Funkce Ramanujan tau - Ramanujan tau function

The Funkce Ramanujan tau, studoval Ramanujan  (1916 ), je funkce ${ displaystyle tau: mathbb {N} do mathbb {Z}}$ definováno následující identitou:

${ displaystyle sum _ {n geq 1} tau (n) q ^ {n} = q prod _ {n geq 1} (1-q ^ {n}) ^ {24} = eta ( z) ^ {24} = Delta (z),}$

kde ${ displaystyle q = exp (2 pi iz)}$ s ${ displaystyle Im z> 0}$ a ${ displaystyle eta}$ je Funkce Dedekind eta a funkce ${ displaystyle Delta (z)}$ je holomorfní hrotová forma o hmotnosti 12 a úrovni 1, známé jako diskriminační modulární forma. Objevuje se v souvislosti s „chybovým výrazem“ zapojeným do počítání počtu způsobů vyjádření celého čísla jako součet 24 čtverců. Vzorec kvůli Ian G. Macdonald byl uveden v Dyson (1972).

Hodnoty ${ displaystyle | tau (n) |}$ pro n <16 000 s logaritmickým měřítkem. Modrá čára vybírá pouze hodnoty n což jsou násobky 121.

Hodnoty

Prvních několik hodnot funkce tau je uvedeno v následující tabulce (sekvence A000594 v OEIS ):

${ displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
${ displaystyle tau (n)}$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Ramanujanovy dohady

Ramanujan (1916) pozoroval, ale neprokázal, následující tři vlastnosti ${ displaystyle tau (n)}$:

• ${ displaystyle tau (mn) = tau (m) tau (n)}$ -li ${ displaystyle gcd (m, n) = 1}$ (znamenající, že ${ displaystyle tau (n)}$ je multiplikativní funkce )
• ${ displaystyle tau (p ^ {r + 1}) = tau (p) tau (p ^ {r}) - p ^ {11} tau (p ^ {r-1})}$ pro p připravit a r > 0.
• ${ displaystyle | tau (p) | leq 2p ^ {11/2}}$ pro všechny připraví p.

První dvě vlastnosti byly prokázány Mordell (1917) a třetí s názvem Ramanujan dohad, bylo prokázáno Deligne v roce 1974 v důsledku jeho důkazu o Weil dohady (konkrétně to odvodil jejich aplikací na odrůdu Kuga-Sato).

Kongruence pro funkci tau

Pro k ∈ Z a n ∈ Z_>0, definujte σ_k(n) jako součet k-té pravomoci dělitelů n. Funkce tau uspokojuje několik shodných vztahů; mnoho z nich lze vyjádřit pomocí σ_k(n).Tady nějaké jsou:^[1]

1. ${ displaystyle tau (n) equiv sigma _ {11} (n) { bmod {}} 2 ^ {11} { text {pro}} n equiv 1 { bmod {} } 8}$^[2]
2. ${ displaystyle tau (n) equiv 1217 sigma _ {11} (n) { bmod {}} 2 ^ {13} { text {pro}} n equiv 3 { bmod { }} 8}$^[2]
3. ${ displaystyle tau (n) equiv 1537 sigma _ {11} (n) { bmod {}} 2 ^ {12} { text {pro}} n equiv 5 { bmod { }} 8}$^[2]
4. ${ displaystyle tau (n) ekv. 705 sigma _ {11} (n) { bmod {}} 2 ^ {14} { text {pro}} n ekviv 7 { bmod { }} 8}$^[2]
5. ${ displaystyle tau (n) equiv n ^ {- 610} sigma _ {1231} (n) { bmod {}} 3 ^ {6} { text {pro}} n equiv 1 { bmod {}} 3}$^[3]
6. ${ displaystyle tau (n) equiv n ^ {- 610} sigma _ {1231} (n) { bmod {}} 3 ^ {7} { text {pro}} n equiv 2 { bmod {}} 3}$^[3]
7. ${ displaystyle tau (n) ekviv n ^ {- 30} sigma _ {71} (n) { bmod {}} 5 ^ {3} { text {pro}} n ne ekviv 0 { bmod {}} 5}$^[4]
8. ${ displaystyle tau (n) equiv n sigma _ {9} (n) { bmod {}} 7 { text {pro}} n equiv 0,1,2,4 { bmod {}} 7}$^[5]
9. ${ displaystyle tau (n) equiv n sigma _ {9} (n) { bmod {}} 7 ^ {2} { text {pro}} n equiv 3,5,6 { bmod {}} 7}$^[5]
10. ${ displaystyle tau (n) equiv sigma _ {11} (n) { bmod {}} 691.}$^[6]

Pro p ≠ 23 prime, máme^[1][7]

11. ${ displaystyle tau (p) equiv 0 { bmod {}} 23 { text {if}} left ({ frac {p} {23}} right) = - 1}$
12. ${ displaystyle tau (p) equiv sigma _ {11} (p) { bmod {}} 23 ^ {2} { text {if}} p { text {má formu}} a ^ {2} + 23b ^ {2}}$^[8]
13. ${ displaystyle tau (p) equiv -1 { bmod {}} 23 { text {jinak}}.}$

Dohady τ(n)

Předpokládejme to ${ displaystyle f}$ je váha ${ displaystyle k}$ integer newform^{[je zapotřebí objasnění ]} a Fourierovy koeficienty ${ displaystyle a (n)}$ jsou celá čísla. Zvažte problém: Pokud ${ displaystyle f}$ nemá komplexní násobení, prokázat, že téměř všechny připraví ${ displaystyle p}$ mít vlastnost, která ${ displaystyle a (p) neq 0 { bmod {p}}}$. Většina prvočísel by skutečně měla mít tuto vlastnost, a proto se jim říká obyčejná. Navzdory velkým pokrokům Deligne a Serre v reprezentacích Galois, které určují ${ displaystyle a (n) { bmod {p}}}$ pro ${ displaystyle n}$ coprime to ${ displaystyle p}$, nemáme ponětí, jak počítat ${ displaystyle a (p) { bmod {p}}}$. Jedinou větou v tomto ohledu je slavný Elkiesův výsledek pro modulární eliptické křivky, který skutečně zaručuje, že existuje nekonečně mnoho prvočísel ${ displaystyle p}$ pro který ${ displaystyle a (p) = 0}$, což je samozřejmě zjevné ${ displaystyle 0 { bmod {p}}}$. Neznáme žádné příklady non-CM ${ displaystyle f}$ s váhou ${ displaystyle> 2}$ pro který ${ displaystyle a (p) neq 0}$ mod ${ displaystyle p}$ na nekonečně mnoho prvočísel ${ displaystyle p}$ (i když by to mělo platit téměř pro všechny ${ displaystyle p}$). Neznáme také žádné příklady, kde ${ displaystyle a (p) = 0}$ mod ${ displaystyle p}$ pro nekonečně mnoho ${ displaystyle p}$. Někteří lidé začali pochybovat, zda ${ displaystyle a (p) = 0 { bmod {p}}}$ opravdu pro nekonečně mnoho ${ displaystyle p}$. Jako důkaz mnozí poskytli Ramanujan ${ displaystyle tau (p)}$ (případ hmotnosti ${ displaystyle 12}$). Největší známý ${ displaystyle p}$ pro který ${ displaystyle tau (p) = 0 { bmod {p}}}$ je ${ displaystyle p = 7758337633}$. Jediné řešení rovnice ${ displaystyle tau (p) equiv 0 { bmod {p}}}$ jsou ${ displaystyle p = 2,3,5,7,2411,}$ a ${ displaystyle 7758337633}$ až do ${ displaystyle 10 ^ {10}}$.^[9]

Lehmer (1947) domyslel si to ${ displaystyle tau (n) neq 0}$ pro všechny ${ displaystyle n}$, tvrzení někdy známé jako Lehmerova domněnka. Lehmer ověřil domněnku pro ${ displaystyle n <214928639999}$ (Apostol 1997, s. 22). Následující tabulka shrnuje pokrok při hledání postupně vyšších hodnot ${ displaystyle N}$ pro které tato podmínka platí pro všechny ${ displaystyle n leq N}$.

N	odkaz
3316799	Lehmer (1947)
214928639999	Lehmer (1949)
${ displaystyle 10 ^ {15}}$	Serre (1973, s. 98), Serre (1985)
1213229187071998	Jennings (1993)
22689242781695999	Jordan and Kelly (1999)
22798241520242687999	Bosman (2007)
982149821766199295999	Zeng a jin (2013)
816212624008487344127999	Derickx, van Hoeij a Zeng (2013)

Poznámky

Reference

• Apostol, T. M. (1997), „Modulární funkce a Dirichletovy řady v teorii čísel“, New York: Springer-Verlag, 2. vyd.
• Ashworth, M. H. (1968), Shodnost a identické vlastnosti modulárních forem (D. Phil. Thesis, Oxford)
• Dyson, F. J. (1972), „Promarněné příležitosti“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 78 (5): 635–652, doi:10.1090 / S0002-9904-1972-12971-9, Zbl  0271.01005
• Kolberg, O. (1962), „Congruences for Ramanujan's function τ (n)", Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), PAN  0158873, Zbl  0168.29502
• Lehmer, D.H. (1947), „Zmizení funkce Ramanujan τ (n)“, Vévoda Math. J., 14: 429–433, doi:10.1215 / s0012-7094-47-01436-1, Zbl  0029.34502
• Lygeros, N. (2010), „Nové řešení rovnice τ (p) ≡ 0 (mod p)“ (PDF), Journal of Integer Sequences, 13: Článek 10.7.4
• Mordell, Louis J. (1917), „O empirických rozšířeních modulárních funkcí pana Ramanujana.“, Sborník Cambridge Philosophical Society, 19: 117–124, JFM  46.0605.01
• Newman, M. (1972), Tabulka τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067, Národní úřad pro standardy
• Rankin, Robert A. (1988), „Ramanujanova tau funkce a její zobecnění“, Andrews, George E. (ed.), Ramanujan se vrátil (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA: Akademický tisk, str. 245–268, ISBN  978-0-12-058560-1, PAN  0938968
• Ramanujan, Srinivasa (1916), „On certain arithmetical functions“, Trans. Camb. Philos. Soc., 22 (9): 159–184, PAN  2280861
• Serre, J.P. (1968), „Une interpretation des congruences příbuzní à la fonction ${ displaystyle tau}$ de Ramanujan ", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 14
• Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), „On ℓ-adic reprezentace a kongruence pro koeficienty modulárních forem“, v Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre (eds.), Modulární funkce jedné proměnné, IIIPřednášky z matematiky, 350, s. 1–55, doi:10.1007/978-3-540-37802-0, ISBN  978-3-540-06483-1, PAN  0406931
• Wilton, J. R. (1930), „Kongruenční vlastnosti Ramanujanovy funkce τ (n)", Proceedings of the London Mathematical Society, 31: 1–10, doi:10.1112 / plms / s2-31.1.1