Funkce Liouville - Liouville function - Wikipedia

The Funkce Liouville Lambda, označeno λ (n) a pojmenoval podle Joseph Liouville, je důležité aritmetická funkce.

Jeho hodnota je +1, pokud n je produktem sudého počtu prvočísla, a −1, je-li výsledkem lichého počtu prvočísel.

Výslovně základní teorém aritmetiky uvádí, že jakýkoli pozitivní celé číslo n lze jednoznačně reprezentovat jako produkt pravomocí prvočísel: ${ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}$ kde p₁ < p₂ < ... < p_k jsou prvočísla a A_j jsou kladná celá čísla. (1 je dána prázdným produktem.) hlavní omega funkce spočítat počet prvočísel, s (Ω) nebo bez (ω) multiplicity:

ω(n) = k,

Ω (n) = A₁ + A₂ + ... + A_k.

λ (n) je definován vzorcem

${ displaystyle lambda (n) = (- 1) ^ { Omega (n)}.}$ (sekvence A008836 v OEIS ).

λ je zcela multiplikativní od Ω (n) je úplně přísada, tj .: Ω (ab) = Ω (A) + Ω (b). Protože 1 nemá primární faktory, Ω (1) = 0, takže λ (1) = 1.

Souvisí to s Möbiova funkce μ(n). Psát si n tak jako n = A²b kde b je bez čtverce, tj., ω(b) = Ω (b). Pak

${ displaystyle lambda (n) = mu (b).}$

Součet funkce Liouville za dělitele z n je charakteristická funkce z čtverce:

${ displaystyle sum _ {d | n} lambda (d) = { begin {cases} 1 & { text {if}} n { text {je dokonalý čtverec,}} 0 & { text { jinak.}} end {cases}}}$

Möbiova inverze výnosu tohoto vzorce

${ Displaystyle lambda (n) = součet _ {d ^ {2} | n} mu left ({ frac {n} {d ^ {2}}} right).}$

The Dirichlet inverzní funkce Liouville je absolutní hodnota Möbiovy funkce, ${ displaystyle lambda ^ {- 1} (n) = | mu (n) | = mu ^ {2} (n),}$ charakteristická funkce celých čísel bez čtverců. Také to máme ${ displaystyle lambda (n) mu (n) = mu ^ {2} (n)}$.

Série

The Dirichletova řada pro funkci Liouville souvisí s Funkce Riemann zeta podle

${ displaystyle { frac { zeta (2s)} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { lambda (n)} {n ^ {s }}}.}$

The Lambertova řada pro funkci Liouville je

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} = { frac {1} {2}} left ( vartheta _ {3} (q) -1 right),}$

kde ${ displaystyle vartheta _ {3} (q)}$ je Funkce Jacobi theta.

Dohady o vážených sumárních funkcích

Sumární Liouvilleova funkce L(n) až do n = 10⁴. Snadno viditelné oscilace jsou způsobeny první netriviální nulou Riemannovy zeta funkce.

Sumární Liouvilleova funkce L(n) až do n = 10⁷. Všimněte si zjevného škálová invariance kmitání.

Logaritmický graf záporného součtu Liouvilleovy funkce L(n) až do n = 2 × 10⁹. Zelený hrot ukazuje samotnou funkci (nikoli její zápor) v úzké oblasti, kde Pólya domněnka selže; modrá křivka ukazuje oscilační příspěvek první Riemannovy nuly.

Harmonická Summatory Liouvilleova funkce T(n) až do n = 10³

The Pólya domněnka je domněnka, kterou vytvořil George Pólya v roce 1919. Definování

${ displaystyle L (n) = součet _ {k = 1} ^ {n} lambda (k)}$ (sekvence A002819 v OEIS ),

domněnka to říká ${ displaystyle L (n) leq 0}$ pro n > 1. Ukázalo se to jako nepravdivé. Nejmenší protiklad je n = 906150257, nalezen Minoru Tanaka v roce 1980. Od té doby se ukázalo, že L(n) > 0.0618672√n pro nekonečně mnoho kladných celých čísel n,^[1] zatímco to může být také zobrazeno stejnými metodami L(n) < -1.3892783√n pro nekonečně mnoho kladných celých čísel n.^[2]

Pro všechny ${ displaystyle varepsilon> 0}$, za předpokladu Riemannovy hypotézy, máme tu součtovou funkci ${ displaystyle L (x) equiv L_ {0} (x)}$ je ohraničen

${ displaystyle L (x) = O left ({ sqrt {x}} exp left (C cdot log ^ {1/2} (x) left ( log log x right) ^ {5/2 + varepsilon} right) right),}$

Kde ${ displaystyle C> 0}$ je nějaká absolutní omezující konstanta.^[2]

Definujte související částku

${ displaystyle T (n) = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac { lambda (k)} {k}}.}$

Bylo to nějakou dobu otevřené, zda T(n) ≥ 0 pro dostatečně velký n ≥ n₀ (tato domněnka se občas - i když nesprávně - přisuzuje Pál Turán ). To bylo poté vyvráceno uživatelem Haselgrove (1958), který to ukázal T(n) bere záporné hodnoty nekonečně často. Potvrzení této domněnky pozitivity by vedlo k prokázání Riemannova hypotéza, jak ukázal Pál Turán.

Zobecnění

Obecněji můžeme uvažovat vážené sumační funkce přes Liovilleovu funkci definovanou pro libovolné ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$ takto pro kladná celá čísla X kde (jak je uvedeno výše) máme speciální případy ${ displaystyle L (x): = L_ {0} (x)}$ a ${ displaystyle T (x) = L_ {1} (x)}$ ^[2]

${ displaystyle L _ { alpha} (x): = sum _ {n leq x} { frac { lambda (n)} {n ^ { alpha}}}}$

Tyto ${ displaystyle alpha ^ {- 1}}$vážené sumační funkce souvisí s Funkce Mertens nebo vážené souhrnné funkce Funkce Moebius. Ve skutečnosti tu takzvanou neváženou nebo běžnou funkci máme ${ displaystyle L (x)}$ přesně odpovídá součtu

${ displaystyle L (x) = součet _ {d ^ {2} leq x} M levý ({ frac {x} {d ^ {2}}} pravý) = součet _ {d ^ { 2} leq x} sum _ {n leq { frac {x} {d ^ {2}}}} mu (n).}$

Kromě toho tyto funkce uspokojují podobné asymptotické vazby.^[2] Například kdykoli ${ displaystyle 0 leq alpha leq { frac {1} {2}}}$, vidíme, že existuje absolutní konstanta ${ displaystyle C _ { alpha}> 0}$ takhle

${ displaystyle L _ { alpha} (x) = O left (x ^ {1- alpha} exp left (-C _ { alpha} { frac {( log x) ^ {3/5} } {( log log x) ^ {1/5}}} right) right).}$

Přihlášením Perronův vzorec, nebo ekvivalentně klíčem (inverzní) Mellinova transformace, máme to

${ displaystyle { frac { zeta (2 alpha + 2s)} { zeta ( alpha + s)}} = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac {L _ { alpha} (x)} {x ^ {s + 1}}} dx,}$

které pak mohou být invertovány přes inverzní transformace ukázat, že pro ${ displaystyle x> 1}$, ${ displaystyle T geq 1}$ a ${ displaystyle 0 leq alpha <{ frac {1} {2}}}$

${ displaystyle L _ { alpha} (x) = { frac {1} {2 pi imath}} int _ { sigma _ {0} - imath T} ^ { sigma _ {0} + imath T} { frac { zeta (2 alpha + 2s)} { zeta ( alpha + s)}} cdot { frac {x ^ {s}} {s}} ds + E _ { alpha} (x) + R _ { alpha} (x, T),}$

kde můžeme vzít ${ displaystyle sigma _ {0}: = 1- alpha + 1 / log (x)}$, a zbývající pojmy definované tak, že ${ displaystyle E _ { alpha} (x) = O (x ^ {- alpha})}$ a ${ displaystyle R _ { alpha} (x, T) rightarrow 0}$ tak jako ${ displaystyle T rightarrow infty}$.

Zejména pokud předpokládáme, že Riemannova hypotéza (RH) je pravda a že všechny netriviální nuly, označené ${ displaystyle rho = { frac {1} {2}} + imath gamma}$, z Funkce Riemann zeta jsou jednoduchý, pak pro všechny ${ displaystyle 0 leq alpha <{ frac {1} {2}}}$ a ${ displaystyle x geq 1}$ existuje nekonečná posloupnost ${ displaystyle {T_ {v} } _ {v geq 1}}$ což to splňuje ${ displaystyle v leq T_ {v} leq v + 1}$ pro všechny proti takhle

${ displaystyle L _ { alpha} (x) = { frac {x ^ {1 / 2- alpha}} {(1-2 alpha) zeta (1/2)}} + součet _ {| gamma |$

kde pro všechny stále malé ${ displaystyle 0 < varepsilon <{ frac {1} {2}} - alpha}$ definujeme

${ displaystyle I _ { alpha} (x): = { frac {1} {2 pi imath cdot x ^ { alpha}}} int _ { varepsilon + alpha - imath infty} ^ { varepsilon + alpha + imath infty} { frac { zeta (2s)} { zeta (s)}} cdot { frac {x ^ {s}} {(s- alfa) }} ds,}$

a kde zbytek termínu

${ displaystyle R _ { alpha} (x, T) ll x ^ {- alpha} + { frac {x ^ {1- alpha} log (x)} {T}} + { frac { x ^ {1- alpha}} {T ^ {1- varepsilon} log (x)}},}$

což samozřejmě má tendenci 0 tak jako ${ displaystyle T rightarrow infty}$. Tyto přesné expanze analytického vzorce sdílejí podobné vlastnosti jako ty, které odpovídají váženému Funkce Mertens případech. Navíc od té doby ${ displaystyle zeta (1/2) <0}$ máme další podobnost v podobě ${ displaystyle L _ { alpha} (x)}$ na ${ displaystyle M (x)}$ do té míry, že dominantní vedoucí člen v předchozích vzorcích předpovídá negativní zkreslení hodnot těchto funkcí nad kladnými přirozenými čísly X.

Reference

• Polya, G. (1919). „Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie“. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 28: 31–40.
• Haselgrove, C. Brian (1958). "Vyvrácení domněnky Polyy". Mathematika. 5 (2): 141–145. doi:10.1112 / S0025579300001480. ISSN  0025-5793. PAN  0104638. Zbl  0085.27102.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lehman, R. (1960). "Na funkci Liouville". Matematika. Comp. 14 (72): 311–320. doi:10.1090 / S0025-5718-1960-0120198-5. PAN  0120198.
• Tanaka, Minoru (1980). „Numerické šetření kumulativního součtu funkce Liouville“. Tokijský žurnál matematiky. 3 (1): 187–189. doi:10,3836 / tjm / 1270216093. PAN  0584557.
• Weisstein, Eric W. "Funkce Liouville". MathWorld.
• A.F. Lavrik (2001) [1994], "Funkce Liouville", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS