Dirichletova konvoluce - Dirichlet convolution

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Dirichletova konvoluce je binární operace definováno pro aritmetické funkce; je to důležité v teorie čísel. Byl vyvinut společností Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definice

Li ${ displaystyle f, g: mathbb {N} do mathbb {C}}$ jsou dvě aritmetické funkce od kladného celá čísla do komplexní čísla, Dirichlet konvoluce F ∗ G je nová aritmetická funkce definovaná:

${ displaystyle (f * g) (n) = součet _ {d , střední , n} f (d) , g ! vlevo ({ frac {n} {d}} vpravo) = součet _ {ab , = , n} ! f (a) , g (b)}$

kde součet přesahuje všechny kladné hodnoty dělitele d zn, nebo ekvivalentně přes všechny odlišné páry (A, b) kladných celých čísel, jejichž součin je n.

Tento produkt se přirozeně vyskytuje při studiu Dirichletova řada tak jako Funkce Riemann zeta. Popisuje znásobení dvou Dirichletových řad z hlediska jejich koeficientů:

${ displaystyle left ( sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s}}} right) left ( sum _ {n geq 1} { frac {g (n)} {n ^ {s}}} right) = left ( sum _ {n geq 1} { frac {(f * g) (n)} {n ^ {s }}}že jo).}$

Vlastnosti

Sada aritmetických funkcí tvoří a komutativní prsten, Dirichletův prstenpod bodové sčítání, kde F + G je definováno (F + G)(n) = F(n) + G(n)a Dirichletova konvoluce. Multiplikativní identita je funkce jednotky ε definován ε(n) = 1 -li n = 1 a ε(n) = 0 -li n > 1. The Jednotky (invertibilní prvky) tohoto kruhu jsou aritmetické funkce F s F(1) ≠ 0.

Konkrétně Dirichletova konvoluce je^[1] asociativní,

${ displaystyle (f * g) * h = f * (g * h),}$

distribuuje nad sčítáním

${ displaystyle f * (g + h) = f * g + f * h}$,

je komutativní,

${ displaystyle f * g = g * f}$,

a má prvek identity,

${ displaystyle f * varepsilon}$ = ${ displaystyle varepsilon * f = f}$.

Navíc pro každého ${ displaystyle f}$ mít ${ displaystyle f (1) neq 0}$, existuje aritmetická funkce ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ s ${ displaystyle f * f ^ {- 1} = varepsilon}$, volal Dirichlet inverzní z ${ displaystyle f}$.

Dirichletova konvoluce dvou multiplikativní funkce je opět multiplikativní a každá ne neustále nulová multiplikativní funkce má Dirichletovu inverzi, která je také multiplikativní. Jinými slovy, multiplikativní funkce tvoří podskupinu skupiny invertibilních prvků Dirichletova kruhu. Mějte však na paměti, že součet dvou multiplikativních funkcí není multiplikativní (protože ${ Displaystyle (f + g) (1) = f (1) + g (1) = 2 neq 1}$), takže podmnožina multiplikativních funkcí není podřetězcem Dirichletova kruhu. Článek o multiplikativních funkcích uvádí několik konvolučních vztahů mezi důležitými multiplikativními funkcemi.

Další operací na aritmetických funkcích je bodové násobení: fg je definováno (fg)(n) = F(n) G(n). Vzhledem k tomu, zcela multiplikativní funkce ${ displaystyle h}$, bodové násobení ${ displaystyle h}$ distribuuje přes Dirichletovu konvoluci: ${ displaystyle (f * g) h = (fh) * (gh)}$.^[2] Konvoluce dvou zcela multiplikativních funkcí je multiplikativní, ale ne nutně zcela multiplikativní.

Příklady

V těchto vzorcích používáme následující aritmetické funkce:

• ${ displaystyle varepsilon}$ je multiplikativní identita: ${ displaystyle varepsilon (1) = 1}$, jinak 0.
• ${ displaystyle 1}$ je konstantní funkce s hodnotou 1: ${ displaystyle 1 (n) = 1}$ pro všechny ${ displaystyle n}$. Mějte na paměti, že ${ displaystyle 1}$ není identita. (Někteří autoři označ to tak jako ${ displaystyle zeta}$ protože související Dirichletova řada je Funkce Riemann zeta.)
• ${ displaystyle 1_ {C}}$ pro ${ displaystyle C podmnožina mathbb {N}}$ je sada funkce indikátoru: ${ displaystyle 1_ {C} (n) = 1}$ iff ${ displaystyle n v C}$, jinak 0.
• ${ displaystyle { text {Id}}}$ je funkce identity s hodnotou n: ${ displaystyle { text {Id}} (n) = n}$.
• ${ displaystyle { text {Id}} _ {k}}$je kfunkce napájení: ${ displaystyle { text {Id}} _ {k} (n) = n ^ {k}}$.

Platí následující vztahy:

• ${ displaystyle 1 * mu = varepsilon}$, Dirichletova inverzní funkce konstanty ${ displaystyle 1}$ je Möbiova funkce. Proto:
• ${ displaystyle g = f * 1}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f = g * mu}$, Möbioův inverzní vzorec
• ${ displaystyle sigma _ {k} = { text {Id}} _ {k} * 1}$, funkce součtu k-té síly dělitelů σ_k
• ${ displaystyle sigma = { text {Id}} * 1}$funkce součtu dělitelů σ = σ₁
• ${ displaystyle d = 1 * 1}$ , funkce počtu dělitelů d(n) = σ₀
• ${ displaystyle { text {Id}} _ {k} = sigma _ {k} * mu}$, Möbiově inverzí vzorců pro σ_k, σ, a d
• ${ displaystyle { text {Id}} = sigma * mu}$
• ${ displaystyle 1 = d * mu}$
• ${ displaystyle phi * 1 = { text {Id}}}$ , prokázáno pod Eulerova totientová funkce
• ${ displaystyle phi = { text {Id}} * mu}$ , Möbiově inverzí
• ${ displaystyle sigma = phi * d}$ , od konvoluce 1 na obou stranách ${ displaystyle phi * 1 = { text {Id}}}$
• ${ displaystyle lambda * | mu | = varepsilon}$ kde λ je Funkce Liouville
• ${ displaystyle lambda * 1 = 1 _ { text {náměstí}}}$ kde Sq = {1, 4, 9, ...} je množina čtverců
• ${ displaystyle { text {Id}} _ {k} * ({ text {Id}} _ {k} mu) = varepsilon}$
• ${ displaystyle d ^ {3} * 1 = (d * 1) ^ {2}}$
• ${ displaystyle J_ {k} * 1 = { text {Id}} _ {k}}$, Jordanova totientová funkce
• ${ displaystyle ({ text {Id}} _ {s} J_ {r}) * J_ {s} = J_ {s + r}}$
• ${ displaystyle Lambda * 1 = log}$, kde ${ displaystyle Lambda}$ je von Mangoldtova funkce
• ${ displaystyle | mu | ast 1 = 2 ^ { omega},}$ kde ${ displaystyle omega (n)}$ je hlavní funkce omega počítací odlišný hlavní faktory n
• ${ displaystyle Omega ast mu = chi _ {2 { mathcal {P}}}}$ je indikátorová funkce, kde je sada ${ displaystyle 2 { mathcal {P}}: = {n geq 1: n = 2 ^ {k} vee n in mathbb {P} }}$ je sbírka kladných prvočísel a integrálních sil dvou.
• ${ displaystyle omega ast mu = chi _ { mathbb {P}}}$ kde ${ displaystyle chi _ { mathbb {P}} (n) mapsto {0,1 }}$ je charakteristická funkce prvočísel.

Tato poslední identita ukazuje, že funkce počítání prvočísel je dána součtovou funkcí

${ displaystyle pi (x) = součet _ {n leq x} ( omega ast mu) (n) = součet _ {d = 1} ^ {x} omega (d) M vlevo ( left lfloor { frac {x} {d}} right rfloor right)}$

kde ${ displaystyle M (x)}$ je Funkce Mertens a ${ displaystyle omega}$ je výrazná funkce počítání prvočísel shora. Tato expanze vyplývá z identity pro součty nad Dirichletovými konvolucemi uvedenými na identita dělitele součtu stránka (standardní trik pro tyto částky).^[3]

Dirichlet inverzní

Příklady

Vzhledem k aritmetické funkci ${ displaystyle f}$ jeho Dirichletova inverze ${ displaystyle g = f ^ {- 1}}$ lze vypočítat rekurzivně: hodnotu ${ displaystyle g (n)}$ je z hlediska ${ displaystyle g (m)}$ pro ${ displaystyle m$.

Pro ${ displaystyle n = 1}$:

${ displaystyle (f * g) (1) = f (1) g (1) = varepsilon (1) = 1}$, tak

${ displaystyle g (1) = 1 / f (1)}$. To z toho vyplývá ${ displaystyle f}$ nemá Dirichletovu inverzi, pokud ${ displaystyle f (1) = 0}$.

Pro ${ displaystyle n = 2}$:

${ displaystyle (f * g) (2) = f (1) g (2) + f (2) g (1) = varepsilon (2) = 0}$,

${ displaystyle g (2) = - (f (2) g (1)) / f (1)}$,

Pro ${ displaystyle n = 3}$:

${ displaystyle (f * g) (3) = f (1) g (3) + f (3) g (1) = varepsilon (3) = 0}$,

${ displaystyle g (3) = - (f (3) g (1)) / f (1)}$,

Pro ${ displaystyle n = 4}$:

${ displaystyle (f * g) (4) = f (1) g (4) + f (2) g (2) + f (4) g (1) = varepsilon (4) = 0}$,

${ displaystyle g (4) = - (f (4) g (1) + f (2) g (2)) / f (1)}$,

a obecně pro ${ displaystyle n> 1}$,

${ displaystyle g (n) = { frac {-1} {f (1)}} mathop { součet _ {d , střední , n}} _ {d$

Vlastnosti

Následující vlastnosti Dirichletova inverzního blokování:^[4]

• Funkce F má Dirichletovu inverzi tehdy a jen tehdy F(1) ≠ 0.
• Dirichletova inverze a multiplikativní funkce je opět multiplikativní.
• Dirichletova inverze Dirichletovy konvoluce je konvoluce inverzí každé funkce: ${ displaystyle (f ast g) ^ {- 1} = f ^ {- 1} ast g ^ {- 1}}$.
• Multiplikativní funkce F je zcela multiplikativní kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f ^ {- 1} (n) = mu (n) f (n)}$.
• Li F je zcela multiplikativní pak ${ displaystyle (f cdot g) ^ {- 1} = f cdot g ^ {- 1}}$ kdykoli ${ displaystyle g (1) neq 0}$ a kde ${ displaystyle cdot}$ označuje bodové násobení funkcí.

Jiné vzorce

Aritmetická funkce	Dirichlet inverzní:[5]
Konstantní funkce s hodnotou 1	Möbiova funkce μ
${ displaystyle n ^ { alpha}}$	${ displaystyle mu (n) , n ^ { alpha}}$
Funkce Liouville λ	Absolutní hodnota Möbiovy funkce |μ|
Eulerova totientová funkce ${ displaystyle varphi}$	${ displaystyle sum _ {d | n} d , mu (d)}$
The zobecněná funkce součtu dělitelů ${ displaystyle sigma _ { alpha}}$	${ displaystyle sum _ {d | n} d ^ { alpha} mu (d) mu left ({ frac {n} {d}} right)}$

Přesný nerekurzivní vzorec pro Dirichletovu inverzi kteréhokoli aritmetická funkce F je uveden v Totožnosti dělitele dělitele. A více teoretický oddíl výraz pro Dirichletovu inverzi z F darováno

${ displaystyle f ^ {- 1} (n) = součet _ {k = 1} ^ { Omega (n)} levý { součet _ {{ lambda _ {1} +2 lambda _ { 2} + cdots + k lambda _ {k} = n} na vrcholu { lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {k} | n}} { frac { ( lambda _ {1} + lambda _ {2} + cdots + lambda _ {k})!} {1! 2! cdots k!}} (- 1) ^ {k} f ( lambda _ {1}) f ( lambda _ {2}) ^ {2} cdots f ( lambda _ {k}) ^ {k} vpravo }.}$

Dirichletova řada

Li F je aritmetická funkce, definuje se její Dirichletova řada generující funkce podle

${ displaystyle DG (f; s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {f (n)} {n ^ {s}}}}$

pro ty komplex argumenty s pro které řada konverguje (pokud existují). Násobení řady Dirichlet je kompatibilní s Dirichletovou konvolucí v následujícím smyslu:

${ displaystyle DG (f; s) DG (g; s) = DG (f * g; s) ,}$

pro všechny s u nichž se obě řady na levé straně sbíhají, jedna z nich se alespoň absolutně sbíhá (všimněte si, že jednoduchá konvergence obou sérií na levé straně NENÍ znamenat konvergenci na pravé straně!). To je podobné konvoluční věta pokud si někdo myslí o Dirichletově sérii jako o Fourierova transformace.

Související pojmy

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (prosinec 2013)

Omezení dělitelů v konvoluci na unitární, bi-unitární nebo nekoneční dělitelé definují podobné komutativní operace, které sdílejí mnoho funkcí s Dirichletovou konvolucí (existence Möbiova inverze, perzistence multiplikativity, definice totientů, vzorce produktu Eulerova typu přes související prvočísla atd.).

Dirichletova konvoluce je konvolucí výskytová algebra pro kladná celá čísla seřazená podle dělitelnosti.

Viz také

• Aritmetická funkce
• Totožnosti dělitele dělitele
• Möbioův inverzní vzorec

Reference

• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel„Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001
• Chan, Heng Huat (2009). Teorie analytického čísla pro vysokoškoláky. Monografie v teorii čísel. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN  981-4271-36-5.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie. Cambridge trakty v pokročilé matematice. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. str. 38. ISBN  0-521-84903-9.
• Cohen, Eckford (1959). „Třída reziduálních systémů (mod r) a související aritmetické funkce. I. Zobecnění Möbiově inverze“. Pacific J. Math. 9 (1). s. 13–23. PAN  0109806.
• Cohen, Eckford (1960). "Aritmetické funkce spojené s jednotnými děliteli celého čísla". Mathematische Zeitschrift. 74. str. 66–80. doi:10.1007 / BF01180473. PAN  0112861.
• Cohen, Eckford (1960). Msgstr "Počet jednotkových dělitelů celého čísla". Americký matematický měsíčník. 67 (9). 879–880. PAN  0122790.
• Cohen, Graeme L. (1990). "Na nekonečných dělitelích celých čísel". Matematika. Comp. 54 (189). 395–411. doi:10.1090 / S0025-5718-1990-0993927-5. PAN  0993927.
• Cohen, Graeme L. (1993). "Aritmetické funkce spojené s nekonečnými děliteli celého čísla". Int. J. Math. Matematika. Sci. 16 (2). 373–383. doi:10.1155 / S0161171293000456.
• Sandor, Jozsef; Berge, Antal (2003). "Funkce Möbius: zobecnění a rozšíření". Adv. Stud. Kontemp. Matematika. (Kyungshang). 6 (2): 77–128. PAN  1962765.
• Finch, Steven (2004). „Unitarismus a infinitarismus“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 22.02.2015.

externí odkazy

• „Dirichletova konvoluce“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]