Möbiova funkce - Möbius function

Klasický Möbiova funkce μ(n) je důležité multiplikativní funkce v teorie čísel a kombinatorika. Německý matematik August Ferdinand Möbius představil ji v roce 1832.^[i][ii][2] Jedná se o speciální případ obecnějšího objektu v kombinatorice.

Definice

Pro všechny pozitivní celé číslo n, definovat μ(n) jako součet primitivní nth kořeny jednoty. Má hodnoty v {−1, 0, 1} záleží na faktorizace z n do hlavní faktory:

• μ(n) = −1 -li n je bez čtverce kladné celé číslo s dokonce počet hlavních faktorů.
• μ(n) = −1 -li n je kladné celé číslo bez čtverců s lichým počtem prvočísel.
• μ(n) = −0 -li n má druhou mocninu.

Funkci Möbius lze alternativně vyjádřit jako

${displaystyle mu (n) = delta _ {omega (n)} ^ {Omega (n)} lambda (n)}$

kde ${displaystyle delta}$ je Kroneckerova delta, λ(n) je Funkce Liouville, ω(n) je počet zřetelných hlavních dělitelů n, a Ω (n) je počet hlavních faktorů n, počítáno s multiplicitou.

Hodnoty μ(n) pro prvních 30 kladných čísel (sekvence A008683 v OEIS ) jsou

Prvních 50 hodnot funkce je vyneseno níže:

Aplikace

Matematická řada

The Dirichletova řada že generuje Möbiova funkce je (multiplikativní) inverzní k Funkce Riemann zeta; -li s je komplexní číslo se skutečnou částí větší než 1, kterou máme

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {mu (n)} {n ^ {s}}} = {frac {1} {zeta (s)}}.}$

To je patrné z jeho Produkt Euler

${displaystyle {frac {1} {zeta (s)}} = prod _ {p {ext {prime}}} {left (1- {frac {1} {p ^ {s}}} ight)} = left ( 1- {frac {1} {2 ^ {s}}} ight) vlevo (1- {frac {1} {3 ^ {s}}} ight) vlevo (1- {frac {1} {5 ^ {s }}} ight) cdots}$

The Lambertova řada pro funkci Möbius je:

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {mu (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = q,}$

který konverguje pro |q| < 1. Pro nejlepší ${displaystyle alpha geq 2}$, také máme

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {mu (alpha n) q ^ {n}} {q ^ {n} -1}} = součet _ {ngeq 0} q ^ {alpha ^ { n}}, | q | <1.}$

Algebraická teorie čísel

Gauss^[1] dokázal, že za prvočíslo p součet jeho primitivní kořeny je shodný s μ(p - 1) (mod p).

Li F_q označuje konečné pole řádu q (kde q je nutně hlavní síla), pak číslo N monických neredukovatelných polynomů stupně n přes F_q darováno:^[3]

${displaystyle N (q, n) = {frac {1} {n}} součet _ {dmid n} mu (d) q ^ {n / d}.}$

Vlastnosti

Funkce Möbius je multiplikativní (tj. μ(ab) = μ(A) μ(b)) kdykoli A a b jsou coprime.

Součet Möbiovy funkce nad všemi kladnými děliteli n (počítaje v to n sám a 1) je nula kromě případů, kdy n = 1:

${displaystyle sum _ {dmid n} mu (d) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} n = 1, 0 & {ext {if}} n> 1.end {cases}}}$

Rovnost nahoře vede k důležitému Möbioův inverzní vzorec a je hlavním důvodem proč μ je relevantní v teorii multiplikativních a aritmetických funkcí.

Další aplikace μ(n) v kombinatorice jsou spojeny s použitím Věta o výčtu Pólya v kombinatorických skupinách a kombinatorických výčtech.

Existuje vzorec^[4] pro výpočet Möbiovy funkce bez přímé znalosti faktorizace jejího argumentu:

${displaystyle mu (n) = součet _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k ,, n) = 1}} e ^ {2pi i {frac {k} {n}}},}$

tj. μ(n) je součet primitiv n-th kořeny jednoty. (Výpočetní složitost této definice je však přinejmenším stejná jako u definice produktu Euler.)

Důkaz vzorce pro ∑_d|n μ(d)

Použitím

${displaystyle mu (n) = součet _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k ,, n) = 1}} e ^ {2pi i {frac {k} {n}}},}$

vzorec

${displaystyle sum _ {dmid n} mu (d) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} n = 1, 0 & {ext {if}} n> 1end {cases}}}$

lze chápat jako důsledek skutečnosti, že nth kořeny jednoty součet 0, protože každý nkořen jednoty je primitivní dkořen jednoty přesně pro jednoho dělitele d z n.

Tuto identitu je však také možné dokázat z prvních principů. Nejprve si všimněte, že je triviálně pravda, když n = 1. Předpokládejme tedy, že n > 1. Pak je zde bijekce mezi faktory d z n pro který μ(d) ≠ 0 a podmnožiny množiny všech hlavních faktorů n. Uvedený výsledek vyplývá ze skutečnosti, že každá neprázdná konečná množina má stejný počet podmnožin liché a sudé mohutnosti.

Tuto poslední skutečnost lze snadno ukázat indukcí na mohutnosti |S| neprázdné konečné množiny S. Nejprve, pokud |S| = 1, existuje přesně jedna podskupina lichých mohutností S, jmenovitě S a přesně jednu podmnožinu sudé mohutnosti, jmenovitě ∅. Dále, pokud |S| > 1, poté rozdělte podmnožiny S do dvou podtříd podle toho, zda obsahují nebo neobsahují nějaký pevný prvek X v S. Mezi těmito dvěma podtřídami je zjevná bijekce, která spáruje ty podmnožiny, které mají stejný doplněk vzhledem k podmnožině {X}. Jedna z těchto dvou podtříd také sestává ze všech podmnožin sady S {X}, a proto má podle indukční hypotézy stejný počet podmnožin liché a sudé mohutnosti. Tyto podmnožiny zase bijektivně odpovídají sudé a liché mohutnosti {X}-obsahující podmnožiny S. Indukční krok vyplývá přímo z těchto dvou bijekcí.

Souvisejícím výsledkem je, že binomické koeficienty vykazují střídavé vstupy liché a sudé síly, které se symetricky sčítají.

Funkce Mertens

V teorii čísel jiný aritmetická funkce s funkcí Möbius úzce souvisí Funkce Mertens, definován

${displaystyle M (n) = součet _ {k = 1} ^ {n} mu (k)}$

pro každé přirozené číslo n. Tato funkce je úzce spojena s pozicemi nul Funkce Riemann zeta. Viz článek na webu Mertensova domněnka pro více informací o spojení mezi M(n) a Riemannova hypotéza.

Ze vzorce

${displaystyle mu (n) = součet _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k ,, n) = 1}} e ^ {2pi i {frac {k} {n}}},}$

z toho vyplývá, že funkce Mertens je dána vztahem:

${displaystyle M (n) = - 1 + součet _ {ain {mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2pi ia},}$

kde F_n je Farey sekvence řádu n.

Tento vzorec se používá v dokladu o Věta Franel – Landau.^[5]

Průměrná objednávka

The průměrná objednávka funkce Möbius je nula. Toto tvrzení je ve skutečnosti ekvivalentní s věta o prvočísle.^[6]

μ(n) sekce

μ(n) = 0 kdyby a jen kdyby n je dělitelné čtvercem prvočísla. První čísla s touto vlastností jsou (sekvence A013929 v OEIS ):

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ....

Li n je tedy prime μ(n) = −1, ale obrácení není pravda. První non prime n pro který μ(n) = −1 je 30 = 2 × 3 × 5. První taková čísla se třemi odlišnými prvočísly (sférická čísla ) jsou:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (sekvence A007304 v OEIS ).

a první taková čísla s 5 odlišnými prvočísly jsou:

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... ( sekvence A046387 v OEIS ).

Zobecnění

Algebry výskytu

v kombinatorika, každý místně konečný částečně objednaná sada (poset) je přiřazeno výskytová algebra. Jedním z významných členů této algebry je posetova „Möbiova funkce“. Klasická Möbiova funkce zpracovaná v tomto článku se v podstatě rovná Möbiově funkci množiny všech kladných celých čísel částečně seřazených podle dělitelnost. Viz článek o výskyt algebry pro přesnou definici a několik příkladů těchto obecných Möbiových funkcí.

Popovicina funkce

Constantin Popovici^[7] definoval zobecněnou Möbiovu funkci μ_k = μ ∗ ... ∗ μ být k-složit Dirichletova konvoluce Möbiovy funkce sama se sebou. Jedná se tedy opět o multiplikativní funkci s

${displaystyle mu _ {k} (p ^ {a}) = (- 1) ^ {a} {iné {k} {a}}}$

kde je binomický koeficient považován za nulu, pokud A > k. Definici lze rozšířit na komplexní k čtením binomia jako polynomu v k.^[8]

Fyzika

Funkce Möbius také vzniká v primonový plyn nebo volný Riemannův plyn model supersymetrie. V této teorii mají základní částice nebo „primony“ energie log p. Pod druhá kvantizace, jsou uvažovány excitace více částic; ty jsou dány log n pro jakékoli přirozené číslo n. To vyplývá ze skutečnosti, že faktorizace přirozených čísel na prvočísla je jedinečná.

Ve volném Riemannově plynu může nastat jakékoli přirozené číslo, pokud primony jsou brány jako bosony. Pokud jsou brány jako fermiony, pak Pauliho princip vyloučení vylučuje čtverce. Operátor (−1)^F který rozlišuje fermiony a bosony, pak není nic jiného než Möbiova funkce μ(n).

Volný Riemannův plyn má řadu dalších zajímavých souvislostí s teorií čísel, včetně skutečnosti, že funkce oddílu je Funkce Riemann zeta. Tato myšlenka je základem Alain Connes pokus o důkaz Riemannova hypotéza.^[9]

Viz také

Poznámky

Citace

Zdroje

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Möbiova funkce". MathWorld.