Kvadratická vzájemnost - Quadratic reciprocity

Gauss zveřejnil první a druhý důkaz o zákonu kvadratické vzájemnosti o umění 125–146 a 262 z Disquisitiones Arithmeticae v roce 1801.

v teorie čísel, zákon kvadratické vzájemnosti je věta o modulární aritmetika který dává podmínky pro řešitelnost kvadratické rovnice modulo prvočísla. Díky své jemnosti má mnoho formulací, ale nejstandardnější prohlášení je:

Tento zákon spolu s doplňky, umožňuje snadný výpočet libovolného symbolu Legendre, což umožňuje určit, zda existuje celočíselné řešení pro jakoukoli kvadratickou rovnici tvaru ${displaystyle x ^ {2} equiv a {mod {p}}}$ pro liché prime ${displaystyle p}$; to znamená určovat „dokonalé čtverce“ modulo ${displaystyle p}$. Jedná se však o nekonstruktivní výsledek: neposkytuje vůbec žádnou pomoc při hledání a charakteristický řešení; k tomu jsou zapotřebí další metody. Například v případě ${displaystyle pequiv 3 {mod {4}}}$ použitím Eulerovo kritérium jeden může dát explicitní vzorec pro "odmocniny" modulo ${displaystyle p}$ kvadratického zbytku ${displaystyle a}$, jmenovitě

${displaystyle pm a ^ {frac {p + 1} {4}}}$

Vskutku,

${displaystyle left (pm a ^ {frac {p + 1} {4}} ight) ^ {2} = a ^ {frac {p + 1} {2}} = acdot a ^ {frac {p-1} { 2}} equiv aleft ({frac {a} {p}} ight) = a {mod {p}}.}$

Tento vzorec funguje, pouze pokud je předem známo, že ${displaystyle a}$ je kvadratický zbytek, které lze zkontrolovat pomocí zákona kvadratické reciprocity.

Věta o kvadratické vzájemnosti byla domněnkou Euler a Legendre a nejprve prokázáno Gauss,^[1] který jej označil jako „základní větu“ Disquisitiones Arithmeticae a jeho papíry, psaní

Základní věta musí být určitě považována za jednu z nejelegantnějších svého druhu. (Článek 151)

Soukromě to Gauss označoval jako „zlatou větu“.^[2] Publikoval šest důkazy za to a v jeho posmrtných novinách byly nalezeny další dva. Nyní existuje více než 240 publikovaných důkazů.^[3] Je zahrnut nejkratší známý důkaz níže, spolu s krátkými důkazy o dodatcích zákona (symboly Legendre -1 a 2).

Zobecnění zákona o vzájemnosti na vyšší mocnosti bylo hlavním problémem v matematice a bylo zásadní pro vývoj velké části mechanismu moderní algebra, teorie čísel a algebraická geometrie, které vyvrcholily v Artin vzájemnost, teorie pole a Langlandsův program.

Motivující příklady

Kvadratická vzájemnost vzniká z určitých jemných faktorizačních vzorů zahrnujících perfektní čtvercová čísla. V této části uvádíme příklady, které vedou k obecnému případu.

Factoring n² − 5

Zvažte polynom ${displaystyle f (n) = n ^ {2} -5}$ a jeho hodnoty pro ${displaystyle nin mathbb {N}.}$ Primární faktorizace těchto hodnot jsou uvedeny následovně:

n	${displaystyle f (n)}$			n	${displaystyle f (n)}$			n	${displaystyle f (n)}$
1	−4	−22		16	251	251		31	956	22⋅239
2	−1	−1		17	284	22⋅71		32	1019	1019
3	4	22		18	319	11⋅29		33	1084	22⋅271
4	11	11		19	356	22⋅89		34	1151	1151
5	20	22⋅5		20	395	5⋅79		35	1220	22⋅5⋅61
6	31	31		21	436	22⋅109		36	1291	1291
7	44	22⋅11		22	479	479		37	1364	22⋅11⋅31
8	59	59		23	524	22⋅131		38	1439	1439
9	76	22⋅19		24	571	571		39	1516	22⋅379
10	95	5⋅19		25	620	22⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	22⋅29		26	671	11⋅61		41	1676	22⋅419
12	139	139		27	724	22⋅181		42	1759	1759
13	164	22⋅41		28	779	19⋅41		43	1844	22⋅461
14	191	191		29	836	22⋅11⋅19		44	1931	1931
15	220	22⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020	22⋅5⋅101

Hlavní faktory ${displaystyle p}$ dělení ${displaystyle f (n)}$ jsou ${displaystyle p = 2,5}$a každý předseda, jehož poslední číslice je ${displaystyle 1}$ nebo ${displaystyle 9}$; žádná prvočísla končící na ${displaystyle 3}$ nebo ${displaystyle 7}$ kdy se objeví. Nyní, ${displaystyle p}$ je hlavním faktorem některých ${displaystyle n ^ {2} -5}$ kdykoli ${displaystyle n ^ {2} -5equiv 0 {mod {p}}}$, tj. kdykoli ${displaystyle n ^ {2} ekv. 5 {mod {p}},}$ tj. kdykoli 5 je kvadratický zbytek modulo ${displaystyle p}$. To se stává pro ${displaystyle p = 2,5}$ a ty prvočísla s ${displaystyle pequiv 1,4 {mod {5}},}$ a všimněte si, že druhá čísla ${displaystyle 1 = (pm 1) ^ {2}}$ a ${displaystyle 4 = (pm 2) ^ {2}}$ jsou přesně kvadratické zbytky modulo ${displaystyle 5}$. Proto, s výjimkou ${displaystyle p = 2,5}$, máme to ${displaystyle 5}$ je kvadratický zbytek modulo ${displaystyle p}$ iff ${displaystyle p}$ je kvadratický zbytek modulo ${displaystyle 5}$.

Zákon kvadratické vzájemnosti dává podobnou charakteristiku hlavních dělitelů ${displaystyle f (n) = n ^ {2} -q}$ pro všechny prime q, což vede k charakterizaci pro celé číslo ${displaystyle q}$.

Vzory mezi kvadratickými zbytky

Nechat p být lichý prime. Číslo modulo p je kvadratický zbytek kdykoli je to shodné se čtvercem (mod p); jinak je to kvadratický zbytek. („Kvadratický“ lze zrušit, pokud je to zřejmé z kontextu.) Zde vylučujeme nulu jako speciální případ. Poté v důsledku skutečnosti, že multiplikativní skupina a konečné pole řádu p je cyklický řádu p-1, platí následující tvrzení:

• Existuje stejný počet kvadratických zbytků a zbytků; a
• Produkt dvou kvadratických zbytků je zbytek, produkt zbytku a zbytku je zbytek, a produkt dvou nezbytků je zbytek.

Aby se předešlo pochybnostem, tato tvrzení ano ne podržte, pokud modul není primární. Například v multiplikativní skupině modulo 15 jsou pouze 3 kvadratické zbytky (1, 4 a 9). Navíc ačkoliv jsou 7 a 8 kvadratické zbytky, jejich produkt 7x8 = 11 je také kvadratickým zbytkem, na rozdíl od hlavní případ.

Kvadratické zbytky jsou položky v následující tabulce:

Tato tabulka je kompletní pro lichá prvočísla menší než 50. Chcete-li zkontrolovat, zda je číslo m je kvadratický zbytek mod jeden z těchto prvočísel p, najít A ≡ m (mod p) a 0 ≤ A < p. Li A je v řadě p, pak m je zbytek (mod p); -li A není v řadě p stolu m je nerezident (mod p).

Kvadratický zákon vzájemnosti je tvrzení, že určité vzorce nalezené v tabulce jsou obecně platné.

q = ± 1 a první doplněk

Triviálně 1 je kvadratický zbytek pro všechna prvočísla. Otázka se stává zajímavější pro -1. Prozkoumáním tabulky zjistíme -1 v řádcích 5, 13, 17, 29, 37 a 41, ale ne v řádcích 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 nebo 47. Bývalá sada prvočísel je shodná na 1 modulo 4, a ty jsou shodné s 3 modulo 4.

První dodatek k kvadratické vzájemnosti. Shoda ${displaystyle x ^ {2} ekv. -1 {mod {p}}}$ je řešitelný právě tehdy ${displaystyle p}$ je shodný s 1 modulo 4.

q = ± 2 a druhá příloha

Prozkoumáním tabulky najdeme 2 v řádcích 7, 17, 23, 31, 41 a 47, ale ne v řádcích 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 nebo 43. První prvočísla jsou všechna ≡ ± 1 (mod 8) a poslední jsou ≡ ± 3 (mod 8). Tohle vede k

Druhý dodatek ke kvadratické vzájemnosti. Shoda ${displaystyle x ^ {2} ekv. 2 {mod {p}}}$ je řešitelný právě tehdy ${displaystyle p}$ je shodný s ± 1 modulo 8.

−2 je v řadách 3, 11, 17, 19, 41, 43, ale ne v řadách 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 nebo 47. První jsou ≡ 1 nebo ≡ 3 (mod 8) a poslední jsou ≡ 5, 7 (mod 8).

q = ±3

3 je v řadách 11, 13, 23, 37 a 47, ale ne v řadách 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 nebo 43. První jsou ≡ ± 1 (mod 12) a druhé jsou vše ≡ ± 5 (mod 12).

−3 je v řadách 7, 13, 19, 31, 37 a 43, ale ne v řadách 5, 11, 17, 23, 29, 41 nebo 47. První jsou ≡ 1 (mod 3) a druhá ≡ 2 (mod 3).

Protože jediný zbytek (mod 3) je 1, vidíme, že −3 je kvadratický zbytek modulo každý prime, který je zbytkem modulo 3.

q = ±5

5 je v řádcích 11, 19, 29, 31 a 41, ale ne v řadách 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 nebo 47. První jsou ≡ ± 1 (mod 5) a druhé jsou ≡ ± 2 (mod 5).

Protože jediné zbytky (mod 5) jsou ± 1, vidíme, že 5 je kvadratický zbytek modulo každý prime, který je zbytkem modulo 5.

−5 je v řadách 3, 7, 23, 29, 41, 43 a 47, ale ne v řadách 11, 13, 17, 19, 31 nebo 37. První jsou ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20 ) a poslední jsou ≡ 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Vyšší q

Pozorování o -3 a 5 nadále platí: −7 je zbytkový modul p kdyby a jen kdyby p je zbytek modulo 7, −11 je zbytek modulo p kdyby a jen kdyby p je zbytek modulo 11, 13 je zbytek (mod p) právě tehdy p je zbytek modulo 13 atd. Složitěji vypadající pravidla pro kvadratické znaky 3 a −5, která závisí na kongruencích modulo 12 a 20, jsou jednoduše pravidla pro −3 a 5 pracující s prvním doplňkem.

Příklad. Aby −5 byl zbytek (mod p), buď 5 i -1 musí být zbytky (mod p) nebo oba musí být nezbytky: tj., p ≡ ± 1 (mod 5) a p ≡ 1 (mod 4) nebo p ≡ ± 2 (mod 5) a p ≡ 3 (mod 4). Za použití Čínská věta o zbytku jsou ekvivalentní k p ≡ 1, 9 (mod 20) nebo p ≡ 3, 7 (mod 20).

Zevšeobecnění pravidel pro −3 a 5 je Gaussovým tvrzením o kvadratické vzájemnosti.

Legendrova verze

Dalším způsobem, jak uspořádat data, je zjistit, která prvočísla jsou zbytky mod, která ostatní prvočísla, jak je znázorněno v následující tabulce. Položka v řádku p sloupec q je R -li q je kvadratický zbytek (mod p); pokud se nejedná o reziduum, položka je N.

Pokud je řádek, sloupec nebo obojí ≡ 1 (mod 4), položka je modrá nebo zelená; pokud jsou řádek i sloupec ≡ 3 (mod 4), je to žlutá nebo oranžová.

Modré a zelené položky jsou kolem úhlopříčky symetrické: položka pro řádek psloupec q je R (resp N) právě tehdy, pokud je položka v řádku qsloupec p, je R (resp N).

Žluté a oranžové jsou naopak antisymetrické: položka pro řádek psloupec q je R (resp N) právě tehdy, pokud je položka v řádku qsloupec p, je N (resp R).

Zákon o vzájemnosti stanoví, že tyto vzorce platí pro všechny p a q.

Výrok věty

Kvadratická vzájemnost (Gaussovo prohlášení). Li ${displaystyle qequiv 1 {mod {4}}}$ pak shoda ${displaystyle x ^ {2} ekv. p {mod {q}}}$ je řešitelný právě tehdy ${displaystyle x ^ {2} ekviv q {mod {p}}}$ je řešitelný. Li ${displaystyle qequiv 3 {mod {4}}}$ pak shoda ${displaystyle x ^ {2} ekv. p {mod {q}}}$ je řešitelný právě tehdy ${displaystyle x ^ {2} equiv -q {mod {p}}}$ je řešitelný.

Kvadratická vzájemnost (kombinované prohlášení). Definovat ${displaystyle q ^ {*} = (- 1) ^ {frac {q-1} {2}} q}$. Pak shoda ${displaystyle x ^ {2} ekv. p {mod {q}}}$ je řešitelný právě tehdy ${displaystyle x ^ {2} equiv q ^ {*} {mod {p}}}$ je řešitelný.

Kvadratická vzájemnost (Legendrovo prohlášení). Li p nebo q jsou shodné s 1 modulo 4, pak: ${displaystyle x ^ {2} ekviv q {mod {p}}}$ je řešitelný právě tehdy ${displaystyle x ^ {2} ekv. p {mod {q}}}$ je řešitelný. Li p a q jsou shodné s 3 modulo 4, pak: ${displaystyle x ^ {2} ekviv q {mod {p}}}$ je řešitelný právě tehdy ${displaystyle x ^ {2} ekv. p {mod {q}}}$ není řešitelný.

Poslední je okamžitě ekvivalentní moderní formě uvedené v úvodu výše. Jde o jednoduché cvičení, které dokazuje, že výroky Legendra a Gaussa jsou rovnocenné - nevyžaduje nic víc než první doplněk a fakta o násobení reziduí a reziduí.

Důkaz

Následující důkaz, od The American Mathematical Monthly^[4], je zjevně nejkratší známý.

Nechat

${displaystyle S_ {n} (t) = součet _ {x_ {1} + x_ {2} + tečky + x_ {n} = t} vlevo ({frac {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n} } {p}} hned),}$

kde ${displaystyle t, x_ {i} v mathbb {Z} _ {p}}$ a ${displaystyle left ({frac {a} {p}} ight)}$ je symbol Legendre. Všimněte si, že pro liché ${displaystyle n}$ a jakékoli ${displaystyle ain mathbb {Z} _ {p} / {0},}$

${displaystyle S_ {n} (t) = left ({frac {a} {p}} ight) ^ {n} součet _ {{frac {x_ {1}} {a}} + cdots + {frac {x_ { n}} {a}} = {frac {t} {a}}} vlevo ({frac {{frac {x_ {1}} {a}} cdots {frac {x_ {n}} {a}}} { p}} ight) = left ({frac {a} {p}} ight) S_ {n} (t / a).}$

Zejména střídání ${displaystyle t = 0}$ a ${displaystyle a}$ reziduum, chápeme ${displaystyle S_ {n} (0) = 0}$a nastavení ${displaystyle t = a}$, dostaneme ${displaystyle S_ {n} (a) = left ({frac {a} {p}} ight) S_ {n} (1)}$; a podobným uvažováním,

${displaystyle S_ {2} (a) = left ({frac {a} {p}} ight) ^ {2} S_ {2} (1) = S_ {2} (1).}$

Dále

${displaystyle S_ {2} (0) = součet _ {xin mathbb {Z} _ {p} / {0}} left ({frac {-x ^ {2}} {p}} ight) = left ({frac {-1} {p}} ight) (p-1),}$

a připomíná to

${displaystyle sum _ {tin mathbb {Z} _ {p}} left ({frac {t} {p}} ight) = 0,}$

${displaystyle S_ {2} (1) = součet _ {xin mathbb {Z} _ {p} / {0}} vlevo ({frac {x ^ {2} x ^ {- 1} (1-x)} { p}} ight) = součet _ {xin mathbb {Z} _ {p} / {0}, y = x ^ {- 1}} vlevo ({frac {y-1} {p}} ight) = - vlevo ({frac {-1} {p}} noc).}$

Proto pro zvláštní ${displaystyle n}$ my máme

${displaystyle S_ {n + 2} (1) = součet _ {tin mathbb {Z} _ {p} / {0,1}} S_ {n} (t) S_ {2} (1-t) + S_ { n} (1) S_ {2} (0) + S_ {n} (0) S_ {2} (1) = součet _ {tin mathbb {Z} _ {p} / {0,1}} vlevo ({ frac {t} {p}} ight) S_ {n} (1) left (-left ({frac {-1} {p}} ight) ight) + S_ {n} (1) left ({frac {- 1} {p}} ight) (p-1) = S_ {n} (1) left ({frac {-1} {p}} ight) p.}$

Od té doby ${displaystyle S_ {1} (1) = left ({frac {1} {p}} ight) = 1}$, indukcí pro liché ${displaystyle n}$

${displaystyle S_ {n} (1) = left (left ({frac {-1} {p}} ight) pight) ^ {frac {n-1} {2}} = p ^ {frac {n-1} {2}} (- 1) ^ {{frac {p-1} {2}} {frac {n-1} {2}}}.}$

Proto by Eulerovo kritérium, pro liché prvočíslo ${displaystyle q}$,

${displaystyle S_ {q} (1) equiv left ({frac {p} {q}} ight) (- 1) ^ {{frac {p-1} {2}} {frac {q-1} {2} }} {mod {q}}.}$

Nyní ${displaystyle q}$ cyklické posuny daného ${displaystyle q}$-tuple ${displaystyle (x_ {1}, tečky, x_ {q})}$ jsou odlišné, pokud nejsou všechny ${displaystyle x_ {i}}$ jsou stejné, protože období jeho opakovaného jednopolohového cyklického posunu se dělí ${displaystyle q}$a tak je ${displaystyle q}$ nebo 1. Jsou-li odlišné, jejich celkový příspěvek k definování součtu ${displaystyle S_ {q} (1)}$ je ${displaystyle qleft ({frac {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {q}} {p}} ight)}$, což je dělitelné ${displaystyle q}$. Proto modulo ${displaystyle q}$ (bereme ${displaystyle qeq p}$),

${displaystyle S_ {q} (1) ekviv. součet _ {x_ {1} + x_ {2} + tečky + x_ {q} = 1, x_ {1} = x_ {2} = tečky = x_ {q}} vlevo ({frac {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {q}} {p}} ight) = left ({frac {q ^ {- 1}} {p}} ight) ^ {q} = left ( {frac {q} {p}} hned).}$

Tak

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) (- 1) ^ {{frac {p-1} {2}} {frac {q-1} {2}}}}$

a ${displaystyle left ({frac {q} {p}} ight)}$ jsou shodné ${displaystyle S_ {q} (1)}$, a tedy navzájem, modulo ${displaystyle q}$ - ale oba jsou čísla formuláře ${displaystyle pm 1}$, takže jsou si rovni, což je zákon kvadratické vzájemnosti.

Důkazy o doplňcích

Hodnota symbolu Legendre z ${displaystyle -1}$ (použitý v důkazu výše) vyplývá přímo z Eulerovo kritérium:

${displaystyle left ({frac {-1} {p}} ight) equiv (-1) ^ {frac {p-1} {2}} {mod {p}}}$

podle Eulerova kritéria, ale obě strany této kongruence jsou čísla formy ${displaystyle pm 1}$, takže si musí být rovni.

Zda ${displaystyle 2}$ je kvadratický zbytek lze uzavřít, pokud známe počet řešení rovnice ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 2}$ s ${displaystyle x, yin mathbb {Z} _ {p},}$ které lze vyřešit standardními metodami. Jmenovitě, všechna jeho řešení, kde ${displaystyle xyeq 0, xeq pm y}$ lze seskupit do octupletů formuláře ${displaystyle (pm x, pm y), (pm y, pm x)}$, a zbývají čtyři řešení formuláře ${displaystyle (pm 1, pm 1)}$ a případně čtyři další řešení, kde ${displaystyle x ^ {2} = 2, y = 0}$ a ${displaystyle x = 0, y ^ {2} = 2}$, které existují přesně pokud ${displaystyle 2}$ je kvadratický zbytek. To znamená ${displaystyle 2}$ je kvadratický zbytek přesně tehdy, když je počet řešení této rovnice dělitelný ${displaystyle 8}$. A tuto rovnici lze zde vyřešit stejným způsobem jako nad racionálními čísly: dosadit ${displaystyle x = a + 1, y = at + 1}$, kde to požadujeme ${displaystyle aeq 0}$ (vynechat dvě řešení ${displaystyle (1, pm 1)}$), pak se původní rovnice transformuje na

${displaystyle a = - {frac {2 (t + 1)} {(t ^ {2} +1)}}.}$

Tady ${displaystyle t}$ může mít jakoukoli hodnotu, která nezpůsobí, že jmenovatel bude nulový - pro které existují ${displaystyle 1 + left ({frac {-1} {p}} right)}$ možnosti (tj. ${displaystyle 2}$ -li ${displaystyle -1}$ je zbytek, ${displaystyle 0}$ pokud ne) - a také nedělá ${displaystyle a}$ nula, což vylučuje ještě jednu možnost, ${displaystyle t = -1}$. Tak existují

${displaystyle p-left (1 + left ({frac {-1} {p}} ight) ight) -1}$

možnosti pro ${displaystyle t}$, a tak společně se dvěma vyloučenými řešeními existují celkově ${displaystyle p-left ({frac {-1} {p}} ight)}$ řešení původní rovnice. Proto, ${displaystyle 2}$ je zbytek modulo ${displaystyle p}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle 8}$ rozděluje ${displaystyle p - (- 1) ^ {frac {p-1} {2}}}$. Jedná se o přeformulování výše uvedené podmínky.

Historie a alternativní výroky

Věta byla formulována mnoha způsoby před její moderní formou: Euler a Legendre neměli Gaussovu kongruenční notaci, ani Gauss neměl symbol Legendra.

V tomto článku p a q vždy odkazovat na odlišné pozitivní liché prvočísla a X a y na nespecifikovaná celá čísla.

Fermat

Fermat dokázal^[5] (nebo tvrdil, že prokázal)^[6] řada vět o vyjádření prvočísla kvadratickou formou:

${displaystyle {egin {aligned} p = x ^ {2} + y ^ {2} qquad & Longleftrightarrow qquad p = 2quad {ext {or}} quad pequiv 1 {mod {4}} p = x ^ {2} + 2y ^ {2} qquad & Longleftrightarrow qquad p = 2quad {ext {or}} quad pequiv 1,3 {mod {8}} p = x ^ {2} + 3y ^ {2} qquad & Longleftrightarrow qquad p = 3quad {ext {or}} quad pequiv 1 {mod {3}} end {aligned}}}$

Nestanovil zákon kvadratické reciprocity, ačkoli případy -1, ± 2 a ± 3 jsou snadnými dedukcemi z těchto a dalších jeho vět.

Tvrdil také, že má důkaz, že pokud je prvočíslo p končí 7 (v základu 10) a prvočíslem q končí na 3 a p ≡ q ≡ 3 (mod 4), pak

${displaystyle pq = x ^ {2} + 5y ^ {2}.}$

Euler se domníval a Lagrange to dokázal^[7]

${displaystyle {egin {aligned} p & equiv 1,9 {mod {20}} quad Longrightarrow quad p = x ^ {2} + 5y ^ {2} p, q & equiv 3,7 {mod {20}} quad Longrightarrow quad pq = x ^ {2} + 5y ^ {2} konec {zarovnáno}}}$

Prokázání těchto a dalších Fermatových výroků bylo jednou z věcí, které vedly matematiky k teorému o vzájemnosti.

Euler

Přeloženo do moderní notace, uvedl Euler ^[8] že pro odlišné liché prvočísla p a q:

1. Li q ≡ 1 (mod 4) pak q je kvadratický zbytek (mod p) právě tehdy, pokud existuje nějaké celé číslo b takhle p ≡ b² (mod q).
2. Li q ≡ 3 (mod 4) pak q je kvadratický zbytek (mod p) právě tehdy, pokud existuje nějaké celé číslo b což je liché a nedělitelné q takhle p ≡ ±b² (mod 4q).

To odpovídá kvadratické vzájemnosti.

Nemohl to dokázat, ale dokázal druhý doplněk.^[9]

Legendre a jeho symbol

Fermat dokázal, že pokud p je prvočíslo a A je celé číslo,

${displaystyle a ^ {p} equiv a {mod {p}}.}$

Tedy pokud p nerozděluje A, s použitím zjevné skutečnosti (viz například Irsko a Rosen níže), že zbytky modulo p formulář a pole a proto je zejména multiplikativní skupina cyklická, a proto mohou existovat nanejvýš dvě řešení kvadratické rovnice:

${displaystyle a ^ {frac {p-1} {2}} ekvivalent pm 1 {mod {p}}.}$

Legendre^[10] Pojďme A a A představují kladná prvočísla ≡ 1 (mod 4) a b a B pozitivní prvočísla ≡ 3 (mod 4) a stanoví tabulku osmi vět, které jsou společně ekvivalentní kvadratické vzájemnosti:

Teorém	Když	z toho vyplývá, že
Já	${displaystyle b ^ {frac {a-1} {2}} ekvivalent 1 {mod {a}}}$	${displaystyle a ^ {frac {b-1} {2}} ekvivalent 1 {mod {b}}}$
II	${displaystyle a ^ {frac {b-1} {2}} ekvivalent -1 {mod {b}}}$	${displaystyle b ^ {frac {a-1} {2}} ekvivalent -1 {mod {a}}}$
III	${displaystyle a ^ {frac {A-1} {2}} ekvivalent 1 {mod {A}}}$	${displaystyle A ^ {frac {a-1} {2}} ekvivalent 1 {mod {a}}}$
IV	${displaystyle a ^ {frac {A-1} {2}} ekv. -1 {mod {A}}}$	${displaystyle A ^ {frac {a-1} {2}} ekvivalent -1 {mod {a}}}$
PROTI	${displaystyle a ^ {frac {b-1} {2}} ekvivalent 1 {mod {b}}}$	${displaystyle b ^ {frac {a-1} {2}} ekvivalent 1 {mod {a}}}$
VI	${displaystyle b ^ {frac {a-1} {2}} ekvivalent -1 {mod {a}}}$	${displaystyle a ^ {frac {b-1} {2}} ekvivalent -1 {mod {b}}}$
VII	${displaystyle b ^ {frac {B-1} {2}} ekvivalent 1 {mod {B}}}$	${displaystyle B ^ {frac {b-1} {2}} ekvivalent -1 {mod {b}}}$
VIII	${displaystyle b ^ {frac {B-1} {2}} ekvivalent -1 {mod {B}}}$	${displaystyle B ^ {frac {b-1} {2}} ekvivalent 1 {mod {b}}}$

Říká to od vyjádření formy

${displaystyle N ^ {frac {c-1} {2}} {mod {c}}, qquad gcd (N, c) = 1}$

přijde tak často, že je zkrátí jako:

${displaystyle left ({frac {N} {c}} ight) equiv N ^ {frac {c-1} {2}} {mod {c}} = pm 1.}$

Toto je nyní známé jako Legendární symbol a ekvivalent^[11][12] definice se dnes používá: pro všechna celá čísla A a všechny liché prvočísla p

${displaystyle left ({frac {a} {p}} ight) = {egin {cases} 0 & aequiv 0 {mod {p}} 1 & aot equiv 0 {mod {p}} {ext {and}} existuje x: aequiv x ^ {2} {mod {p}} - 1 & aot equiv 0 {mod {p}} {ext {a neexistuje žádný takový}} x.end {případy}}}$

Legendrova verze kvadratické vzájemnosti

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) = {egin {cases} left ({frac {q} {p}} ight) & pequiv 1 {mod {4}} quad {ext {or}} quad qequiv 1 {mod {4}} - left ({frac {q} {p}} ight) & pequiv 3 {mod {4}} quad {ext {and}} quad qequiv 3 {mod {4}} end {cases }}}$

Poznamenává, že je lze kombinovat:

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) left ({frac {q} {p}} ight) = (- 1) ^ {{frac {p-1} {2}} {frac {q -1} {2}}}.}$

Řada důkazů, zejména na základě Gaussova lemma,^[13] výslovně vypočítat tento vzorec.

Doplňkové zákony využívající symboly Legendre

${displaystyle {egin {aligned} left ({frac {-1} {p}} ight) & = (- 1) ^ {frac {p-1} {2}} = {egin {cases} 1 & pequiv 1 {mod { 4}} - 1 & pequiv 3 {mod {4}} konec {případů}} vlevo ({frac {2} {p}} ight) & = (- 1) ^ {frac {p ^ {2} -1} {8}} = {egin {cases} 1 & pequiv 1,7 {mod {8}} - 1 & pequiv 3,5 {mod {8}} end {cases}} end {aligned}}}$

Legendrův pokus dokázat vzájemnost je založen na jeho větě:

Legendrova věta. Nechat A, b a C být celá čísla, kde jakýkoli pár ze tří je relativně prvočíselný. Navíc předpokládejme, že alespoň jeden z ab, před naším letopočtem nebo ca. je záporné (tj. nemají všechny stejné znaménko). Li

${displaystyle {egin {aligned} u ^ {2} & equiv -bc {mod {a}} v ^ {2} & equiv -ca {mod {b}} w ^ {2} & equiv -ab {mod {c} } konec {zarovnáno}}}$

jsou řešitelné, pak následující rovnice má netriviální řešení v celých číslech:

${displaystyle ax ^ {2} + od ^ {2} + cz ^ {2} = 0.}$

Příklad. Věta, se kterou zacházím, nechám A ≡ 1 a b ≡ 3 (mod 4) jsou prvočísla a za předpokladu, že ${displaystyle left ({frac {b} {a}} ight) = 1}$ a na rozdíl od věty, že ${displaystyle left ({frac {a} {b}} ight) = - 1.}$ Pak ${displaystyle x ^ {2} + ay ^ {2} -bz ^ {2} = 0}$ má řešení a přijetí kongruencí (mod 4) vede k rozporu.

Tato technika nefunguje pro Theorem VIII. Nechat b ≡ B ≡ 3 (mod 4) a předpokládejme

${displaystyle left ({frac {B} {b}} ight) = left ({frac {b} {B}} ight) = - 1.}$

Pak, pokud existuje další prime p ≡ 1 (mod 4) takový, že

${displaystyle left ({frac {p} {b}} ight) = left ({frac {p} {B}} ight) = - 1,}$

řešitelnost ${displaystyle Bx ^ {2} + od ^ {2} -pz ^ {2} = 0}$ vede k rozporu (mod 4). Legendre však nebyl schopen prokázat, že musí být taková p; později dokázal, že vše, co je požadováno, je:

Legendrova lemma. Li p je prvočíslo, které je shodné s 1 modulo 4, pak existuje liché prvočíslo q takhle ${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) = - 1.}$

ale také to nedokázal. Hilbertův symbol (níže) pojednává o tom, jak techniky založené na existenci řešení ${displaystyle ax ^ {2} + od ^ {2} + cz ^ {2} = 0}$ lze uvést do provozu.

Gauss

Část článku 131 v prvním vydání (1801) Disquisitiones, který uvádí 8 případů kvadratické vzájemnosti

Gauss nejprve dokazuje^[14] doplňkové zákony. Nastavuje^[15] základ pro indukci prokázáním věty pro ± 3 a ± 5. Konstatování^[16] že je snazší uvádět pro −3 a +5 než pro +3 nebo −5, uvádí^[17] obecná věta ve formě:

Li p je prvočíslo formy 4n + 1 pak p, ale pokud p je ve formě 4n + 3 pak -p, je kvadratický zbytek (resp. neresiduální) každého prvočísla, který je s kladným znaménkem reziduí (resp. neresiduální) z p. V další větě ji pokřtil jako „základní větu“ (Gauss nikdy nepoužíval slovo „vzájemnost“).

Představujeme notaci A R b (resp. A N b) znamenat A je kvadratický zbytek (resp. neresiduální) (mod b), a nechat A, A′ Atd. Představují kladná prvočísla ≡ 1 (mod 4) a b, b′ Atd. Pozitivní prvočísla ≡ 3 (mod 4), rozděluje to do stejných 8 případů jako Legendre:

V následujícím článku to zobecňuje na to, co jsou v zásadě pravidla pro Symbol Jacobi (níže). Pronájem A, A′ Atd. Představují libovolná (primární nebo složená) kladná čísla ≡ 1 (mod 4) a B, B′ Atd. Kladná čísla ≡ 3 (mod 4):

Všechny tyto případy mají formu „pokud prvočíslo je zbytek (mod složený), pak složený díl je zbytek nebo reziduum (mod prvočíslo), v závislosti na kongruencích (mod 4)“. Dokazuje, že to vyplývá z případů 1) - 8).

Gauss potřeboval a dokázal,^[18] lema podobná té, kterou potřeboval Legendre:

Gaussova lemma. Li p je prvočíslo shodné s 1 modulo 8, pak existuje liché prvočíslo q takové, že:

${displaystyle q <2 {sqrt {p}} + 1quad {ext {and}} quad left ({frac {p} {q}} ight) = - 1.}$

Důkaz kvadratické vzájemnosti se používá úplná indukce.

Gaussova verze v legendárních symbolech.

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) = {egin {cases} left ({frac {q} {p}} ight) & qequiv 1 {mod {4}} left ({frac {-q } {p}} ight) & qequiv 3 {mod {4}} konec {případů}}}$

Lze je kombinovat:

Gaussova kombinovaná verze v legendárních symbolech. Nechat

${displaystyle q ^ {*} = (- 1) ^ {frac {q-1} {2}} q.}$

Jinými slovy:

${displaystyle | q ^ {*} | = | q | quad {ext {and}} quad q ^ {*} ekvivalent 1 {mod {4}}.}$

Pak:

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) = left ({frac {q ^ {*}} {p}} ight).}$

Řada důkazů věty, zejména ty založené na Gaussovy částky odvodit tento vzorec.^[19] nebo rozdělení prvočísel v algebraické číselné pole,^[20]

Další prohlášení

Všimněte si, že tvrzení v této části jsou ekvivalentní kvadratické vzájemnosti: pokud se předpokládá například Eulerova verze, lze z ní odvodit verzi Legendre-Gauss a naopak.

Eulerova formulace kvadratické vzájemnosti.^[21] Li ${displaystyle pequiv pm q {mod {4a}}}$ pak ${displaystyle left ({frac {a} {p}} ight) = left ({frac {a} {q}} ight).}$

To lze prokázat pomocí Gaussovo lema.

Kvadratická vzájemnost (Gauss; Čtvrtý důkaz).^[22] Nechat A, b, C, ... být nerovná kladná lichá prvočísla, jejichž součin je na nechte m být jejich počet that 3 (mod 4); Zkontrolujte, zda n/A je zbytek A, zda n/b je zbytek b, .... Počet nalezených nerezidentů bude, i když m ≡ 0, 1 (mod 4), a bude zvláštní, pokud m ≡ 2, 3 (mod 4).

Gaussův čtvrtý důkaz spočívá v prokázání této věty (porovnáním dvou vzorců pro hodnotu Gaussových součtů) a jejím omezením na dvě prvočísla. Poté uvádí příklad: Let A = 3, b = 5, C = 7 a d = 11. Tři z nich, 3, 7 a 11 ≡ 3 (mod 4), takže m ≡ 3 (mod 4). 5 × 7 × 11 R 3; 3 × 7 × 11 R 5; 3 × 5 × 11 R 7; a 3 × 5 × 7 N 11, takže existuje lichý počet nereziduí.

Eisensteinova formulace kvadratické vzájemnosti.^[23] Převzít

${displaystyle peq q, quad p'eq q ', quad pequiv p' {mod {4}}, quad qequiv q '{mod {4}}.}$

Pak

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) left ({frac {q} {p}} ight) = left ({frac {p '} {q'}} ight) left ({frac {q} '} {p'}} hned).}$

Mordellova formulace kvadratické vzájemnosti.^[24] Nechat A, b a C být celá čísla. Pro každou premiéru p, dělení abc pokud shoda

${displaystyle ax ^ {2} + od ^ {2} + cz ^ {2} ekvivalent 0 {mod {frac {4abc} ​​{p}}}}$

má netriviální řešení, pak také:

${displaystyle ax ^ {2} + od ^ {2} + cz ^ {2} ekv. 0 {mod {4abc}}.}$

Formulace funkce Zeta

Jak je uvedeno v článku o Funkce Dedekind zeta kvadratická reciprocita je ekvivalentní funkci zeta kvadratického pole, které je součinem funkce Riemann zeta a určité Dirichletovy funkce L

Jacobi symbol

The Jacobi symbol je zobecněním symbolu Legendre; hlavní rozdíl je v tom, že spodní číslo musí být kladné a liché, ale nemusí být prvočíslo. Pokud je hlavní, oba symboly souhlasí. Řídí se stejnými pravidly manipulace jako symbol Legendre. Zejména

${displaystyle {egin {aligned} left ({frac {-1} {n}} ight) = (- 1) ^ {frac {n-1} {2}} & = {egin {cases} 1 & nequiv 1 {mod { 4}} - 1 & nequiv 3 {mod {4}} end {cases}} left ({frac {2} {n}} ight) = (- 1) ^ {frac {n ^ {2} -1} { 8}} & = {egin {cases} 1 & nequiv 1,7 {mod {8}} - 1 & nequiv 3,5 {mod {8}} end {cases}} end {aligned}}}$

a pokud jsou obě čísla kladná a lichá (někdy se tomu říká „Jacobiho zákon vzájemnosti“):

${displaystyle left ({frac {m} {n}} ight) = (- 1) ^ {frac {(m-1) (n-1)} {4}} vlevo ({frac {n} {m}} v noci).}$

Pokud je však symbol Jacobiho 1, ale jmenovatel není prvočíslo, nemusí to nutně znamenat, že čitatel je kvadratickým zbytkem jmenovatele. Gaussovy případy 9) - 14) výše lze vyjádřit pomocí Jacobiho symbolů:

${displaystyle left ({frac {M} {p}} ight) = (- 1) ^ {frac {(p-1) (M-1)} {4}} vlevo ({frac {p} {M}} v noci),}$

a od té doby p je prime, levá strana je symbolem legendy a my víme, zda M je zbytek modulo p nebo ne.

Vzorce uvedené v předchozí části platí pro Jacobiho symboly, pokud jsou symboly definovány. Eulerův vzorec může být napsán

${displaystyle left ({frac {a} {m}} ight) = left ({frac {a} {mpm 4an}} ight), qquad nin mathbb {Z}, mpm 4an> 0.}$

Příklad.

${displaystyle left ({frac {2} {7}} ight) = left ({frac {2} {15}} ight) = left ({frac {2} {23}} ight) = left ({frac {2} } {31}} ight) = cdots = 1.}$

2 je zbytek modulo prvočísel 7, 23 a 31:

${displaystyle 3 ^ {2} equiv 2 {mod {7}}, quad 5 ^ {2} equiv 2 {mod {23}}, quad 8 ^ {2} equiv 2 {mod {31}}.}$

Ale 2 není kvadratický zbytek modulo 5, takže to nemůže být jeden modulo 15. To souvisí s problémem, který měl Legendre: pokud ${displaystyle left ({frac {a} {m}} ight) = - 1,}$ pak A je non-zbytek modulo každý prime v aritmetickém postupu m + 4A, m + 8A, ..., pokud tam jsou jsou jakákoli prvočísla v této sérii, ale to se ukázalo až desetiletí po Legendrovi.^[25]

Eisensteinův vzorec vyžaduje podmínky relativní primality (které jsou pravdivé, pokud jsou čísla prvočísla)

Nechat ${displaystyle a, b, a ', b'}$ být kladná lichá celá čísla tak, aby:

${displaystyle {egin {aligned} gcd & (a, b) = gcd (a ', b') = 1 & aequiv a '{mod {4}} & bequiv b' {mod {4}} konec {aligned}} }$

Pak

${displaystyle left ({frac {a} {b}} ight) left ({frac {b} {a}} ight) = left ({frac {a '} {b'}} ight) left ({frac {b '} {a'}} hned).}$

Hilbertův symbol

Zákon kvadratické vzájemnosti lze formulovat z hlediska Hilbertův symbol ${displaystyle (a, b) _ {v}}$ kde A a b jsou libovolná dvě nenulová racionální čísla a proti běží přes všechny netriviální absolutní hodnoty racionálů (archimédův a p-adické absolutní hodnoty pro prvočísla p). Symbol Hilberta ${displaystyle (a, b) _ {v}}$ je 1 nebo -1. Je definován jako 1 právě tehdy, když je to rovnice ${displaystyle ax ^ {2} + od ^ {2} = z ^ {2}}$ má řešení v dokončení racionálních v proti jiný než ${displaystyle x = y = z = 0}$. Hilbertův zákon o vzájemnosti to říká ${displaystyle (a, b) _ {v}}$, pro pevné A a b a různé proti, je 1 pro všechny, ale konečně mnoho proti a produkt ${displaystyle (a, b) _ {v}}$ nade vše proti je 1. (Toto se formálně podobá zbytkové větě z komplexní analýzy.)

Důkaz Hilbertovy vzájemnosti se omezuje na kontrolu několika zvláštních případů a netriviální případy se ukázaly být rovnocenné s hlavním zákonem a dvěma doplňkovými zákony kvadratické vzájemnosti pro symbol Legendre. V Hilbertově zákonu o vzájemnosti neexistuje žádný druh vzájemnosti; jeho název jednoduše označuje historický zdroj výsledku v kvadratické vzájemnosti. Na rozdíl od kvadratické vzájemnosti, která vyžaduje znakové podmínky (zejména pozitivitu zúčastněných prvočísel) a speciální zacházení s prvočíslem 2, Hilbertův zákon o vzájemnosti zachází se všemi absolutními hodnotami racionálních rovností. Jde tedy o přirozenější způsob vyjádření kvadratické reciprocity s ohledem na generalizaci: Hilbertův zákon o vzájemnosti se rozšiřuje s velmi malými změnami na všechny globální pole a toto rozšíření lze právem považovat za zobecnění kvadratické reciprocity ke všem globálním polím.

Spojení s cyklotomickými poli

Rané důkazy o kvadratické vzájemnosti jsou relativně neosvětlující. Situace se změnila, když Gauss použil Gaussovy částky ukázat to kvadratická pole jsou podpole z cyklotomická pole a implicitně odvodil kvadratickou reciprocitu z věty o reciprocitě pro cyklotomická pole. Jeho důkaz vrhli v moderní podobě pozdější teoretici algebraických čísel. Tento důkaz sloužil jako šablona pro teorie pole, což lze chápat jako obrovské zobecnění kvadratické vzájemnosti.

Robert Langlands formuloval Langlandsův program, což dává dohadně rozsáhlé zobecnění teorie třídního pole. Napsal:^[26]

Přiznám se, že jako student, který si neuvědomuje historii předmětu a neví o souvislosti s cyklotomií, mi zákon ani jeho takzvané elementární důkazy nepřipadaly lákavé. Předpokládám, že i když bych se takto vyjádřit (a ani nemohl) vyjádřit, že to vidím jen jako něco víc než jen matematickou kuriozitu, hodí se spíše pro amatéry než pro pozornost vážného matematika, kterým jsem pak doufal, že se stane. Bylo to pouze v knize Hermanna Weyla o algebraické teorii čísel^[27] že jsem to ocenil jako něco víc.

Ostatní prsteny

Také existují kvadratické zákony o vzájemnosti prsteny jiná než celá čísla.

Gaussova celá čísla

Ve své druhé monografii o kvartální vzájemnost^[28] Gauss uvedl pro prsten kvadratickou vzájemnost ${displaystyle mathbb {Z} [i]}$ z Gaussova celá čísla s tím, že jde o důsledek dvojkvadratický zákon v ${displaystyle mathbb {Z} [i],}$ ale neposkytl důkaz ani jedné věty. Dirichlet^[29] ukázal, že zákon v ${displaystyle mathbb {Z} [i]}$ lze odvodit ze zákona pro ${displaystyle mathbb {Z}}$ bez použití kvartální vzájemnosti.

Pro zvláštní Gaussian prime ${displaystyle pi}$ a Gaussovo celé číslo ${displaystyle alpha}$ relativně prime to ${displaystyle pi,}$ definovat kvadratický znak pro ${displaystyle mathbb {Z} [i]}$ podle:

${displaystyle left [{frac {alpha} {pi}} ight] _ {2} equiv alpha ^ {frac {mathrm {N} pi -1} {2}} {mod {pi}} = {egin {cases} 1 a existuje eta v mathbb {Z} [i]: alpha equiv eta ^ {2} {mod {pi}} - 1 a {ext {jinak}} konec {případů}}}$

Nechat ${displaystyle lambda = a + bi, mu = c + di}$ být zřetelné Gaussian připraví kde A a C jsou liché a b a d jsou sudé. Pak^[30]

${displaystyle left [{frac {lambda} {mu}} ight] _ {2} = left [{frac {mu} {lambda}} ight] _ {2}, qquad left [{frac {i} {lambda}} ight] _ {2} = (- 1) ^ {frac {b} {2}}, qquad left [{frac {1 + i} {lambda}} ight] _ {2} = left ({frac {2} {a + b}} hned).}$

Eisensteinova celá čísla

Zvažte následující třetí kořen jednoty:

${displaystyle omega = {frac {-1+ {sqrt {-3}}} {2}} = e ^ {frac {2pi imath} {3}}.}$

Kruh Eisensteinových celých čísel je ${displaystyle mathbb {Z} [omega].}$^[31] Pro Ejzenštejnský prime ${displaystyle pi, mathrm {N} pi eq 3,}$ a Eisensteinovo celé číslo ${displaystyle alpha}$ s ${displaystyle gcd (alpha, pi) = 1,}$ definovat kvadratický znak pro ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$ podle vzorce

${displaystyle left [{frac {alpha} {pi}} ight] _ {2} equiv alpha ^ {frac {mathrm {N} pi -1} {2}} {mod {pi}} = {egin {cases} 1 a existuje eta v mathbb {Z} [omega]: alfa ekvivalet eta ^ {2} {mod {pi}} - 1 a {ext {jinak}} konec {případů}}}$