Von Mangoldtova funkce - Von Mangoldt function

v matematika, von Mangoldtova funkce je aritmetická funkce pojmenoval podle Němec matematik Hans von Mangoldt. Je to příklad důležité aritmetické funkce, která není ani jedna multiplikativní ani přísada.

Definice

Funkce von Mangoldt, označená Λ (n), je definován jako

${ displaystyle Lambda (n) = { begin {cases} log p & { text {if}} n = p ^ {k} { text {pro některé hlavní}} p { text {a celé číslo}} k geq 1, 0 a { text {jinak.}} end {případy}}}$

Hodnoty Λ (n) pro prvních devět kladných celých čísel (tj. přirozená čísla) jsou

${ displaystyle 0, log 2, log 3, log 2, log 5,0, log 7, log 2, log 3,}$

který souvisí s (sekvence A014963 v OEIS ).

The souhrnná von Mangoldtova funkce, ψ(X), známý také jako druhý Čebyševova funkce, je definován jako

${ displaystyle psi (x) = součet _ {n leq x} lambda (n).}$

Von Mangoldt poskytl přísný důkaz výslovného vzorce pro ψ(X) zahrnující součet přes netriviální nuly Funkce Riemann zeta. To byla důležitá součást prvního důkazu o věta o prvočísle.

Vlastnosti

Funkce von Mangoldt uspokojuje identitu^[1][2]

${ displaystyle log (n) = součet _ {d mid n} lambda (d).}$

Součet je převzat za všechny celá čísla d že rozdělit n. To dokazuje základní teorém aritmetiky, protože výrazy, které nejsou pravomoci prvočísel, jsou stejné 0. Zvažte například případ n = 12 = 2² × 3. Pak

${ displaystyle { begin {zarovnáno} součet _ {d mid 12} lambda (d) & = lambda (1) + lambda (2) + lambda (3) + lambda (4) + Lambda (6) + Lambda (12) & = Lambda (1) + Lambda (2) + Lambda (3) + Lambda vlevo (2 ^ {2} vpravo) + Lambda (2 krát 3) + Lambda vlevo (2 ^ {2} krát 3 vpravo) & = 0+ log (2) + log (3) + log (2) + 0 + 0 & = log (2 krát 3 krát 2) & = log (12). end {zarovnáno}}}$

Podle Möbiova inverze, my máme^[2][3][4]

${ displaystyle Lambda (n) = - součet _ {d mid n} mu (d) log (d) .}$

Dirichletova řada

Funkce von Mangoldtova hraje důležitou roli v teorii Dirichletova řada, a zejména, Funkce Riemann zeta. Například jeden má

${ displaystyle log zeta (s) = součet _ {n = 2} ^ { infty} { frac { Lambda (n)} { log (n)}} , { frac {1} {n ^ {s}}}, qquad { text {Re}} (s)> 1.}$

The logaritmická derivace je tedy^[5]

${ displaystyle { frac { zeta ^ { prime} (s)} { zeta (s)}} = - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { Lambda (n) } {n ^ {s}}}.}$

Jedná se o speciální případy obecnějšího vztahu na Dirichletově sérii. Pokud ano

${ displaystyle F (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {f (n)} {n ^ {s}}}}$

pro zcela multiplikativní funkce  F (n)a řada konverguje pro Re(s)> σ₀, pak

${ displaystyle { frac {F ^ { prime} (s)} {F (s)}} = - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {f (n) Lambda ( n)} {n ^ {s}}}}$

konverguje pro Re(s)> σ₀.

Čebyševova funkce

Druhý Čebyševova funkce ψ(X) je součtová funkce funkce von Mangoldt:^[6]

${ displaystyle psi (x) = součet _ {p ^ {k} leq x} log p = součet _ {n leq x} lambda (n) .}$

The Mellinova transformace funkce Čebyševova lze najít použitím Perronův vzorec:

${ displaystyle { frac { zeta ^ { prime} (s)} { zeta (s)}} = - s int _ {1} ^ { infty} { frac { psi (x)} {x ^ {s + 1}}} , dx}$

který platí pro Re(s) > 1.

Exponenciální řada

Hardy a Littlewood zkoumal sérii^[7]

${ displaystyle F (y) = součet _ {n = 2} ^ { infty} left ( Lambda (n) -1 right) e ^ {- ny}}$

v limitu y → 0⁺. Za předpokladu, že Riemannova hypotéza, prokazují to

${ displaystyle F (y) = O left ({ frac {1} { sqrt {y}}} right) quad { text {and}} quad F (y) = Omega _ { pm} left ({ frac {1} { sqrt {y}}} right)}$

Zejména tato funkce je oscilační s odlišnými oscilace: existuje hodnota K. > 0 takové, že obě nerovnosti

${ displaystyle F (y) <- { frac {K} { sqrt {y}}}, quad { text {a}} quad F (z)> { frac {K} { sqrt { z}}}}$

držet nekonečně často v libovolném sousedství 0. Grafika vpravo naznačuje, že toto chování není zpočátku numericky zřejmé: oscilace nejsou jasně viditelné, dokud řada nesčítá více než 100 milionů výrazů, a jsou snadno viditelné, pouze když y < 10⁻⁵.

Riesz znamená

The Riesz znamená funkce von Mangoldt je dána vztahem

${ displaystyle { begin {zarovnáno} součet _ {n leq lambda} left (1 - { frac {n} { lambda}} right) ^ { delta} Lambda (n) & = - { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} { frac { Gamma (1+ delta) Gamma (s)} { Gama (1+ delta + s)}} { frac { zeta ^ { prime} (s)} { zeta (s)}} lambda ^ {s} ds & = { frac { lambda} {1+ delta}} + sum _ { rho} { frac { Gamma (1+ delta) Gamma ( rho)} { Gamma (1+ delta + rho)}} + sum _ {n} c_ {n} lambda ^ {- n}. end {zarovnáno}}}$

Tady, λ a δ jsou čísla charakterizující Rieszův průměr. Jeden musí vzít C > 1. Součet přes ρ je součet za nuly Riemannovy zeta funkce a

${ displaystyle sum _ {n} c_ {n} lambda ^ {- n} ,}$

lze ukázat jako konvergentní řadu pro λ > 1.

Aproximace podle Riemanna zeta nul

První Riemannova zeta nulová vlna v součtu, který se blíží von Mangoldtově funkci

Skutečná část součtu nad nulami nula:

${ displaystyle - sum _ {i = 1} ^ { infty} n ^ { rho (i)}}$, kde ρ(i) je i-tá zeta nula, vrcholy v prvočíslech, jak je vidět na sousedním grafu, a lze je také ověřit numerickým výpočtem. Nezahrnuje funkci Von Mangoldt.^[8]

Fourierova transformace von Mangoldtovy funkce dává spektrum s imaginárními částmi Riemannova zeta nul jako hroty na X-osové souřadnice (vpravo), zatímco funkci von Mangoldt lze aproximovat nulovými vlnami zeta (vlevo)

Fourierova transformace von Mangoldtovy funkce dává spektrum s hroty na souřadnicích rovných imaginárním částem nul Riemannovy zeta funkce. Tomu se někdy říká dualita.

Viz také

• Funkce počítání Prime

Reference

• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H. (eds.). Úvod do teorie čísel (6. vydání). Oxford: Oxford University Press. ISBN  978-0-19-921985-8. PAN  2445243. Zbl  1159.11001.

• Tenebaum, Gérald (1995). Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel. Cambridge studia pokročilé matematiky. 46. Přeložil C.B. Thomas. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.

externí odkazy

• Allan Gut, Několik poznámek k distribuci Riemann zeta (2005)
• S.A. Stepanov (2001) [1994], "Mangoldtova funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Chris King, Připravuje ze vzduchu (2010)
• Heike, Jak vykresluje Riemann zeta nulové spektrum v Mathematice? (2012)