Asymptotická analýza - Asymptotic analysis

v matematická analýza, asymptotická analýza, také známý jako asymptotika, je metoda popisu omezující chování.

Pro ilustraci předpokládejme, že nás zajímají vlastnosti funkce F(n) tak jako n se stává velmi velkým. Li F(n) = n² + 3n, pak jako n termín je velmi velký 3n ve srovnání s n². Funkce F(n) se říká, že „asymptoticky ekvivalentní na n², tak jako n → ∞Toto je často psáno symbolicky jako F(n) ~ n², který se čte jako „F(n) je asymptotický vůči n²".

Příkladem důležitého asymptotického výsledku je věta o prvočísle. Nechat π (X) označit funkce počítání prvočísel (což přímo nesouvisí s konstantou pi ), tj. π (X) je počet prvočísla které jsou menší nebo rovny X. Věta to pak uvádí

${ displaystyle pi (x) sim { frac {x} { ln x}}.}$

Definice

Formálně dané funkce F(X) a G(X), definujeme binární vztah

${ displaystyle f (x) sim g (x) quad ({ text {as}} x do infty)}$

kdyby a jen kdyby (de Bruijn 1981, §1.4)

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {f (x)} {g (x)}} = 1.}$

Symbol ~ je vlkodlak. Vztah je vztah ekvivalence o souboru funkcí X; funkce F a G se říká, že jsou asymptoticky ekvivalentní. The doména z F a G může být libovolná množina, pro kterou je limit definován: např. reálná čísla, komplexní čísla, kladná celá čísla.

Stejná notace se používá i pro jiné způsoby přechodu na limit: např. X → 0, X ↓ 0, |X| → 0. Způsob přechodu k limitu často není výslovně uveden, pokud je to zřejmé z kontextu.

Ačkoli je výše uvedená definice v literatuře běžná, je problematické, pokud G(X) je nula nekonečně často jako X přejde na mezní hodnotu. Z tohoto důvodu někteří autoři používají alternativní definici. Alternativní definice v malý-o zápis, je to F ~ G kdyby a jen kdyby

${ displaystyle f (x) = g (x) (1 + o (x)).}$

Tato definice je ekvivalentní předchozí definici, pokud G(X) v některých není nula sousedství mezní hodnoty.^[1][2]

Vlastnosti

Li ${ displaystyle f sim g}$ a ${ displaystyle a sim b}$, pak za určitých mírných podmínek platí následující.

• ${ displaystyle f ^ {r} sim g ^ {r}}$, pro každý skutečný r
• ${ Displaystyle log (f) sim log (g)}$
• ${ displaystyle f times a sim g times b}$
• ${ Displaystyle f / a sim g / b}$

Takové vlastnosti umožňují libovolnou výměnu asymptoticky ekvivalentních funkcí v mnoha algebraických výrazech.

Příklady asymptotických vzorců

• Faktoriální

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} vlevo ({ frac {n} {e}} vpravo) ^ {n}}$

-tohle je Stirlingova aproximace

• Funkce oddílu

Pro kladné celé číslo n, funkce oddílu, str(n), udává počet způsobů zápisu celého čísla n jako součet kladných celých čísel, kde se pořadí sčítání neuvažuje.

${ displaystyle p (n) sim { frac {1} {4n { sqrt {3}}}} e ^ { pi { sqrt { frac {2n} {3}}}}}$

• Vzdušná funkce

Funkce Airy, Ai (X), je řešení diferenciální rovnicey '' − xy = 0; má mnoho aplikací ve fyzice.

${ displaystyle operatorname {Ai} (x) sim { frac {e ^ {- { frac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}}}} {2 { sqrt { pi}} x ^ {1/4}}}}$

• Hankel funkce

${ displaystyle { begin {sladěno} H _ { alpha} ^ {(1)} (z) & sim { sqrt { frac {2} { pi z}}} e ^ {i left (z - { frac {2 pi alpha - pi} {4}} right)} H _ { alpha} ^ {(2)} (z) & sim { sqrt { frac {2} { pi z}}} e ^ {- i vlevo (z - { frac {2 pi alfa - pi} {4}} vpravo)} end {zarovnáno}}}$

Konstrukce

Všeobecné

Zvážit:

${ displaystyle h (x) = f (x) (1-F (x)) + g (x) F (x)}$

kde ${ displaystyle f (x)}$ a ${ displaystyle g (x)}$ mají skutečnou hodnotu analytické funkce, a ${ displaystyle F (x)}$ je Funkce kumulativní distribuce.

Pak ${ displaystyle h (x)}$ je asymptotický vůči ${ displaystyle f (x)}$ tak jako ${ displaystyle x to (- infty)}$ a asymptotické ${ displaystyle g (x)}$ tak jako ${ displaystyle x to (+ infty)}$.

Asymptotické ke dvěma různým polynomům

Předpokládejme, že chceme funkci se skutečnou hodnotou, která je asymptotická ${ displaystyle (a_ {0} + a_ {1} x)}$ tak jako ${ displaystyle x to (- infty)}$ a je asymptotický ${ displaystyle (b_ {0} + b_ {1} x)}$ tak jako ${ displaystyle x to (+ infty)}$. Pak

${ displaystyle h (x) = (a_ {0} + a_ {1} x) (1-F (x)) + (b_ {0} + b_ {1} x) F (x)}$

udělá to.

Asymptotická expanze

An asymptotická expanze funkce F(X) je v praxi výrazem této funkce ve smyslu a série, částečné částky z nichž nemusí nutně konvergovat, ale takové, že přijetí libovolného počátečního dílčího součtu poskytuje asymptotický vzorec pro F. Myšlenka je, že následující pojmy poskytují stále přesnější popis pořadí růstu F.

V symbolech to znamená, že máme ${ displaystyle f sim g_ {1},}$ ale také ${ displaystyle f-g_ {1} sim g_ {2}}$ a ${ displaystyle f-g_ {1} - cdots -g_ {k-1} sim g_ {k}}$ pro každou pevnou k. S ohledem na definici ${ displaystyle sim}$ symbol, poslední rovnice znamená ${ displaystyle f- (g_ {1} + cdots + g_ {k}) = o (g_ {k})}$ v malý o zápis, tj., ${ displaystyle f- (g_ {1} + cdots + g_ {k})}$ je mnohem menší než ${ displaystyle g_ {k}.}$

Vztah ${ displaystyle f-g_ {1} - cdots -g_ {k-1} sim g_ {k}}$ má svůj plný význam, pokud ${ displaystyle g_ {k + 1} = o (g_ {k})}$ pro všechny k, což znamená ${ displaystyle g_ {k}}$ pro muže asymptotická stupnice. V takovém případě mohou někteří autoři urážlivě psát si ${ displaystyle f sim g_ {1} + cdots + g_ {k}}$ označit prohlášení ${ displaystyle f- (g_ {1} + cdots + g_ {k}) = o (g_ {k}).}$ Je však třeba dávat pozor, aby se nejednalo o standardní použití ${ displaystyle sim}$ symbol a neodpovídá definici uvedené v § Definice.

V současné situaci tento vztah ${ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1})}$ ve skutečnosti vyplývá z kombinování kroků k a k-1; odečtením ${ displaystyle f-g_ {1} - cdots -g_ {k-2} = g_ {k-1} + o (g_ {k-1})}$ z ${ displaystyle f-g_ {1} - cdots -g_ {k-2} -g_ {k-1} = g_ {k} + o (g_ {k}),}$ jeden dostane ${ displaystyle g_ {k} + o (g_ {k}) = o (g_ {k-1}),}$ tj. ${ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1}).}$

V případě, že asymptotická expanze nekonverguje, pro jakoukoli konkrétní hodnotu argumentu bude existovat konkrétní částečný součet, který poskytuje nejlepší aproximaci a přidání dalších členů sníží přesnost. Tento optimální dílčí součet bude mít obvykle více výrazů, protože argument se blíží mezní hodnotě.

Příklady asymptotických expanzí

• Funkce gama

${ displaystyle { frac {e ^ {x}} {x ^ {x} { sqrt {2 pi x}}}} gama (x + 1) sim 1 + { frac {1} {12x }} + { frac {1} {288x ^ {2}}} - { frac {139} {51840x ^ {3}}} - cdots (x to infty)}$

• Exponenciální integrál

${ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) sim sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n }}} (x do infty)}$

• Chybová funkce

${ displaystyle { sqrt { pi}} xe ^ {x ^ {2}} { rm {erfc}} (x) sim 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {n! (2x ^ {2}) ^ {n}}} (x to infty)}$

kde (2n − 1)!! je dvojitý faktoriál.

Pracoval příklad

Asymptotické expanze se často vyskytují, když je obyčejná řada použita ve formálním výrazu, který nutí přijímat hodnoty mimo její doménu konvergence. Například bychom mohli začít s obyčejnou sérií

${ displaystyle { frac {1} {1-w}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} w ^ {n}}$

Výraz vlevo je platný v celé komplexní rovině ${ displaystyle w neq 1}$, zatímco pravá strana konverguje pouze pro ${ displaystyle | w | <1}$. Vynásobením ${ displaystyle e ^ {- w / t}}$ a integrace výnosů obou stran

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- { frac {w} {t}}}} {1-w}} , dw = sum _ {n = 0} ^ { infty} t ^ {n + 1} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- u} u ^ {n} , du}$

Integrál na levé straně lze vyjádřit pomocí exponenciální integrál. Integrál na pravé straně, po střídání ${ displaystyle u = w / t}$, může být uznána jako funkce gama. Vyhodnocením obou získáme asymptotickou expanzi

${ displaystyle e ^ {- { frac {1} {t}}} operatorname {Ei} left ({ frac {1} {t}} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} n! ; t ^ {n + 1}}$

Pravá strana zde zjevně není konvergentní pro jakoukoli nenulovou hodnotu t. Udržováním t malé a zkrácení řady napravo od konečného počtu členů, lze získat docela dobrou aproximaci hodnoty ${ displaystyle operatorname {Ei} (1 / t)}$. Střídání ${ displaystyle x = -1 / t}$ a všímat si toho ${ displaystyle operatorname {Ei} (x) = - E_ {1} (- x)}$ vede k asymptotické expanzi uvedené dříve v tomto článku.

Asymptotická distribuce

v matematická statistika, an asymptotická distribuce je hypotetická distribuce, která je v jistém smyslu „omezující“ distribucí posloupnosti distribucí. Distribuce je uspořádaná sada náhodných proměnných Z_i pro i = 1, ..., n, pro nějaké kladné celé číslo n. Asymptotická distribuce umožňuje i pohybovat se bez vazby, to znamená, n je nekonečný.

Zvláštním případem asymptotické distribuce je situace, kdy pozdní záznamy klesnou na nulu - tj Z_i přejděte na 0 jako i jde do nekonečna. Některé případy „asymptotické distribuce“ se týkají pouze tohoto zvláštního případu.

Toto je založeno na pojmu asymptotické funkce, která se čistě blíží konstantní hodnotě ( asymptota) jako nezávislá proměnná přechází do nekonečna; „čistý“ v tomto smyslu znamená, že pro libovolnou požadovanou blízkost epsilon existuje určitá hodnota nezávislé proměnné, po které se funkce nikdy neliší od konstanty o více než epsilon.

An asymptota je přímka, ke které se křivka přibližuje, ale nikdy se nesetká nebo nepřekročí. Neformálně lze hovořit o křivce splňující asymptotu „v nekonečnu“, i když to není přesná definice. V rovnici ${ displaystyle y = { frac {1} {x}},}$ y se stává libovolně malou velikostí jako X zvyšuje.

Aplikace

Asymptotická analýza se používá u několika matematické vědy. v statistika, asymptotická teorie poskytuje omezující aproximace rozdělení pravděpodobnosti z ukázkové statistiky, tak jako míra pravděpodobnosti statistický a očekávaná hodnota z deviace. Asymptotická teorie však neposkytuje metodu hodnocení distribuce konečných vzorků statistik vzorků. Neasymptotické hranice jsou poskytovány metodami teorie aproximace.

Příklady aplikací jsou následující.

• v aplikovaná matematika, k sestavení se používá asymptotická analýza numerické metody přiblížit rovnice řešení.
• v matematická statistika a teorie pravděpodobnosti, asymptotika se používají při analýze dlouhodobého nebo velkoplošného chování náhodných proměnných a odhadů.
• v počítačová věda v analýza algoritmů, vzhledem k výkonu algoritmů.
• chování fyzické systémy, příklad statistická mechanika.
• v analýza nehod při identifikaci příčin havárie prostřednictvím modelování počtu s velkým počtem počtů havárií v daném čase a prostoru.

Asymptotická analýza je klíčovým nástrojem pro zkoumání obyčejný a částečný diferenciální rovnice, které vznikají v matematické modelování skutečných jevů.^[3] Názorným příkladem je odvození rovnice mezní vrstvy z plného Navier-Stokesovy rovnice řídící tok kapaliny. V mnoha případech je asymptotická expanze v moci malého parametru, ε: v případě mezní vrstvy je to nedimenzionální poměr tloušťky mezní vrstvy k typické délce měřítka problému. Ve skutečnosti aplikace asymptotické analýzy v matematickém modelování často^[3] soustředit se na nedimenzionální parametr, u kterého se ukázalo nebo se předpokládalo, že je malý díky zvážení rozsahu daného problému.

Asymptotické expanze typicky vznikají při aproximaci určitých integrálů (Laplaceova metoda, metoda sedlového bodu, metoda nejstrmějšího klesání ) nebo v aproximaci rozdělení pravděpodobnosti (Série Edgeworth ). The Feynmanovy grafy v kvantová teorie pole jsou dalším příkladem asymptotických expanzí, které se často nesbližují.

Viz také

Poznámky

Reference

• Balser, W. (1994), Od divergentní výkonové řady po analytické funkce, Springer-Verlag, ISBN  9783540485940
• de Bruijn, N. G. (1981), Asymptotické metody v analýze, Dover Publications, ISBN  9780486642215
• Estrada, R .; Kanwal, R. P. (2002), Distribuční přístup k asymptotice, Birkhäuser, ISBN  9780817681302
• Miller, P. D. (2006), Aplikovaná asymptotická analýza, Americká matematická společnost, ISBN  9780821840788
• Murray, J. D. (1984), Asymptotická analýza Springer, ISBN  9781461211228
• Paris, R. B .; Kaminsky, D. (2001), Asymptotika a Mellin-Barnesovy integrály, Cambridge University Press

externí odkazy

• Asymptotická analýza — Domovská stránka časopisu, kterou publikuje IOS Press
• Článek o analýze časových řad pomocí asymptotické distribuce