P-adic pořadí - P-adic order

v teorie čísel, za dané prvočíslo p, p-adic pořadí nebo p-adické ocenění nenulové celé číslo n je nejvyšší exponent ${displaystyle u}$ takhle ${displaystyle p ^ {u}}$ rozděluje n.v p-adic ocenění 0 je definováno jako nekonečno.v p-adic ocenění se běžně označuje ${displaystyle u _ {p} (n)}$.

Li n/d je racionální číslo v nejnižším smyslu, takže n a d jsou tedy coprime ${displaystyle u _ {p} ({frac {n} {d}})}$ je rovný ${displaystyle u _ {p} (n)}$ -li p rozděluje nnebo ${displaystyle -u _ {p} (d)}$ -li p rozděluje d, nebo na 0, pokud nerozdělí ani jeden.

Nejdůležitější aplikace p-adický řád je v konstrukci pole z p-adická čísla. Aplikuje se také na různá elementárnější témata, jako je rozdíl mezi nimi jednotlivě a dvojnásobně rovnoměrně čísla.^[1]

Rozdělení přirozených čísel podle jejich 2-adického pořadí, označeného odpovídajícími pravomoci dvou v desítkové soustavě. Nula má vždy nekonečný řád

Definice a vlastnosti

Nechat p být prvočíslo.

Celá čísla

The p-adic pořadí nebo p-adické ocenění pro ℤ je funkce

${displaystyle u _ {p}: mathbb {Z} o mathbb {N}}$^[2]

definován

${displaystyle u _ {p} (n) = {egin {cases} mathrm {max} {vin mathbb {N}: p ^ {v} mid n} & {ext {if}} neq 0 infty & {ext { if}} n = 0, konec {případů}}}$

kde ${displaystyle mathbb {N}}$ označuje přirozená čísla.

Například, ${displaystyle u _ {3} (45) = 2}$ od té doby ${displaystyle 45 = 3 ^ {2} cdot 5 ^ {1}}$.

Racionální čísla

The p-adic order lze rozšířit do racionální čísla jako funkce

${displaystyle u _ {p}: mathbb {Q} o mathbb {Z}}$^[3]

definován

${displaystyle u _ {p} left ({frac {a} {b}} ight) = u _ {p} (a) -u _ {p} (b).}$

Například, ${displaystyle u _ {5} ({frac {9} {10}}) = - 1}$.

Některé vlastnosti jsou:

${displaystyle {egin {aligned} u _ {p} (mcdot n) & = u _ {p} (m) + u _ {p} (n) [5px] u _ {p} (m + n) & geq min {igl {} u _ {p} (m), u _ {p} (n) {igr}}. konec {zarovnáno}}}$

Navíc pokud ${displaystyle u _ {p} (m) eq u _ {p} (n)}$, pak

${displaystyle u _ {p} (m + n) = min {igl {} u _ {p} (m), u _ {p} (n) {igr}}}$

kde min je minimum (tj. menší ze dvou).

p-adická absolutní hodnota

The p-adic absolutní hodnota na ℚ je definován jako

|·|_p : ℚ → ℝ

${displaystyle | x | _ {p} = {egin {cases} p ^ {- u _ {p} (x)} & {ext {if}} xeq 0 0 & {ext {if}} x = 0.end {případy}}}$

Například, ${displaystyle | 45 | _ {3} = {frac {1} {9}}}$ a ${displaystyle | {frac {9} {10}} | _ {5} = 5}$.

The p-adická absolutní hodnota splňuje následující vlastnosti.

Nezápornost	${displaystyle | a | _ {p} geq 0}$
Pozitivní definitivita	${displaystyle | a | _ {p} = 0iff a = 0}$
Multiplikativita	${displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$
Non-Archimedean	${displaystyle | a + b | _ {p} leq max left (| a | _ {p}, | b | _ {p} ight)}$

The symetrie ${displaystyle | {-a} | _ {p} = | a | _ {p}}$ vyplývá z multiplikativita ${displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$ a

subadditivita ${displaystyle | a + b | _ {p} leq | a | _ {p} + | b | _ {p}}$ z non-Archimedean nerovnost trojúhelníku ${displaystyle | a + b | _ {p} leq max left (| a | _ {p}, | b | _ {p} ight)}$.

A metrický prostor lze vytvořit na setu ℚ s (non-Archimedean, překlad-invariantní ) metrika definovaná d : ℚ × ℚ → ℝ

${displaystyle d (x, y) = | x-y | _ {p}.}$

The p-adická absolutní hodnota se někdy označuje jako „p-adická norma “, i když to ve skutečnosti není norma protože nesplňuje požadavek stejnorodost.

Volba základny p ve vzorci není u většiny vlastností žádný rozdíl, ale výsledkem je vzorec produktu:

${displaystyle prod _ {0, p} | x | _ {p} = 1}$

kde je produkt převzat všemi prvočísly p a obvyklá absolutní hodnota (Archimédova norma), označená ${displaystyle | x | _ {0}}$. To vyplývá z jednoduchého převzetí Prvočíselný rozklad: každý hlavní účiník ${displaystyle p ^ {k}}$ přispívá svým vzájemným p-adická absolutní hodnota a pak obvyklá Archimedean absolutní hodnota zruší všechny.

Viz také

• p-adické číslo
• Archimédův majetek
• Násobnost (matematika)
• Ostrowského věta

Reference