Harmonické číslo - Harmonic number

Harmonické číslo ${ displaystyle H_ {n}}$ s ${ displaystyle n = lfloor x rfloor}$ (červená čára) s jeho asymptotickým limitem ${ displaystyle gamma + ln (x)}$ (modrá čára) kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta.

v matematika, n-th harmonické číslo je součet reciproční první n přirozená čísla:

${ displaystyle H_ {n} = 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + cdots + { frac {1} {n}} = součet _ { k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}}.}$

Harmonická čísla se vztahují k harmonický průměr v tom n-té harmonické číslo je také n krát převrácená hodnota harmonického průměru první n kladná celá čísla.

Harmonická čísla byla studována od starověku a jsou důležitá v různých odvětvích teorie čísel. Někdy se jim říká volně harmonická řada, úzce souvisí s Funkce Riemann zeta, a objevují se ve výrazech různých speciální funkce.

Harmonická čísla se zhruba přibližují funkce přirozeného logaritmu^[1]:143 a tedy související harmonická řada roste bez omezení, i když pomalu. V roce 1737 Leonhard Euler použil divergence harmonické řady poskytnout nový důkaz o nekonečno prvočísel. Jeho práce byla rozšířena do složité letadlo podle Bernhard Riemann v roce 1859, vedoucí přímo k oslavovaným Riemannova hypotéza o rozdělení prvočísel.

Když má hodnota velkého množství položek a Zipfův zákon distribuce, celková hodnota n nejcennější předměty jsou úměrné n-té harmonické číslo. To vede k řadě překvapivých závěrů týkajících se dlouhý ocas a teorie síťové hodnoty.

Bertrandův postulát to znamená, s výjimkou případu n = 1, harmonická čísla nikdy nejsou celá čísla.^[2]

Totožnosti zahrnující harmonická čísla

Podle definice harmonická čísla splňují relace opakování

${ displaystyle H_ {n + 1} = H_ {n} + { frac {1} {n + 1}}.}$

Harmonická čísla jsou připojena k Stirlingova čísla prvního druhu vztahem

${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {n!}} vlevo [{n + 1 na vrcholu 2} vpravo].}$

Funkce

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {x ^ {n}} {n!}} ( log x-H_ {n})}$

uspokojit majetek

${ displaystyle f_ {n} '(x) = f_ {n-1} (x).}$

Zejména

${ displaystyle f_ {1} (x) = x ( log x-1)}$

je integrál logaritmické funkce.

Harmonická čísla uspokojují identitu řady

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} = (n + 1) H_ {n} -n.}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} ^ {2} = (n + 1) H_ {n} ^ {2} - (2n + 1) H_ {n} + 2n. }$

tyto dva výsledky jsou úzce analogické s odpovídajícími integrálními výsledky

${ displaystyle int _ {0} ^ {x} log y dy = x log x-x}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {x} ( log y) ^ {2} dy = x ( log x) ^ {2} -2x log x + 2x}$

Identity zahrnující π

Existuje několik nekonečných součtů zahrnujících harmonická čísla a mocniny π:^[3]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n}} {n cdot 2 ^ {n}}} = { frac {1} {12}} pi ^ {2}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {2}} {(n + 1) ^ {2}}} = { frac {11} {360 }} pi ^ {4}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {2}} {n ^ {2}}} = { frac {17} {360}} pi ^ {4}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n}} {n ^ {3}}} = { frac {1} {72}} pi ^ {4} }$

Výpočet

Integrální vyjádření dané Euler^[4] je

${ displaystyle H_ {n} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} , dx.}$

Rovnost nahoře je jednoduchá algebraická identita

${ displaystyle { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} = 1 + x + cdots + x ^ {n-1}.}$

Použití substituce X = 1 − u, další výraz pro H_n je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} H_ {n} & = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} , dx = int _ {0} ^ {1} { frac {1- (1-u) ^ {n}} {u}} , du [6pt] & = int _ {0} ^ {1} left [ - sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} u ^ {k-1} right] , du = - sum _ { k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} int _ {0} ^ {1} u ^ {k-1} , du [6 bodů ] & = - sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { frac {1} {k}} { binom {n} {k}}. end {zarovnáno} }}$

Graf ukazující spojení mezi harmonickými čísly a přirozený logaritmus. Harmonické číslo H_n lze interpretovat jako a Riemannova suma integrálu: ${ displaystyle int _ {1} ^ {n + 1} { frac {dx} {x}} = ln (n + 1).}$

The ntoto harmonické číslo je asi tak velké jako přirozený logaritmus z n. Důvodem je, že součet je aproximován pomocí integrální

${ displaystyle int _ {1} ^ {n} { frac {1} {x}} , dx,}$

jehož hodnota je ln n.

Hodnoty sekvence H_n - Já n monotónně klesat směrem k omezit

${ displaystyle lim _ {n to infty} left (H_ {n} - ln n right) = gamma,}$

kde y ≈ 0.5772156649 je Euler – Mascheroniho konstanta. Korespondence asymptotická expanze je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} H_ {n} & sim ln {n} + gamma + { frac {1} {2n}} - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2k}} {2kn ^ {2k}}} & = ln {n} + gamma + { frac {1} {2n}} - { frac {1} {12n ^ { 2}}} + { frac {1} {120n ^ {4}}} - cdots, end {zarovnáno}}}$

kde B_k jsou Bernoulliho čísla.

Generování funkcí

A generující funkce pro harmonická čísla je

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} z ^ {n} H_ {n} = { frac {- ln (1-z)} {1-z}},}$

kde ln (z) je přirozený logaritmus. Funkce exponenciálního generování je

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} H_ {n} = - e ^ {z} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k}} { frac {(-z) ^ {k}} {k!}} = e ^ {z} operatorname {Ein} (z)}$

kde Ein (z) je celý exponenciální integrál. Všimněte si, že

${ displaystyle operatorname {Ein} (z) = mathrm {E} _ {1} (z) + gamma + ln z = gamma (0, z) + gamma + ln z}$

kde Γ (0, z) je neúplná funkce gama.

Aritmetické vlastnosti

Harmonická čísla mají několik zajímavých aritmetických vlastností. Je dobře známo, že ${ textstyle H_ {n}}$ je celé číslo kdyby a jen kdyby ${ textstyle n = 1}$, výsledek často přisuzovaný Taeisingerovi.^[5] Opravdu, pomocí 2-adic ocenění, není těžké to dokázat pro ${ textstyle n geq 2}$ čitatel ${ textstyle H_ {n}}$ je liché číslo, zatímco jmenovatel ${ textstyle H_ {n}}$ je sudé číslo. Přesněji,

${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {2 ^ { lfloor log _ {2} (n) rfloor}}} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} }$

s nějakými lichými celými čísly ${ textstyle a_ {n}}$ a ${ textstyle b_ {n}}$.

Jako důsledek Wolstenholmeova věta, pro jakékoli prvočíslo ${ displaystyle p geq 5}$ čitatel ${ displaystyle H_ {p-1}}$je dělitelné ${ textstyle p ^ {2}}$. Dále Eisenstein^[6] dokázal, že pro všechny liché prvočíslo ${ textový styl}$ drží to

${ displaystyle H _ {(p-1) / 2} equiv -2q_ {p} (2) { pmod {p}}}$

kde ${ textstyle q_ {p} (2) = (2 ^ {p-1} -1) / p}$ je Fermatův kvocient s tím důsledkem ${ textový styl}$ rozdělí čitatele ${ displaystyle H _ {(p-1) / 2}}$ kdyby a jen kdyby ${ textový styl}$ je Wieferich prime.

V roce 1991 Eswarathasan a Levine^[7] definovaný ${ displaystyle J_ {p}}$ jako množina všech kladných celých čísel ${ displaystyle n}$ tak, že čitatel ${ displaystyle H_ {n}}$ je dělitelné prvočíslem ${ displaystyle p.}$ Dokázali to

${ displaystyle {p-1, p ^ {2} -p, p ^ {2} -1 } subseteq J_ {p}}$

pro všechna prvočísla ${ displaystyle p geq 5,}$ a oni definovali harmonické prvočísla být prvočísla ${ textový styl}$ takhle ${ displaystyle J (p)}$ má přesně 3 prvky.

Eswarathasan a Levine to také předpokládali ${ displaystyle J_ {p}}$ je konečná množina pro všechna prvočísla ${ displaystyle p,}$ a že harmonických prvočísel je nekonečně mnoho. Boyd^[8] to ověřil ${ displaystyle J_ {p}}$ je konečný pro všechna prvočísla až ${ displaystyle p = 547}$ kromě 83, 127 a 397; a dal heuristiku naznačující, že hustota harmonických prvočísel v souboru všech prvočísel by měla být ${ displaystyle 1 / e}$. Sanna^[9] to ukázal ${ displaystyle J_ {p}}$ má nulu asymptotická hustota, zatímco Bing-Ling Wu a Yong-Gao Chen^[10] dokázal, že počet prvků ${ displaystyle J_ {p}}$ nepřesahující ${ displaystyle x}$ je nanejvýš ${ displaystyle 3x ^ {{ frac {2} {3}} + { frac {1} {25 log p}}}}$, pro všechny ${ displaystyle x geq 1}$.

Aplikace

Harmonická čísla se objevují v několika vzorcích výpočtu, například funkce digamma

${ displaystyle psi (n) = H_ {n-1} - gama.}$

Tento vztah se také často používá k definování rozšíření harmonických čísel na jiné než celé číslo n. Harmonická čísla se také často používají k definování y pomocí limitu zavedeného dříve:

${ displaystyle gamma = lim _ {n rightarrow infty} { left (H_ {n} - ln (n) right)},}$

Ačkoli

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { left (H_ {n} - ln left (n + { frac {1} {2}} right) right)}}$

konverguje rychleji.

V roce 2002 Jeffrey Lagarias dokázal^[11] že Riemannova hypotéza je ekvivalentní tvrzení, že

${ displaystyle sigma (n) leq H_ {n} + ( log H_ {n}) e ^ {H_ {n}},}$

platí pro každého celé číslo n ≥ 1 s přísnou nerovností, pokud n > 1; tady σ(n) označuje součet dělitelů z n.

Vlastní čísla nelokálního problému

${ displaystyle lambda varphi (x) = int _ {- 1} ^ {1} { frac { varphi (x) - varphi (y)} {| x-y |}} , dy}$

jsou dány ${ displaystyle lambda = 2H_ {n}}$, kde podle konvence ${ displaystyle H_ {0} = 0}$a odpovídající vlastní funkce jsou dány Legendární polynomy ${ displaystyle varphi (x) = P_ {n} (x)}$.^[12]

Zobecnění

Zobecněné harmonické čísla

The zobecněné harmonické číslo řádu m z n darováno

${ displaystyle H_ {n, m} = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {m}}}.}$

Mezi další občasně používané notace patří

${ displaystyle H_ {n, m} = H_ {n} ^ {(m)} = H_ {m} (n).}$

Zvláštní případ m = 0 dává ${ displaystyle H_ {n, 0} = n.}$ Zvláštní případ m = 1 se jednoduše nazývá harmonické číslo a často se píše bez m, tak jako

${ displaystyle H_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}}.}$

Limit jako n → ∞ je konečný, pokud m > 1se zobecněným harmonickým číslem ohraničeným a konvergujícím k Funkce Riemann zeta

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} H_ {n, m} = zeta (m).}$

Nejmenší přirozené číslo k takhle kⁿ nerozděluje jmenovatele zobecněného harmonického čísla H(k, n) ani jmenovatel střídavého zobecněného harmonického čísla H '(k, n) je pro n=1, 2, ... :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (sekvence A128670 v OEIS )

Související částka ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m}}$ se vyskytuje při studiu Bernoulliho čísla; harmonická čísla se objevují také ve studii Stirlingova čísla.

Některé integrály zobecněných harmonických čísel jsou

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} H_ {x, 2} , dx = a { frac { pi ^ {2}} {6}} - H_ {a}}$

a

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} H_ {x, 3} , dx = aA - { frac {1} {2}} H_ {a, 2},}$ kde A je Apéryho konstanta, tj. ζ(3).

a

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k, m} = (n + 1) H_ {n, m} -H_ {n, m-1} { text {for}} m geq 0}$

Každé zobecněné harmonické číslo řádu m lze zapsat jako funkci harmonické řádu m-1 pomocí:

${ displaystyle H_ {n, m} = součet _ {k = 1} ^ {n-1} { frac {H_ {k, m-1}} {k (k + 1)}} + { frac {H_ {n, m-1}} {n}}}$ například: ${ displaystyle H_ {4,3} = { frac {H_ {1,2}} {1 cdot 2}} + { frac {H_ {2,2}} {2 cdot 3}} + { frac {H_ {3,2}} {3 cdot 4}} + { frac {H_ {4,2}} {4}}}$

A generující funkce pro zobecněné harmonické čísla je

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} z ^ {n} H_ {n, m} = { frac { operatorname {Li} _ {m} (z)} {1-z} },}$

kde ${ displaystyle operatorname {Li} _ {m} (z)}$ je polylogaritmus, a |z| < 1. Generující funkce uvedená výše pro m = 1 je zvláštní případ tohoto vzorce.

A zlomkový argument pro zobecněná harmonická čísla lze zavést následovně:

Pro každého ${ displaystyle p, q> 0}$ celé číslo a ${ displaystyle m> 1}$ integer or not, we have from polygamma functions:

${ displaystyle H_ {q / p, m} = zeta (m) -p ^ {m} součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {(q + pk) ^ { m}}}}$

kde ${ displaystyle zeta (m)}$ je Funkce Riemann zeta. Relevantní relace opakování je:

${ displaystyle H_ {a, m} = H_ {a-1, m} + { frac {1} {a ^ {m}}}}$

Některé speciální hodnoty jsou:

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {4}}, 2} = 16-8G - { tfrac {5} {6}} pi ^ {2}}$ kde G je Katalánská konstanta

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {2}}, 2} = 4 - { tfrac { pi ^ {2}} {3}}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {3} {4}}, 2} = 8G + { tfrac {16} {9}} - { tfrac {5} {6}} pi ^ {2}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {4}}, 3} = 64-27 zeta (3) - pi ^ {3}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {2}}, 3} = 8-6 zeta (3)}$

${ displaystyle H _ {{ frac {3} {4}}, 3} = {({ tfrac {4} {3}})} ^ {3} -27 zeta (3) + pi ^ {3 }}$

Ve zvláštním případě ${ displaystyle p = 1}$, dostaneme

${ displaystyle H_ {n, m} = zeta (m, 1) - zeta (m, n + 1)}$,

kde ${ displaystyle zeta (m, n)}$ je Funkce Hurwitz zeta. Tento vztah se používá k numerickému výpočtu harmonických čísel.

Násobicí vzorce

The věta o násobení platí pro harmonická čísla. Použitím polygamma funkce, které získáme

${ displaystyle H_ {2x} = { frac {1} {2}} vlevo (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {2}}} vpravo) + ln 2}$

${ displaystyle H_ {3x} = { frac {1} {3}} vlevo (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {3}}} + H_ {x - { frac { 2} {3}}} vpravo) + ln 3,}$

nebo obecněji

${ displaystyle H_ {nx} = { frac {1} {n}} vlevo (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {n}}} + H_ {x - { frac { 2} {n}}} + cdots + H_ {x - { frac {n-1} {n}}} right) + ln n.}$

Pro zobecněné harmonické čísla máme

${ displaystyle H_ {2x, 2} = { frac {1} {2}} left ( zeta (2) + { frac {1} {2}} left (H_ {x, 2} + H_ {x - { frac {1} {2}}, 2} vpravo) vpravo)}$

${ displaystyle H_ {3x, 2} = { frac {1} {9}} vlevo (6 zeta (2) + H_ {x, 2} + H_ {x - { frac {1} {3} }, 2} + H_ {x - { frac {2} {3}}, 2} vpravo),}$

kde ${ displaystyle zeta (n)}$ je Funkce Riemann zeta.

Hyperharmonická čísla

Další zobecnění projednal J. H. Conway a R. K. Guy ve své knize z roku 1995 Kniha čísel.^[1]:258 Nechat

${ displaystyle H_ {n} ^ {(0)} = { frac {1} {n}}.}$

Pak n-tý hyperharmonické číslo řádu r (r> 0) je definován rekurzivně jako

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = součet _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} ^ {(r-1)}.}$

Zejména, ${ displaystyle H_ {n} ^ {(1)}}$ je obyčejné harmonické číslo ${ displaystyle H_ {n}}$.

Harmonická čísla pro skutečné a komplexní hodnoty

Vzorce uvedené výše,

${ displaystyle H_ {x} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-t ^ {x}} {1-t}} , dt = - součet _ {k = 1} ^ { infty} {x zvolte k} { frac {(-1) ^ {k}} {k}}}$

jsou integrálním a řadovým vyjádřením funkce, která interpoluje harmonická čísla a pomocí analytické pokračování, rozšiřuje definici na komplexní rovinu kromě záporných celých čísel X. Interpolační funkce ve skutečnosti úzce souvisí s funkce digamma

${ displaystyle H_ {x} = psi (x + 1) + gamma,}$

kde ψ(X) je digamma a y je Euler-Mascheroniho konstanta. Proces integrace může být pro získání opakován

${ displaystyle H_ {x, 2} = - součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} {x zvolit k} H_ {k }.}$

The Taylor série pro harmonická čísla je

${ displaystyle H_ {x} = součet _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} zeta (k) ; x ^ {k-1} quad { text {pro }} | x | <1}$

který pochází z Taylorovy řady pro funkci digamma.

Alternativní, asymptotická formulace

Když se snažíte přiblížitH_X pro komplexní čísloX, je efektivní nejprve spočítatH_m pro nějaké velké celé číslom. Použijte to k přiblížení hodnoty proH_m+X a poté použijte relaci rekurze H_n = H_n−1 + 1/n zpětm krát, odvíjet to na přibližnou hodnotu proH_X. Dále je tato aproximace v limitu přesná jakom jde do nekonečna.

Konkrétně pro pevné celé číslon, je tomu tak

${ displaystyle lim _ {m rightarrow infty} left [H_ {m + n} -H_ {m} right] = 0 ,,}$

Lin není celé číslo, pak nelze říci, zda je tato rovnice pravdivá, protože jsme dosud (v této části) nedefinovali harmonická čísla pro nečíselná čísla. Získáváme však jedinečné rozšíření harmonických čísel na nečíselná čísla tím, že trváme na tom, že tato rovnice bude i nadále platit, když je libovolné celé číslon je nahrazeno libovolným komplexním číslemX.

${ displaystyle lim _ {m rightarrow infty} left [H_ {m + x} -H_ {m} right] = 0 ,,}$

Zaměňte pořadí obou stran této rovnice a poté je odečtěteH_X dává

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {x} & = lim _ {m rightarrow infty} left [H_ {m} - (H_ {m + x} -H_ {x}) right] [6pt] & = lim _ {m rightarrow infty} left [ left ( sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {1} {k}} right) - left ( sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {1} {x + k}} right) right] [6pt] & = lim _ {m rightarrow infty} sum _ {k = 1} ^ {m} left ({ frac {1} {k}} - { frac {1} {x + k}} right) = x sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k (x + k)}} ,. end {zarovnáno}}}$

Tento nekonečná řada konverguje pro všechna komplexní číslaX kromě záporných celých čísel, která selžou, protože se snaží použít relaci rekurze H_n = H_n−1 + 1/n zpět přes hodnotun = 0 zahrnuje dělení nulou. Díky této konstrukci je funkce, která definuje harmonické číslo pro komplexní hodnoty, jedinečnou funkcí, která současně splňuje (1) H₀ = 0, (2) H_X = H_X−1 + 1/X pro všechna komplexní číslaX kromě celých čísel, která nejsou kladná, a (3) lim_m→+∞ (H_m+X − H_m) = 0 pro všechny komplexní hodnotyX.

Tento poslední vzorec lze použít k prokázání, že:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} H_ {x} , dx = gamma ,,}$

kdey je Euler – Mascheroniho konstanta nebo obecněji pro každéhon my máme:

${ displaystyle int _ {0} ^ {n} H_ {x} , dx = n gamma + ln {(n!)} ,.}$

Speciální hodnoty pro zlomkové argumenty

K dispozici jsou následující speciální analytické hodnoty pro zlomkové argumenty mezi 0 a 1, dané integrálem

${ displaystyle H _ { alpha} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ { alpha}} {1-x}} , dx ,.}$

Z relace opakování lze vygenerovat více hodnot

${ displaystyle H _ { alpha} = H _ { alpha -1} + { frac {1} { alpha}} ,,}$

nebo z reflexního vztahu

${ displaystyle H_ {1- alpha} -H _ { alpha} = pi cot {( pi alpha)} - { frac {1} { alpha}} + { frac {1} {1 - alpha}} ,.}$

Například:

${ displaystyle H _ { frac {1} {2}} = 2-2 ln {2}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {3}} = 3 - { tfrac { pi} {2 { sqrt {3}}}} - { tfrac {3} {2}} ln {3 }}$

${ displaystyle H _ { frac {2} {3}} = { tfrac {3} {2}} (1- ln {3}) + { sqrt {3}} { tfrac { pi} { 6}}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {4}} = 4 - { tfrac { pi} {2}} - 3 ln {2}}$

${ displaystyle H _ { frac {3} {4}} = { tfrac {4} {3}} - 3 ln {2} + { tfrac { pi} {2}}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {6}} = 6 - { tfrac { pi} {2}} { sqrt {3}} - 2 ln {2} - { tfrac {3} { 2}} ln {3}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {8}} = 8 - { tfrac { pi} {2}} - 4 ln {2} - { tfrac {1} { sqrt {2}}} left { pi + ln left (2 + { sqrt {2}} right) - ln left (2 - { sqrt {2}} right) right }}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {12}} = 12-3 left ( ln {2} + { tfrac { ln {3}} {2}} right) - pi left ( 1 + { tfrac { sqrt {3}} {2}} vpravo) +2 { sqrt {3}} ln vlevo ({ sqrt {2 - { sqrt {3}}}} vpravo )}$

Pro kladná celá čísla p a q s p < q, my máme:

${ displaystyle H _ { frac {p} {q}} = { frac {q} {p}} + 2 součet _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {q-1} {2} } rfloor} cos left ({ frac {2 pi pk} {q}} right) ln left ({ sin left ({ frac { pi k} {q}} right )} right) - { frac { pi} {2}} cot left ({ frac { pi p} {q}} right) - ln left (2q right)}$

Vztah k Riemannově zeta funkci

Některé deriváty zlomkových harmonických čísel jsou dány vztahem:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {d ^ {n} H_ {x}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} n! left [ zeta (n + 1) -H_ {x, n + 1} doprava] [6pt] { frac {d ^ {n} H_ {x, 2}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} (n + 1)! Left [ zeta (n + 2) -H_ {x, n + 2} right] [6pt] { frac {d ^ {n} H_ {x, 3}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} { frac {1} {2}} (n + 2)! Left [ zeta (n +3) -H_ {x, n + 3} vpravo]. End {zarovnáno}}}$

A pomocí Řada Maclaurin, máme pro X < 1:

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {x} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} x ^ {n} zeta (n + 1) [5pt] H_ {x, 2} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} (n + 1) x ^ {n} zeta (n +2) [5pt] H_ {x, 3} & = { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} ( n + 1) (n + 2) x ^ {n} zeta (n + 3). end {zarovnáno}}}$

Pro zlomkové argumenty mezi 0 a 1 a pro A > 1:

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {1 / a} & = { frac {1} {a}} left ( zeta (2) - { frac {1} {a}} zeta (3 ) + { frac {1} {a ^ {2}}} zeta (4) - { frac {1} {a ^ {3}}} zeta (5) + cdots right) [ 6pt] H_ {1 / a, , 2} & = { frac {1} {a}} left (2 zeta (3) - { frac {3} {a}} zeta (4) + { frac {4} {a ^ {2}}} zeta (5) - { frac {5} {a ^ {3}}} zeta (6) + cdots right) [6pt] H_ {1 / a, , 3} & = { frac {1} {2a}} left (2 cdot 3 zeta (4) - { frac {3 cdot 4} {a}} zeta (5) + { frac {4 cdot 5} {a ^ {2}}} zeta (6) - { frac {5 cdot 6} {a ^ {3}}} zeta (7) + cdots right). end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Wattersonův odhad
• Tajima's D
• Problém sběratelů kupónů
• Problém s džípy
• Funkce Riemann zeta
• Seznam součtů vzájemných

Poznámky

Reference

• Arthur T. Benjamin; Gregory O. Preston; Jennifer J. Quinn (2002). „Stirlingovo setkání s harmonickými čísly“ (PDF). Matematický časopis. 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722. doi:10.2307/3219141. JSTOR  3219141. Archivovány od originál (PDF) dne 17.06.2009. Citováno 2005-08-08.
• Donald Knuth (1997). „Oddíl 1.2.7: Harmonická čísla“. Umění počítačového programování. Hlasitost 1: Základní algoritmy (Třetí vydání.). Addison-Wesley. 75–79. ISBN  978-0-201-89683-1.
• Ed Sandifer, Jak to Euler udělal - Odhad bazilejského problému (2003)
• Paule, Peter; Schneider, Carsten (2003). „Počítačové důkazy o nové rodině harmonických číselných identit“ (PDF). Adv. Appl. Matematika. 31 (2): 359–378. doi:10.1016 / s0196-8858 (03) 00016-2.
• Wenchang Chu (2004). „Binomická koeficientová identita spojená s Beukersovou domněnkou o dosažených počtech“ (PDF). Electronic Journal of Combinatorics. 11: N15.
• Ayhan Dil; István Mező (2008). "Symetrický algoritmus pro čísla hyperharmonie a Fibonacciho". Aplikovaná matematika a výpočet. 206 (2): 942–951. arXiv:0803.4388. doi:10.1016 / j.amc.2008.10.013.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Harmonické číslo". MathWorld.

Tento článek včlení materiál od Harmonického čísla k PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.