Funkce Jordans totient - Jordans totient function - Wikipedia

Nechat ${ displaystyle k}$ být kladné celé číslo. v teorie čísel, Jordanova totientová funkce ${ displaystyle J_ {k} (n)}$ kladného celého čísla ${ displaystyle n}$ je počet ${ displaystyle k}$-tuples kladných celých čísel, všechna menší nebo stejná ${ displaystyle n}$ které tvoří zločin ${ displaystyle (k + 1)}$-tuple spolu s ${ displaystyle n}$. (N-tice je coprime, právě když je coprime jako sada.) Toto je Eulerovo zobecnění totient funkce, který je ${ displaystyle J_ {1}}$. Funkce je pojmenována po Camille Jordan.

Definice

Pro každého ${ displaystyle k}$Jordanova totientová funkce ${ displaystyle J_ {k}}$ je multiplikativní a lze je vyhodnotit jako

${ displaystyle J_ {k} (n) = n ^ {k} prod _ {p | n} vlevo (1 - { frac {1} {p ^ {k}}} vpravo) ,}$, kde ${ displaystyle p}$ se pohybuje mezi hlavními děliteli ${ displaystyle n}$.

Vlastnosti

• ${ displaystyle sum _ {d | n} J_ {k} (d) = n ^ {k}. ,}$

které mohou být psány v jazyce Dirichletovy závity tak jako^[1]

${ displaystyle J_ {k} (n) hvězda 1 = n ^ {k} ,}$

a prostřednictvím Möbiova inverze tak jako

${ displaystyle J_ {k} (n) = mu (n) hvězda n ^ {k}}$.

Protože Funkce generování dirichletů z ${ displaystyle mu}$ je ${ displaystyle 1 / zeta (s)}$ a generující funkci Dirichlet z ${ displaystyle n ^ {k}}$ je ${ displaystyle zeta (s-k)}$, série pro${ displaystyle J_ {k}}$ se stává

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {J_ {k} (n)} {n ^ {s}}} = { frac { zeta (sk)} { zeta (s)} }}$.

• An průměrná objednávka z ${ displaystyle J_ {k} (n)}$ je

${ displaystyle { frac {n ^ {k}} { zeta (k + 1)}}}$.

• The Funkce Dedekind psi je

${ displaystyle psi (n) = { frac {J_ {2} (n)} {J_ {1} (n)}}}$,

a kontrolou definice (uznání, že každý faktor v produktu nad prvočísly je cyklotomický polynom z ${ displaystyle p _ {- k}}$), aritmetické funkce definované pomocí ${ displaystyle { frac {J_ {k} (n)} {J_ {1} (n)}}}$ nebo ${ displaystyle { frac {J_ {2k} (n)} {J_ {k} (n)}}}$lze také zobrazit jako celočíselné multiplikativní funkce.

• ${ displaystyle sum _ { delta mid n} delta ^ {s} J_ {r} ( delta) J_ {s} left ({ frac {n} { delta}} right) = J_ {r + s} (n)}$.      ^[2]

Pořadí skupin matic

The obecná lineární skupina matic objednávky ${ displaystyle m}$ přes ${ displaystyle mathbf {Z} / n}$ má pořádek^[3]

${ displaystyle | operatorname {GL} (m, mathbf {Z} / n) | = n ^ { frac {m (m-1)} {2}} prod _ {k = 1} ^ {m } J_ {k} (n).}$

The speciální lineární skupina matic objednávky ${ displaystyle m}$ přes ${ displaystyle mathbf {Z} / n}$ má pořádek

${ displaystyle | operatorname {SL} (m, mathbf {Z} / n) | = n ^ { frac {m (m-1)} {2}} prod _ {k = 2} ^ {m } J_ {k} (n).}$

The symplektická skupina matic objednávky ${ displaystyle m}$ přes ${ displaystyle mathbf {Z} / n}$ má pořádek

${ displaystyle | operatorname {Sp} (2m, mathbf {Z} / n) | = n ^ {m ^ {2}} prod _ {k = 1} ^ {m} J_ {2k} (n) .}$

První dva vzorce objevil Jordan.

Příklady

Výslovné seznamy v OEIS areJ₂ v OEIS: A007434, J.₃ v OEIS: A059376, J.₄ v OEIS: A059377, J.₅ v OEIS: A059378, J.₆ až do J.₁₀ v OEIS: A069091až do OEIS: A069095.

Multiplikativní funkce definované poměry jsou J.₂(n) / J₁(n) v OEIS: A001615, J.₃(n) / J₁(n) v OEIS: A160889, J.₄(n) / J₁(n) v OEIS: A160891, J.₅(n) / J₁(n) v OEIS: A160893, J.₆(n) / J₁(n) v OEIS: A160895, J.₇(n) / J₁(n) v OEIS: A160897, J.₈(n) / J₁(n) v OEIS: A160908, J.₉(n) / J₁(n) v OEIS: A160953, J.₁₀(n) / J₁(n) v OEIS: A160957, J.₁₁(n) / J₁(n) v OEIS: A160960.

Příklady poměrů J_2k(n) / J_k(n) jsou J.₄(n) / J₂(n) v OEIS: A065958, J.₆(n) / J₃(n) v OEIS: A065959a J.₈(n) / J₄(n) v OEIS: A065960.

Poznámky

Reference

• L. E. Dickson (1971) [1919]. Dějiny teorie čísel, Sv. Já. Nakladatelství Chelsea. str. 147. ISBN  0-8284-0086-5. JFM  47.0100.04.
• M. Ram Murty (2001). Problémy v teorii analytických čísel. Postgraduální texty z matematiky. 206. Springer-Verlag. str. 11. ISBN  0-387-95143-1. Zbl  0971.11001.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Příručka teorie čísel II. Dordrecht: Kluwer Academic. s. 32–36. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.

externí odkazy

• Andrica, Dorine; Piticari, Mihai (2004). „O některých rozšířeních aritmetických funkcí Jordan“ (PDF). Acta universitatis Apulensis (7). PAN  2157944.
• Holden, Matthew; Orrison, Michael; Varble, Michaeli. „Ještě další zobecnění Eulerovy úplné funkce“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2016-03-05. Citováno 2011-12-21.