožina, ale ne správná podmnožina B.

Další vlastnosti zařazení

A ⊆ B a B ⊆ C naznačuje A ⊆ C

Zahrnutí je kanonické částečná objednávka, v tom smyslu, že každá částečně objednaná množina (X, ${displaystyle preceq}$ ) je izomorfní do některé kolekce sad objednaných zahrnutím. The řadové číslovky jsou jednoduchým příkladem: pokud každý pořadový n je identifikován se sadou [n] všech řadových čísel menší nebo rovno n, pak A ≤ b jen a jen pokud [A] ⊆ [b].

Pro napájecí sada ${displaystyle {mathcal {P}} (S)}$ sady S, částečné pořadí zařazení je - až objednávat izomorfismus —The kartézský součin z k = |S| (dále jen mohutnost z S) kopie částečného pořadí na {0,1}, pro které 0 <1. To lze ilustrovat výčtem S = {s₁, s₂, ..., s_k} a přidružení s každou podmnožinou T ⊆ S (tj. každý prvek 2^S) k-tuple od {0,1}^k, z nichž ita souřadnice je 1 právě tehdy s_i je členem T.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d "Úplný seznam symbolů teorie množin". Matematický trezor. 2020-04-11. Citováno 2020-08-23.
^ „Úvod do sad“. www.mathsisfun.com. Citováno 2020-08-23.
^ Weisstein, Eric W. "Podmnožina". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-23.
^ Rosen, Kenneth H. (2012). Diskrétní matematika a její aplikace (7. vydání). New York: McGraw-Hill. p.119. ISBN 978-0-07-338309-5.
^ Epp, Susanna S. (2011). Diskrétní matematika s aplikacemi (Čtvrté vydání). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
^ Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.), New York: McGraw-Hill, str. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, PAN 0924157
^ Podmnožiny a vlastní podmnožiny (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 23.01.2013, vyvoláno 2012-09-07

Bibliografie

Jech, Thomas (2002). Teorie množin. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

externí odkazy

Média související s Podmnožiny na Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. "Podmnožina". MathWorld.

[:0-1] A ^b ^C ^d "Úplný seznam symbolů teorie množin". Matematický trezor. 2020-04-11. Citováno 2020-08-23.

[2] „Úvod do sad“. www.mathsisfun.com. Citováno 2020-08-23.

[3] Weisstein, Eric W. "Podmnožina". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-23.

[4] Rosen, Kenneth H. (2012). Diskrétní matematika a její aplikace (7. vydání). New York: McGraw-Hill. p.119. ISBN 978-0-07-338309-5.

[5] Epp, Susanna S. (2011). Diskrétní matematika s aplikacemi (Čtvrté vydání). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.

[6] Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.), New York: McGraw-Hill, str. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, PAN 0924157

[7] Podmnožiny a vlastní podmnožiny (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 23.01.2013, vyvoláno 2012-09-07

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Matematická logika
Všeobecné	Formální jazyk Pravidlo formace Formální důkaz Formální sémantika Dobře formulovaný vzorec Soubor Živel Třída Klasická logika Axiom Pravidlo závěru Vztah Teorém Logický důsledek Teorie typů Symbol Syntax Teorie
Systémy	Formální systém Deduktivní systém Axiomatický systém Systémy podle Hilberta Přirozený odpočet Sekvenční počet
Tradiční logika	Tvrzení Odvození Argument Platnost Sylogismus Náměstí opozice Vennův diagram
Výrokový počet a Logická logika	Booleovské funkce Výrokový počet Výrokový vzorec Logické spojky Pravdivé tabulky Mnohocenná logika
Predikátová logika	První objednávka Kvantifikátory Predikát Druhá objednávka Monadický predikátový počet
Naivní teorie množin	Soubor Prázdná sada Živel Výčet Roztažnost Konečná sada Nekonečná sada Podmnožina Napájecí sada Počitatelná sada Nespočetná sada Rekurzivní sada Doména Kodoména obraz Mapa Funkce Vztah Objednaný pár
Teorie množin	Základy matematiky Teorie množin Zermelo – Fraenkel Axiom volby Obecná teorie množin Teorie množin Kripke – Platek Von Neumann – Bernays – Gödel teorie množin Morseova-Kelleyova teorie množin Teorie množin Tarski – Grothendieck
Teorie modelů	Modelka Výklad Nestandardní model Teorie konečných modelů Hodnota pravdy Platnost
Teorie důkazů	Formální důkaz Deduktivní systém Formální systém Teorém Logický důsledek Pravidlo závěru Syntax
Vyčíslitelnost teorie	Rekurze Rekurzivní sada Rekurzivně vyčíslitelná sada Rozhodovací problém Církev – Turingova teze Vypočitatelná funkce Primitivní rekurzivní funkce

Teorie množin
Přehled	Sada (matematika)
Axiomy	Adjunkce Výběr počitatelný závislý globální Konstrukčnost (V = L) Odhodlání Roztažnost Nekonečno Omezení velikosti Párování Napájecí sada Pravidelnost svaz Martinův axiom Schéma axiomu výměna, nahrazení Specifikace
Operace	kartézský součin Doplněk De Morganovy zákony Nespojitá unie Průsečík Napájecí sada Nastavit rozdíl Symetrický rozdíl svaz
Koncepty Metody	Mohutnost Základní číslovka (velký ) Třída Konstruktivní vesmír Hypotéza kontinua Diagonální argument Živel objednaný pár n-tice Rodina Nutit Osobní korespondence Pořadové číslo Transfinitní indukce Vennův diagram
Soubor typy	Počitatelný Prázdný Konečný (dědičně ) Fuzzy Nekonečný (Dedekind-nekonečný ) Rekurzivní Podmnožina· Nadmnožina Tranzitivní Nespočet Univerzální
Teorie	Alternativní Axiomatický Naivní Cantorova věta Zermelo Všeobecné Principia Mathematica Nové základy Zermelo – Fraenkel von Neumann – Bernays – Gödel Morse – Kelley Kripke – Platek Tarski – Grothendieck
Paradoxy Problémy	Russellův paradox Suslinův problém Paradox Burali-Forti
Set teoretiků	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine