Aditivní funkce - Additive function - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (únor 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie čísel, an aditivní funkce je aritmetická funkce F(n) pozitivního celé číslo n tak, že kdykoli A a b jsou coprime, funkce produktu je součtem funkcí:^[1]

F(ab) = F(A) + F(b).

Zcela aditivní

Aditivní funkce F(n) se říká, že je zcela aditivní -li F(ab) = F(A) + F(b) drží pro všechny kladná celá čísla A a b, i když nejsou coprime. Úplně aditivní se v tomto smyslu používá analogicky s naprosto multiplikativní funkce. Li F je tedy zcela doplňková funkce F(1) = 0.

Každá zcela aditivní funkce je aditivní, ale ne naopak.

Příklady

Příklad aritmetických funkcí, které jsou zcela aditivní, jsou:

• K omezení logaritmická funkce na N.
• The multiplicita hlavního faktoru p v n, to je největší exponent m pro který p^m rozděluje n.
• A₀(n) - součet rozdělení prvočísel n počítání multiplicity, někdy nazývané sopfr (n), účinnost n nebo celočíselný logaritmus n (sekvence A001414 v OEIS ). Například:

A₀(4) = 2 + 2 = 4

A₀(20) = A₀(2² · 5) = 2 + 2+ 5 = 9

A₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

A₀(144) = A₀(2⁴ · 3²) = A₀(2⁴) + A₀(3²) = 8 + 6 = 14

A₀(2,000) = A₀(2⁴ · 5³) = A₀(2⁴) + A₀(5³) = 8 + 15 = 23

A₀(2,003) = 2003

A₀(54,032,858,972,279) = 1240658

A₀(54,032,858,972,302) = 1780417

A₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Funkce Ω (n), definovaný jako celkový počet hlavní faktory z n, počítání více faktorů vícekrát, někdy nazývané "funkce Big Omega" (sekvence A001222 v OEIS ). Například;

Ω (1) = 0, protože 1 nemá primární faktory

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2,5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3) = 3

Ω (144) = Ω (2⁴ · 3²) = Ω (2⁴) + Ω (3²) = 4 + 2 = 6

Ω (2 000) = Ω (2⁴ · 5³) = Ω (2⁴) + Ω (5³) = 4 + 3 = 7

Ω (2,001) = 3

Ω (2 002) = 4

Ω (2 003) = 1

Ω (54 032 858 972 279) = 3

Ω (54 032 858 972 302) = 6

Ω (20 802 650 704 327 415) = 7

Příklad aritmetických funkcí, které jsou aditivní, ale ne zcela aditivní, jsou:

• ω (n), definovaný jako celkový počet odlišný hlavní faktory z n (sekvence A001221 v OEIS ). Například:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2⁴) = 1

ω (20) = ω (2² · 5) = 2

ω (27) = ω (3³) = 1

ω (144) = ω (2⁴ · 3²) = ω (2⁴) + ω (3²) = 1 + 1 = 2

ω (2 000) = ω (2⁴ · 5³) = ω (2⁴) + ω (5³) = 1 + 1 = 2

ω (2,001) = 3

ω (2 002) = 4

ω (2 003) = 1

ω (54 032 858 972 279) = 3

ω (54 032 858 972 302) = 5

ω (20 802 650 704 327 415) = 5

• A₁(n) - součet jednotlivých dělení prvočísel n, někdy nazývaný sopf (n) (sekvence.) A008472 v OEIS ). Například:

A₁(1) = 0

A₁(4) = 2

A₁(20) = 2 + 5 = 7

A₁(27) = 3

A₁(144) = A₁(2⁴ · 3²) = A₁(2⁴) + A₁(3²) = 2 + 3 = 5

A₁(2,000) = A₁(2⁴ · 5³) = A₁(2⁴) + A₁(5³) = 2 + 5 = 7

A₁(2,001) = 55

A₁(2,002) = 33

A₁(2,003) = 2003

A₁(54,032,858,972,279) = 1238665

A₁(54,032,858,972,302) = 1780410

A₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

Multiplikativní funkce

Z jakékoli doplňkové funkce F(n) je snadné vytvořit související multiplikativní funkce G(n) tj. s majetkem, že kdykoli A a b jsou coprime máme:

G(ab) = G(A) × G(b).

Jeden takový příklad je G(n) = 2^F(n).

Souhrnné funkce

Vzhledem k aditivní funkci ${ displaystyle f}$, nechť je jeho součtová funkce definována ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {f} (x): = součet _ {n leq x} f (n)}$. Průměr ${ displaystyle f}$ je uveden přesně jako

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {f} (x) = součet _ {p ^ { alpha} leq x} f (p ^ { alpha}) left ( left lfloor { frac {x} {p ^ { alpha}}} right rfloor - left lfloor { frac {x} {p ^ { alpha +1}}} right rfloor right).}$

Souhrn funguje znovu ${ displaystyle f}$ lze rozšířit jako ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x) + O ({ sqrt {x}} cdot D (x))}$ kde

${ displaystyle { begin {zarovnáno} E (x) & = sum _ {p ^ { alpha} leq x} f (p ^ { alpha}) p ^ {- alpha} (1-p ^ {-1}) D ^ {2} (x) & = sum _ {p ^ { alpha} leq x} | f (p ^ { alpha}) | ^ {2} p ^ {- alpha}. end {zarovnáno}}}$

Průměr funkce ${ displaystyle f ^ {2}}$ je také vyjádřen těmito funkcemi jako

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {f ^ {2}} (x) = xE ^ {2} (x) + O (xD ^ {2} (x)).}$

Vždy existuje absolutní konstanta ${ displaystyle C_ {f}> 0}$ taková, že pro všechna přirozená čísla ${ displaystyle x geq 1}$,

${ displaystyle sum _ {n leq x} | f (n) -E (x) | ^ {2} leq C_ {f} cdot xD ^ {2} (x).}$

Nechat

${ displaystyle nu (x; z): = { frac {1} {x}} # left {n leq x: { frac {f (n) -A (x)} {B ( x)}} leq z right }.}$

Předpokládejme to ${ displaystyle f}$ je doplňková funkce s ${ displaystyle -1 leq f (p ^ { alpha}) = f (p) leq 1}$ jako že ${ displaystyle x rightarrow infty}$,

${ displaystyle B (x) = součet _ {p leq x} f ^ {2} (p) / p rightarrow infty.}$

Pak ${ displaystyle nu (x; z) sim G (z)}$ kde ${ displaystyle G (z)}$ je Gaussova distribuční funkce

${ displaystyle G (z) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {z} e ^ {- t ^ {2} / 2} dt. }$

Příklady tohoto výsledku související s hlavní funkce omega a počty hlavních dělitelů posunutých prvočísel pro fixní zahrnují následující ${ displaystyle z in mathbb {R}}$ kde platí vztahy ${ displaystyle x gg 1}$:

${ Displaystyle # {n leq x: omega (n) - log log x leq z ( log log x) ^ {1/2} } sim xG (z),}$

${ Displaystyle # {p leq x: omega (p + 1) - log log x leq z ( log log x) ^ {1/2} } sim pi (x) G (z).}$

Viz také

• Sigma aditivita
• Aktivujte funkci omega
• Multiplikativní funkce
• Aritmetická funkce

Reference

Další čtení