Průměrné pořadí aritmetické funkce - Average order of an arithmetic function

v teorie čísel, an průměrné pořadí aritmetické funkce je nějaká jednodušší nebo lépe pochopitelná funkce, která bere stejné hodnoty „v průměru“.

Nechat ${displaystyle f}$ být aritmetická funkce. Říkáme, že průměrná objednávka z ${displaystyle f}$ je ${displaystyle g}$ -li

${displaystyle sum _ {nleq x} f (n) sim sum _ {nleq x} g (n)}$

tak jako ${displaystyle x}$ inklinuje k nekonečnu.

Je běžné zvolit aproximační funkci ${displaystyle g}$ to je kontinuální a monotónní. Průměrná objednávka ale samozřejmě není ojedinělá.

V případech, kdy je limit

${displaystyle lim _ {Nightarrow infty} {frac {1} {N}} součet _ {nleq N} f (n) = c}$

existuje, říká se to ${displaystyle f}$ má střední hodnota (průměrná hodnota) ${displaystyle c}$.

Příklady

• Průměrná objednávka d(n), počet dělitelů z n, je log n;
• Průměrná objednávka σ(n), součet dělitelů z n, je nπ² / 6;
• Průměrná objednávka φ(n), Eulerova totientová funkce z n, je 6n / π²;
• Průměrná objednávka r(n), počet způsobů vyjádření n jako součet dvou čtverců je π;
• Průměrné pořadí reprezentací přirozeného čísla jako součet tří čtverců je 4πn / 3;
• Průměrný počet rozkladů přirozeného čísla na součet jednoho nebo více po sobě jdoucích prvočísel je n log2;
• Průměrná objednávka ω(n), počet odlišných hlavních faktorů z n, je loglog n;
• Průměrná objednávka Ω (n), počet hlavních faktorů z n, je loglog n;
• The věta o prvočísle je ekvivalentní tvrzení, že von Mangoldtova funkce Λ (n) má průměrnou objednávku 1;
• Průměrná objednávka μ(n), Möbiova funkce, je nula; to je opět ekvivalentní s věta o prvočísle.

Výpočet středních hodnot pomocí Dirichletovy řady

V případě ${displaystyle F}$ je ve formě

${displaystyle F (n) = součet _ {dmid n} f (d),}$

pro nějakou aritmetickou funkci ${displaystyle f (n)}$, jeden má,

${displaystyle součet _ {nleq x} F (n) = součet _ {dleq x} f (d) součet _ {nleq x, dmid n} 1 = součet _ {dleq x} f (d) [x / d] = xsum _ {dleq x} {frac {f (d)} {d}} {ext {}} + O (součet _ {dleq x} | f (d) |) .qquad qquad (1)}$

Byly nalezeny zevšeobecnění předchozí identity tady. Tato identita často poskytuje praktický způsob výpočtu střední hodnoty z hlediska Funkce Riemann zeta. To je ilustrováno v následujícím příkladu.

Hustota k-té energie bez celých čísel v N

Pro celé číslo ${displaystyle kgeq 1}$ sada ${displaystyle Q_ {k}}$ z k-th-power-free celá čísla je

${displaystyle Q_ {k}: = {nin mathbb {Z} mid n {ext {není dělitelný}} d ^ {k} {ext {pro jakékoli celé číslo}} dgeq 2}.}$

Vypočítáme přirozená hustota z těchto čísel v N, tj. průměrná hodnota ${displaystyle 1_ {Q_ {k}}}$, označeno ${displaystyle delta (n)}$, pokud jde o funkce zeta.

Funkce ${displaystyle delta}$ je multiplikativní a protože je ohraničeno 1, je Dirichletova řada konverguje absolutně v polorovině ${displaystyle mathrm {Re}> 1}$a tam je Produkt Euler

${displaystyle sum _ {Q_ {k}} n ^ {- s} = součet _ {n} delta (n) n ^ {- s} = prod _ {p} (1 + p ^ {- s} + cdots + p ^ {- s (k-1)}) = prod _ {p} left ({frac {1-p ^ {- sk}} {1-p ^ {- s}}} ight) = {frac {zeta (s)} {zeta (sk)}}.}$

Podle Möbiova inverze vzorec, dostaneme

${displaystyle {frac {1} {zeta (ks)}} = součet _ {n} mu (n) n ^ {- ks},}$

kde ${displaystyle mu}$ znamená Möbiova funkce. Ekvivalentně

${displaystyle {frac {1} {zeta (ks)}} = součet _ {n} f (n) n ^ {- s},}$

kde ${displaystyle f (n) = {egin {cases} ;;, mu (d) & n = d ^ {k} ;;, 0 & {ext {jinak}}, konec {případů}}}$

a tedy

${displaystyle {frac {zeta (s)} {zeta (sk)}} = součet _ {n} (součet _ {dmid n} f (d)) n ^ {- s}.}$

Porovnáním koeficientů dostaneme

${displaystyle delta (n) = součet _ {dmid n} f (d) n ^ {- s}.}$

Pomocí (1) dostaneme

${displaystyle sum _ {dleq x} delta (d) = xsum _ {dleq x} (f (d) / d) + O (x ^ {1 / k}).}$

Dospěli jsme k závěru, že

${displaystyle sum _ {nin Q_ {k}, nleq x} 1 = {frac {x} {zeta (k)}} + O (x ^ {1 / k}),}$

kde k tomu jsme použili vztah

${displaystyle sum _ {n} (f (n) / n) = součet _ {n} f (n ^ {k}) n ^ {- k} = součet _ {n} mu (n) n ^ {- k } = {frac {1} {zeta (k)}},}$

který vyplývá z Möbiova inverzního vzorce.

Zejména hustota celá čísla bez čtverců je ${displaystyle zeta (2) ^ {- 1} = {frac {6} {pi ^ {2}}}}$.

Viditelnost mřížových bodů

Říkáme, že dva mřížové body jsou navzájem viditelné, pokud na otevřeném úsečce není žádný mřížový bod, který by je spojoval.

Nyní, pokud gcd (A, b) = d > 1, pak psaní A = da², b = db² jeden poznamenává, že bod (A², b²) je na úsečce, která spojuje (0,0) s (A, b) a tedy (A, b) není z počátku viditelný. Tím pádem (A, b) je viditelný z počátku znamená, že (A, b) = 1. Naopak je také snadné vidět, že gcd (A, b) = 1 znamená, že v segmentu spojujícím (0,0) s (není) žádný další celočíselný mřížkový bodA,b).Tím pádem, (A, b) je viditelný od (0,0) právě tehdy, když gcd (A, b) = 1.

Všimněte si toho ${displaystyle {frac {varphi (n)} {n}}}$ je pravděpodobnost náhodného bodu na čtverci ${displaystyle {(r, s) v mathbb {N}: max (| r |, | s |) = n}}$ aby byly viditelné z počátku.

Lze tedy ukázat, že přirozená hustota bodů, které jsou viditelné z počátku, je dána průměrem,

${displaystyle lim _ {Nightarrow infty} {frac {1} {N}} součet _ {nleq N} {frac {varphi (n)} {n}} = {frac {6} {pi ^ {2}}} = {frac {1} {zeta (2)}}.}$

${displaystyle {frac {1} {zeta (2)}}}$ je také přirozená hustota čísel bez čtverců v N. Ve skutečnosti to není náhoda. Zvažte k-rozměrná mřížka, ${displaystyle mathbb {Z} ^ {k}}$. Přirozená hustota bodů viditelných z počátku je ${displaystyle {frac {1} {zeta (k)}}}$, což je také přirozená hustota k-tá celá čísla zdarma N.

Funkce dělitele

Zvažte zobecnění ${displaystyle d (n)}$:

${displaystyle sigma _ {alpha} (n) = součet _ {dmid n} d ^ {alpha}.}$

Platí následující:

${displaystyle sum _ {nleq x} sigma _ {alpha} (n) = {egin {cases} ;; sum _ {nleq x} sigma _ {alpha} (n) = {frac {zeta (alpha +1)} { alfa +1}} x ^ {alfa +1} + O (x ^ {eta}) & {ext {if}} alfa> 0, ;; součet _ {nleq x} sigma _ {- 1} (n) = zeta (2) x + O (log x) & {ext {if}} alpha = -1, ;; sum _ {nleq x} sigma _ {alpha} (n) = zeta (-alpha +1) x + O (x ^ {max (0,1 + alpha)}) a {ext {jinak.}} Konec {případů}}}$

kde ${displaystyle eta = max (1, alpha)}$.

Lepší průměrná objednávka

Tuto představu nejlépe probereme na příkladu. Z

${displaystyle sum _ {nleq x} d (n) = xlog x + (2gamma -1) x + o (x)}$

(${displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta ) a

${displaystyle sum _ {nleq x} log n = xlog x-x + O (log x),}$

máme asymptotický vztah

${displaystyle sum _ {nleq x} (d (n) - (log n + 2gamma)) = o (x) quad (xightarrow infty),}$

což naznačuje, že funkce ${displaystyle log n + 2gamma}$ je lepší volba průměrné objednávky pro ${displaystyle d (n)}$ než jednoduše ${displaystyle log n}$.

Průměrné hodnoty překročeny F_q[X]

Definice

Nechat h(X) být funkcí na množině monické polynomy přes F_q. Pro ${displaystyle ngeq 1}$ definujeme

${displaystyle {ext {Ave}} _ {n} (h) = {frac {1} {q ^ {n}}} součet _ {f {ext {monic}}, deg (f) = n} h (f ).}$

Toto je střední hodnota (průměrná hodnota) h na množině monických polynomů stupně n. Říkáme to G(n) je průměrná objednávka z h -li

${displaystyle {ext {Ave}} _ {n} (h) sim g (n)}$

tak jako n inklinuje k nekonečnu.

V případech, kdy je limit

${displaystyle lim _ {nightarrow infty} {ext {Ave}} _ {n} (h) = c}$

existuje, říká se to h má střední hodnota (průměrná hodnota) C.

Funkce Zeta a řada Dirichlet v systému Windows F_q[X]

Nechat F_q[X]=A být kruh polynomů přes konečné pole F_q.

Nechat h být polynomiální aritmetická funkce (tj. funkce na množině monických polynomů přes A). Jeho odpovídající Dirichletova řada je definována jako

${displaystyle D_ {h} (s) = součet _ {f {ext {monic}}} h (f) | f | ^ {- s},}$

kde pro ${displaystyle gin A}$, nastavit ${displaystyle | g | = q ^ {deg (g)}}$ -li ${displaystyle geq 0}$, a ${displaystyle | g | = 0}$ v opačném případě.

Polynomiální zeta funkce je tedy

${displaystyle zeta _ {A} (s) = sum _ {f {ext {monic}}} | f | ^ {- s}.}$

Podobně jako situace v N, každá řada Dirichlet a multiplikativní funkce h má zastoupení produktu (produkt Euler):

${displaystyle D_ {h} (s) = prod _ {P} (součet _ {nmathop {=} 0} ^ {infty} h (P ^ {n}) | P | ^ {- sn}),}$

Kde produkt běží přes všechny monické neredukovatelné polynomy P.

Například reprezentace produktu funkce zeta je jako pro celá čísla: ${displaystyle zeta _ {A} (s) = prod _ {P} (1- | P | ^ {- s}) ^ {- 1}}$.

Na rozdíl od klasiky funkce zeta, ${displaystyle zeta _ {A} (s)}$ je jednoduchá racionální funkce:

${displaystyle zeta _ {A} (s) = součet _ {f} (| f | ^ {- s}) = součet _ {n} součet _ {ext {deg (f) = n}} q ^ {- sn } = součet _ {n} (q ^ {n-sn}) = (1-q ^ {1-s}) ^ {- 1}.}$

Podobným způsobem, pokud ƒ a G jsou dvě polynomiální aritmetické funkce, jedna definuje ƒ * G, Dirichletova konvoluce z ƒ a Gtím, že

${displaystyle {egin {aligned} (f * g) (m) & = sum _ {d, mid, m} f (m) gleft ({frac {m} {d}} ight) & = sum _ {ab , =, m} f (a) g (b) konec {zarovnáno}}}$

kde součet přesahuje všechny monické dělitele d zm, nebo ekvivalentně přes všechny páry (A, b) monických polynomů, jejichž součin je m. Identita ${displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h * g}}$ stále drží. Stejně jako v elementární teorii má polynomiální Dirichletova řada a funkce zeta souvislost s pojmem středních hodnot v kontextu polynomů. Následující příklady to ilustrují.

Příklady

Hustota k-tý bezmocný polynom v F_q[X]

Definovat ${delta zobrazení (f)}$ být 1, pokud ${displaystyle f}$ je k-tá energie zdarma a 0 jinak.

Vypočítáme průměrnou hodnotu ${displaystyle delta}$, což je hustota k-tý výkon bez polynomů v F_q[X]stejným způsobem jako v celých číslech.

Násobením ${displaystyle delta}$:

${displaystyle sum _ {f} {frac {delta (f)} {| f | ^ {s}}} = prod _ {P} (sum _ {jmathop {=} 0} ^ {k-1} (| P | ^ {- js})) = prod _ {P} {frac {1- | P | ^ {- sk}} {1- | P | ^ {- s}}} = {frac {zeta _ {A} (s)} {zeta _ {A} (sk)}} = {frac {1-q ^ {1-ks}} {1-q ^ {1-s}}} = {frac {zeta _ {A} (s)} {zeta _ {A} (ks)}}}$

Označit ${displaystyle b_ {n}}$ počet k-tá síla monické polynomy stupně n, dostaneme

${displaystyle sum _ {f} {frac {delta (f)} {| f | ^ {s}}} = součet _ {n} součet _ {{ext {def}} f = n} delta (f) | f | ^ {- s} = součet _ {n} b_ {n} q ^ {- sn}.}$

Střídání ${displaystyle u = q ^ {- s}}$ dostaneme:

${displaystyle {frac {1-qu ^ {k}} {1-qu}} = součet _ {nmathop {=} 0} ^ {infty} b_ {n} u ^ {n}.}$

Nakonec rozbalte levou stranu v geometrické řadě a porovnejte koeficienty ${displaystyle u ^ {n}}$ na obou stranách

${displaystyle b_ {n} = {egin {cases} ;;, q ^ {n} & nleq k-1 ;;, q ^ {n} (1-q ^ {1-k}) & {ext {jinak} } konec {případů}}}$

Proto,

${displaystyle {ext {Ave}} _ {n} (delta) = 1-q ^ {1-k} = {frac {1} {zeta _ {A} (k)}}}$

A protože to nezávisí na n to je také střední hodnota ${delta zobrazení (f)}$.

Funkce polynomiálního dělitele

v F_q[X], definujeme

${displaystyle sigma _ {k} (m) = součet _ {f | m, {ext {monic}}} | f | ^ {k}.}$

Budeme počítat ${displaystyle {ext {Ave}} _ {n} (sigma _ {k})}$ pro ${displaystyle kgeq 1}$.

Nejprve si toho všimněte

${displaystyle sigma _ {k} (m) = h * mathbb {I} (m)}$

kde ${displaystyle h (f) = | f | ^ {k}}$ a ${displaystyle; mathbb {I} (f) = 1 ;; forall {f}}$.

Proto,

${displaystyle sum _ {m} sigma _ {k} (m) | m | ^ {- s} = zeta _ {A} (s) součet _ {m} h (m) | m | ^ {- s}. }$

Náhradní ${displaystyle q ^ {- s} = u}$ dostaneme,

${displaystyle {ext {LHS}} = součet _ {n} (součet _ {deg (m) = n} sigma _ {k} (m)) u ^ {n}}$, a tím Cauchyho produkt dostaneme,

${displaystyle {egin {aligned} {ext {RHS}} & = sum _ {n} q ^ {n (1-s)} sum _ {n} (sum _ {deg (m) = n} h (m) ) u ^ {n} & = součet _ {n} q ^ {n} u ^ {n} součet _ {l} q ^ {l} q ^ {lk} u ^ {l} & = součet _ { n} (součet _ {jmathop {=} 0} ^ {n} q ^ {nj} q ^ {jk + j}) & = součet _ {n} (q ^ {n} ({frac {1-q ^ {k (n + 1)}} {1-q ^ {k}}})) u ^ {n} .end {zarovnáno}}}$

Nakonec to pochopíme,

${displaystyle {ext {Ave}} _ {n} sigma _ {k} = {frac {1-q ^ {k (n + 1)}} {1-q ^ {k}}}.}$

Všimněte si toho

${displaystyle q ^ {n} {ext {Ave}} _ {n} sigma _ {k} = q ^ {n (k + 1)} ({frac {1-q ^ {- k (n + 1)} } {1-q ^ {- k}}}) = q ^ {n (k + 1)} ({frac {zeta (k + 1)} {zeta (kn + k + 1)}})}$

Pokud tedy nastavíme ${displaystyle x = q ^ {n}}$ pak se přečte výše uvedený výsledek

${displaystyle sum _ {deg (m) = n, m {ext {monic}}} sigma _ {k} (m) = x ^ {k + 1} ({frac {zeta (k + 1)} {zeta ( kn + k + 1)}})}$

který se podobá analogickému výsledku pro celá čísla:

${displaystyle sum _ {nleq x} sigma _ {k} (n) = {frac {zeta (k + 1)} {k + 1}} x ^ {k + 1} + O (x ^ {k})}$

Počet dělitelů

Nechat ${displaystyle d (f)}$ být počet monických dělitelů F a nechte ${displaystyle D (n)}$ být součet ${displaystyle d (f)}$ přes všechny moniky stupně n.

${displaystyle zeta _ {A} (s) ^ {2} = (součet _ {h} | h | ^ {- s}) (součet _ {g} | g | ^ {- s}) = součet _ {f } (součet _ {hg = f} 1) | f | ^ {- s} = součet _ {f} d (f) | f | ^ {- s} = D_ {d} (s) = součet _ {nmathop {=} 0} ^ {infty} D (n) u ^ {n}}$

kde ${displaystyle u = q ^ {- s}}$.

Rozšíření pravé strany na výkonové řady, které dostaneme,

${displaystyle D (n) = (n + 1) q ^ {n}.}$

Náhradní ${displaystyle x = q ^ {n}}$ výše uvedená rovnice se stává:

${displaystyle D (n) = xlog _ {q} (x) + x}$ který se velmi podobá analogickému výsledku pro celá čísla ${displaystyle sum _ {kmathop {=} 1} ^ {n} d (k) = xlog x + (2gamma -1) x + O ({sqrt {x}})}$, kde ${displaystyle gamma}$ je Eulerova konstanta.

O chybovém členu celých čísel není známo mnoho, zatímco v případě polynomů neexistuje žádný chybový člen! Důvodem je velmi jednoduchá povaha funkce zeta ${displaystyle zeta _ {A} (s)}$, a že nemá ŽÁDNÉ nuly.

Polynomiální von Mangoldtova funkce

Polynom von Mangoldtova funkce je definováno:${displaystyle Lambda _ {A} (f) = {egin {cases} log | P | & {mbox {if}} f = | P | ^ {k} {ext {for some prime monic}} P {ext {and integer}} kgeq 1, 0 a {mbox {jinak.}} konec {případů}}}$

Kde je logaritmus učiněn na základě q.

Tvrzení. Střední hodnota ${displaystyle Lambda _ {A}}$ je přesně 1.

Důkaz.Nechat m být monický polynom a nechat ${displaystyle m = prod _ {imathop {=} 1} ^ {l} P_ {i} ^ {e_ {i}}}$ být hlavním rozkladem m.

My máme,

${displaystyle {egin {aligned} sum _ {f | m} Lambda _ {A} (f) & = sum _ {(i_ {1}, ldots, i_ {l}) | 0leq i_ {j} leq e_ {j }} Lambda _ {A} (prod _ {jmathop {=} 1} ^ {l} P_ {j} ^ {i_ {j}}) = součet _ {jmathop {=} 1} ^ {l} součet _ { imathop {=} 1} ^ {e_ {i}} Lambda _ {A} (P_ {j} ^ {i}) = součet _ {jmathop {=} 1} ^ {l} součet _ {imathop {=} 1 } ^ {e_ {i}} log | P_ {j} | & = součet _ {jmathop {=} 1} ^ {l} e_ {j} log | P_ {j} | = součet _ {jmathop {=} 1} ^ {l} log | P_ {j} | ^ {e_ {j}} = log | (prod _ {imathop {=} 1} ^ {l} P_ {i} ^ {e_ {i}}) | & = log (m) konec {zarovnáno}}}$

Proto,

${displaystyle mathbb {I} cdot Lambda _ {A} (m) = log | m |}$

a dostaneme to,

${displaystyle zeta _ {A} (s) D_ {Lambda _ {A}} (s) = sum _ {m} log | m || m | ^ {- s}.}$

Nyní,

${displaystyle sum _ {m} | m | ^ {s} = součet _ {n} součet _ {deg m = n} u ^ {n} = součet _ {n} q ^ {n} u ^ {n} = součet _ {n} q ^ {n (1-s)}.}$

Tím pádem,

${displaystyle {frac {d} {ds}} součet _ {m} | m | ^ {s} = - součet _ {n} log (q ^ {n}) q ^ {n (1-s)} = - součet _ {n} součet _ {deg (f) = n} log (q ^ {n}) q ^ {- ns} = - součet _ {f} log | f || f | ^ {- s}.}$

Máme to:

${displaystyle D_ {Lambda _ {A}} (s) = {frac {-zeta '_ {A} (s)} {zeta _ {A} (s)}}}$

Nyní,

${displaystyle sum _ {m} Lambda _ {A} (m) | m | ^ {- s} = součet _ {n} (součet _ {deg (m) = n} Lambda _ {A} (m) q ^ {-sm}) = součet _ {n} (součet _ {deg (m) = n} Lambda _ {A} (m)) u ^ {n} = {frac {-zeta '_ {A} (s) } {zeta _ {A} (s)}} = {frac {q ^ {1-s} log (q)} {1-q ^ {1-s}}} = log (q) součet _ {nmathop { =} 1} ^ {infty} q ^ {n} u ^ {n}}$

Proto,

${displaystyle sum _ {deg (m) = n} Lambda _ {A} (m) = q ^ {n} log (q),}$

a dělením ${displaystyle q ^ {n}}$ máme to

${displaystyle {ext {Ave}} _ {n} Lambda _ {A} (m) = log (q) = 1.}$

Polynomiální Eulerova totientová funkce

Definovat Funkce Euler totient polynomiální analog, ${displaystyle Phi}$, je počet prvků ve skupině ${displaystyle (A / fA) ^ {*}}$. My máme,

${displaystyle sum _ {deg f = n, f {ext {monic}}} Phi (f) = q ^ {2n} (1-q ^ {- 1}).}$

Viz také

• Funkce součtu dělitele
• Normální pořadí aritmetické funkce
• Extrémní řády aritmetické funkce
• Totožnosti dělitele dělitele

Reference

• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. Úvod do teorie čísel. Revidováno D. R. Heath-Brown a J. H. Silverman. Předmluva Andrew Wiles. (6. vydání). Oxford: Oxford University Press. ISBN  978-0-19-921986-5. PAN  2445243. Zbl  1159.11001. Str. 347–360
• Gérald Tenenbaum (1995). Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel. Cambridge studium pokročilé matematiky. 46. Cambridge University Press. str. 36–55. ISBN  0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.
• Tom M. Apostol (1976), Úvod do teorie analytických číselSpringer Pregraduální texty z matematiky, ISBN  0-387-90163-9
• Michael Rosen (2000), Teorie čísel v funkčních políchSpringer Postgraduální texty z matematiky, ISBN  0-387-95335-3
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2006), Multiplikativní teorie čísel, Cambridge University Press, ISBN  978-0521849036
• Michael Baakea; Robert V. Moodyb; Peter A.B. Pleasantsc (2000), Difrakce od viditelných bodů mřížky a celá čísla bez energie k-té, Diskrétní matematika - časopis