Symbol Kronecker - Kronecker symbol

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie čísel, Symbol Kronecker, psáno jako ${ displaystyle left ({ frac {a} {n}} right)}$ nebo ${ displaystyle (a | n)}$, je zobecněním Jacobi symbol všem celá čísla ${ displaystyle n}$. To bylo představeno Leopold Kronecker  (1885, strana 770).

Definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být nenulové celé číslo s Prvočíselný rozklad

${ displaystyle n = u cdot p_ {1} ^ {e_ {1}} cdots p_ {k} ^ {e_ {k}},}$

kde ${ displaystyle u}$ je jednotka (tj., ${ displaystyle u = pm 1}$) a ${ displaystyle p_ {i}}$ jsou připraví. Nechat ${ displaystyle a}$ být celé číslo. Symbol Kronecker ${ displaystyle left ({ frac {a} {n}} right)}$ je definováno

${ displaystyle left ({ frac {a} {n}} right) = left ({ frac {a} {u}} right) prod _ {i = 1} ^ {k} left ({ frac {a} {p_ {i}}} vpravo) ^ {e_ {i}}.}$

Pro zvláštní ${ displaystyle p_ {i}}$, číslo ${ displaystyle left ({ frac {a} {p_ {i}}} right)}$ je prostě obvyklé Legendární symbol. To ponechává případ, kdy ${ displaystyle p_ {i} = 2}$. Definujeme ${ displaystyle left ({ frac {a} {2}} right)}$ podle

${ displaystyle left ({ frac {a} {2}} right) = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} a { mbox {je sudé,}} 1 & { mbox {if}} a equiv pm 1 { pmod {8}}, - 1 & { mbox {if}} a equiv pm 3 { pmod {8}}. end {cases}}}$

Protože rozšiřuje symbol Jacobi, množství ${ displaystyle left ({ frac {a} {u}} right)}$ je prostě ${ displaystyle 1}$ když ${ displaystyle u = 1}$. Když ${ displaystyle u = -1}$, definujeme to

${ displaystyle left ({ frac {a} {- 1}} right) = { begin {cases} -1 & { mbox {if}} a <0, 1 & { mbox {if}} a geq 0. end {cases}}}$

Nakonec jsme dali

${ displaystyle left ({ frac {a} {0}} right) = { begin {cases} 1 & { text {if}} a = pm 1, 0 & { text {jinak.} } end {případy}}}$

Tato rozšíření stačí k definování symbolu Kronecker pro všechny celočíselné hodnoty ${ displaystyle a, n}$.

Někteří autoři definují symbol Kronecker pouze pro omezenější hodnoty; například, ${ displaystyle a}$ shodný s ${ displaystyle 0,1 { bmod {4}}}$ a ${ displaystyle n> 0}$.

Tabulka hodnot

Následuje tabulka hodnot symbolu Kronecker ${ displaystyle left ({ frac {k} {n}} right)}$ s n, k ≤ 30.

Vlastnosti

Symbol Kronecker sdílí mnoho základních vlastností symbolu Jacobi, za určitých omezení:

• ${ displaystyle left ({ tfrac {a} {n}} right) = pm 1}$ -li ${ displaystyle gcd (a, n) = 1}$, v opačném případě ${ displaystyle left ({ tfrac {a} {n}} right) = 0}$.
• ${ displaystyle left ({ tfrac {ab} {n}} right) = left ({ tfrac {a} {n}} right) left ({ tfrac {b} {n}} že jo)}$ pokud ${ displaystyle n = -1}$, jeden z ${ displaystyle a, b}$ je nula a druhá je záporná.
• ${ displaystyle left ({ tfrac {a} {mn}} right) = left ({ tfrac {a} {m}} right) left ({ tfrac {a} {n}} že jo)}$ pokud ${ displaystyle a = -1}$, jeden z ${ displaystyle m, n}$ je nula a druhá má lichou část (definice níže ) shodný s ${ displaystyle 3 { bmod {4}}}$.
• Pro ${ displaystyle n> 0}$, my máme ${ displaystyle left ({ tfrac {a} {n}} right) = left ({ tfrac {b} {n}} right)}$ kdykoli ${ displaystyle a equiv b { bmod { begin {cases} 4n, & n equiv 2 { pmod {4}}, n & { text {jinak.}} end {případy}}}}$ Pokud navíc ${ displaystyle a, b}$ mít stejné znamení, totéž platí pro ${ displaystyle n <0}$.
• Pro ${ displaystyle a not equiv 3 { pmod {4}}}$, ${ displaystyle a neq 0}$, my máme ${ displaystyle left ({ tfrac {a} {m}} right) = left ({ tfrac {a} {n}} right)}$ kdykoli ${ displaystyle m equiv n { bmod { begin {případy} 4 | a |, & a equiv 2 { pmod {4}}, | a | & { text {jinak.}} end { případy}}}}$

Na druhou stranu, symbol Kronecker nemá stejné spojení s kvadratické zbytky jako symbol Jacobi. Zejména symbol Kronecker ${ displaystyle left ({ tfrac {a} {n}} right)}$ dokonce ${ displaystyle n}$ může brát hodnoty nezávisle na tom, zda ${ displaystyle a}$ je kvadratický zbytek nebo nerezidentní modulo ${ displaystyle n}$.

Kvadratická vzájemnost

Symbol Kronecker splňuje také následující verze kvadratická vzájemnost zákon.

Pro jakékoli nenulové celé číslo ${ displaystyle n}$, nechť ${ displaystyle n '}$ označit jeho zvláštní část: ${ displaystyle n = 2 ^ {e} n '}$ kde ${ displaystyle n '}$ je liché (pro ${ displaystyle n = 0}$, vložili jsme ${ displaystyle 0 '= 1}$). Pak následující symetrická verze kvadratické vzájemnosti platí pro každou dvojici celých čísel ${ displaystyle m, n}$ takhle ${ displaystyle gcd (m, n) = 1}$:

${ displaystyle left ({ frac {m} {n}} right) left ({ frac {n} {m}} right) = pm (-1) ^ {{ frac {m ' -1} {2}} { frac {n'-1} {2}}},}$

Kde ${ displaystyle pm}$ znaménko se rovná ${ displaystyle +}$ -li ${ displaystyle m geq 0}$ nebo ${ displaystyle n geq 0}$ a rovná se ${ displaystyle -}$ -li ${ displaystyle m <0}$ a ${ displaystyle n <0}$.

Existuje také ekvivalent nesymetrická verze kvadratické vzájemnosti, která platí pro každou dvojici relativně nejlepších celých čísel ${ displaystyle m, n}$:

${ displaystyle left ({ frac {m} {n}} right) left ({ frac {n} {| m |}} right) = (- 1) ^ {{ frac {m ' -1} {2}} { frac {n'-1} {2}}}.}$

Pro jakékoli celé číslo ${ displaystyle n}$ nechat ${ displaystyle n ^ {*} = (- 1) ^ {(n'-1) / 2} n}$. Pak máme další ekvivalentní nesymetrickou verzi, která uvádí

${ displaystyle left ({ frac {m ^ {*}} {n}} right) = left ({ frac {n} {| m |}} right)}$

pro každý pár celých čísel ${ displaystyle m, n}$ (ne nutně relativně prime).

The doplňkové zákony také zobecnit na symbol Kronecker. Tyto zákony snadno vyplývají z každé výše uvedené verze kvadratického zákona o vzájemnosti (na rozdíl od symbolu Legendre a Jacobi, kde je k úplnému popisu kvadratické vzájemnosti zapotřebí jak hlavní zákon, tak i doplňkové zákony).

Pro jakékoli celé číslo ${ displaystyle n}$ my máme

${ displaystyle left ({ frac {-1} {n}} right) = (- 1) ^ { frac {n'-1} {2}}}$

a pro jakékoli liché celé číslo ${ displaystyle n}$ své

${ displaystyle left ({ frac {2} {n}} right) = (- 1) ^ { frac {n ^ {2} -1} {8}}.}$

Připojení k Dirichletovým postavám

Li ${ displaystyle a not equiv 3 { pmod {4}}}$ a ${ displaystyle a neq 0}$, mapa ${ displaystyle chi (n) = left ({ tfrac {a} {n}} right)}$ je skutečný Dirichletova postava modulu ${ displaystyle { begin {cases} 4 | a |, & a equiv 2 { pmod {4}}, | a |, & { text {jinak.}} end {případy}}}$ Naopak každá skutečná Dirichletova postava může být napsána v této podobě pomocí ${ displaystyle a equiv 0,1 { pmod {4}}}$ (pro ${ displaystyle a equiv 2 { pmod {4}}}$ své ${ displaystyle left ({ tfrac {a} {n}} right) = left ({ tfrac {4a} {n}} right)}$).

Zejména, primitivní skutečné Dirichletovy postavy ${ displaystyle chi}$ jsou v korespondenci 1–1 s kvadratická pole ${ displaystyle F = mathbb {Q} ({ sqrt {m}})}$, kde ${ displaystyle m}$ je nenulová celé číslo bez čtverců (případ můžeme zahrnout ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {1}}) = mathbb {Q}}$ reprezentovat hlavní znak, i když to není správné kvadratické pole). Postava ${ displaystyle chi}$ lze obnovit z pole jako Artin symbol ${ displaystyle left ({ tfrac {F / mathbb {Q}} { cdot}} right)}$: to znamená pro pozitivní rozpravu ${ displaystyle p}$, hodnota ${ displaystyle chi (p)}$ záleží na chování ideálu ${ displaystyle (p)}$ v kruh celých čísel ${ displaystyle O_ {F}}$:

${ displaystyle chi (p) = { begin {cases} 0, & (p) { text {je rozvětvený,}} 1, & (p) { text {rozděluje,}} - 1 , & (p) { text {je inertní.}} end {případy}}}$

Pak ${ displaystyle chi (n)}$ rovná se symbolu Kronecker ${ displaystyle left ({ tfrac {D} {n}} right)}$, kde

${ displaystyle D = { begin {cases} m, & m equiv 1 { pmod {4}}, 4m, & m equiv 2,3 { pmod {4}} end {cases}}}$

je diskriminující z ${ displaystyle F}$. Dirigent ${ displaystyle chi}$ je ${ displaystyle | D |}$.

Podobně, pokud ${ displaystyle n> 0}$, mapa ${ displaystyle chi (a) = left ({ tfrac {a} {n}} right)}$ je skutečný Dirichletův charakter modulu ${ displaystyle { begin {cases} 4n, & n equiv 2 { pmod {4}}, n, & { text {jinak.}} end {cases}}}$ Tímto způsobem však nelze reprezentovat všechny skutečné postavy, například postavu ${ displaystyle left ({ tfrac {-4} { cdot}} right)}$ nelze zapsat jako ${ displaystyle left ({ tfrac { cdot} {n}} right)}$ pro všechny ${ displaystyle n}$. Podle zákona kvadratické vzájemnosti máme ${ displaystyle left ({ tfrac { cdot} {n}} right) = left ({ tfrac {n ^ {*}} { cdot}} right)}$. Postava ${ displaystyle left ({ tfrac {a} { cdot}} right)}$ lze reprezentovat jako ${ displaystyle left ({ tfrac { cdot} {n}} right)}$ právě když je jeho lichá část ${ displaystyle a ' equiv 1 { pmod {4}}}$, v takovém případě můžeme vzít ${ displaystyle n = | a |}$.

Viz také

• Hilbertův symbol

Reference

• Kronecker, L. (1885), „Zur Theorie der elliptischen Funktionen“, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 761–784
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplikativní teorie čísel. I. Klasická teorie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 97. Cambridge University Press . ISBN  0-521-84903-9. Zbl  1142.11001.

Tento článek obsahuje materiál se symbolem Kronecker PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.