Cyklomtomické pole - Cyclotomic field

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie čísel, a cyklotomické pole je pole s číslem získané sousedící A komplex primitivní kořen jednoty na Qpole racionální čísla. The n-té cyklotomické pole Q(ζ_n) (kde n > 2) je získán připojením k primitivu n-th kořen jednoty ζ_n k racionálním číslům.

Cyklotomická pole hrála klíčovou roli ve vývoji moderní algebry a teorie čísel kvůli jejich vztahu s Fermatova poslední věta. Bylo to v procesu jeho hlubokého zkoumání aritmetiky těchto polí (pro primární  n) - a přesněji kvůli selhání jedinečná faktorizace v jejich celá čísla - že Ernst Kummer poprvé představil koncept ideální číslo a prokázal svou oslavu shody.

Vlastnosti

Cyklomtomické pole je rozdělení pole z cyklotomický polynom

${ displaystyle Phi _ {n} (x) = prod _ { stackrel {1 leq k leq n} { gcd (k, n) = 1}} left (xe ^ {2i pi { frac {k} {n}}} vpravo)}$

a proto je to Galoisovo rozšíření pole racionálních čísel. Stupeň prodloužení

[Q(ζ_n):Q]

darováno φ(n) kde φ je Eulerova phi funkce. Kompletní sada konjugátů Galois je dána {(ζ_n)^A } , kde A běží přes sadu invertibilních zbytků modulon (aby A je relativně prime na n). The Galoisova skupina je přirozeně izomorfní do multiplikativní skupiny

(Z/nZ)^×

invertibilních zbytků modulo na působí na primitiva nth kořeny jednoty podle vzorce

b: (ζ_n)^A → (ζ_n)^{a b}.

The diskriminující rozšíření je^[1]

${ displaystyle (-1) ^ { varphi (n) / 2} { frac {n ^ { varphi (n)}} { displaystyle prod _ {p | n} p ^ { varphi (n) / (p-1)}}},}$

kde ${ displaystyle varphi (n)}$ je Eulerova totientová funkce.

The kruh celých čísel cyklotomického pole Q(ζ_n) je Z[ζ_n].

Vztah s pravidelnými polygony

Gauss provedl rané nájezdy v teorii cyklotomických polí v souvislosti s geometrickým problémem budování A pravidelný n-gon s kompas a pravítko. Jeho překvapivým výsledkem, který unikl jeho předchůdcům, byl pravidelný heptadekagon (se 17 stranami) by mohly být takto konstruovány. Obecněji, pokud str je prvočíslo, pak normální str-gon může být sestrojen právě tehdy str je Fermat prime; jinými slovy, pokud ${ displaystyle varphi (p) = p-1 = 2 ^ {k}}$ je síla 2.

Pro n = 3 a n = 6 primitivní kořeny jednoty připouštějí jednoduchý výraz prostřednictvím druhá odmocnina ze tří, a to:

ζ₃ = √3 i − 1/2,   ζ₆ = √3 i + 1/2

Obě odpovídající cyklotomická pole jsou tedy identická s kvadratické pole  Q(√−3). V případě ζ₄ = i = √−1 totožnost Q(ζ₄) do kvadratického pole je ještě jasnější. To však neplatí pro n = 5, protože vyjadřuje páté kořeny jednoty vyžaduje druhou odmocninu výrazů druhé odmocniny, nebo kvadratické prodloužení kvadratické prodloužení. Geometrický problém pro generála n lze snížit na následující otázku v Galoisova teorie: může nToto cyklotomické pole bude vytvořeno jako posloupnost kvadratických rozšíření?

Vztah s Fermatovou poslední větou

Přirozený přístup k dokazování Fermatova poslední věta je započítat dvojčlen Xⁿ + yⁿ,kde n je zvláštní připravit, objevit se v jedné straně Fermatovy rovnice

${ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$

jak následuje:

${ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = (x + y) (x + zeta y) cdots (x + zeta ^ {n-1} y)}$

Tady X a y jsou obyčejná celá čísla, zatímco faktory jsou algebraická celá čísla v cyklotomickém poli Q(ζ_n). Li jedinečná faktorizace algebraických celých čísel byla pravdivá, pak to mohlo být použito k vyloučení existence netriviálních řešení Fermatovy rovnice.

Několik pokusů o řešení Fermatovy poslední věty probíhalo tímto způsobem a oba Fermatův důkaz pro n = 4 a Eulerův důkaz pro n = 3 lze za těchto podmínek přepracovat. Kompletní seznam n pro které má pole jedinečnou faktorizaci je:^[2]

• 1 až 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Kummer našel cestu kolem této obtížnosti. Zavedl náhradu za prvočísla v cyklotomickém poli Q(ζ_str), vyjádřil selhání jedinečné faktorizace kvantitativně prostřednictvím číslo třídy h_str a dokázal, že pokud h_str není dělitelné str (taková čísla str jsou nazývány pravidelné prvočísla ) pak Fermatova věta platí pro exponent n = str. Navíc on dal kritérium k určení, která prvočísla jsou pravidelná, a jejich použití, zavedla Fermatova věta pro všechny prvočíselné exponenty str méně než 100, s výjimkou nepravidelná prvočísla 37, 59, a 67. Kummerova práce na kongruencích pro počet tříd cyklotomických polí byla zobecněna ve dvacátém století Iwasawa v Teorie Iwasawa a Kubota a Leopoldt ve své teorii funkce p-adic zeta.

Seznam čísel tříd cyklotomických polí

(sekvence A061653 v OEIS ), nebo OEIS: A055513 nebo OEIS: A000927 pro ${ displaystyle h}$-část (pro hlavní n)

Viz také

• Kroneckerova-Weberova věta
• Cyklomtomický polynom

Reference

• Bryan Birch, "Cyklomtomická pole a rozšíření Kummer", v J.W.S. Cassels a A. Frohlich (edd), Algebraická teorie čísel, Akademický tisk, 1973. Kapitola III, s. 45–93.
• Daniel A. Marcus, Číselná pole, třetí vydání, Springer-Verlag, 1977
• Washington, Lawrence C. (1997), Úvod do cyklomatomických polí, Postgraduální texty z matematiky, 83 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN  0-387-94762-0, PAN  1421575
• Serge Lang, Cyklomatomická pole I a II, Kombinované druhé vydání. S dodatkem od Karl Rubin. Postgraduální texty z matematiky, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN  0-387-96671-4

Další čtení

• Coates, Johne; Sujatha, R. (2006). Cyklomtomická pole a hodnoty Zeta. Springer Monografie z matematiky. Springer-Verlag. ISBN  3-540-33068-2. Zbl  1100.11002.
• Weisstein, Eric W. „Cyclotomic Field“. MathWorld.
• „Cyklomtomické pole“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Na kruhu celých skutečných cyklomatomických polí. Koji Yamagata and Masakazu Yamagishi: Proc, Japan Academy, 92. Ser a (2016)