Čebyševova funkce - Chebyshev function

Čebyševova funkce ψ(X), s X < 50

Funkce ψ(X) − X, pro X < 10⁴

Funkce ψ(X) − X, pro X < 10⁷

v matematika, Čebyševova funkce je jedna ze dvou souvisejících funkcí. The první Čebyševova funkce ϑ(X) nebo θ(X) je dána

${displaystyle vartheta (x) = součet _ {pleq x} přihlásit p}$

se součtem přesahujícím všechny prvočísla p které jsou menší nebo rovny X.

The druhá Čebyševova funkce ψ(X) je definována podobně, přičemž součet přesahující všechny hlavní síly nepřesahujeX

${displaystyle psi (x) = součet _ {kin mathbb {N}} součet _ {p ^ {k} leq x} log p = součet _ {nleq x} lambda (n) = součet _ {pleq x} leftlfloor log _ {p} xightfloor log p,}$

kde Λ je von Mangoldtova funkce. Čebyševova funkce, zejména ta druhá ψ(X), se často používají v důkazech souvisejících s prvočísla, protože pracovat s nimi je obvykle jednodušší než s funkce počítání prvočísel, π(X) (Vidět přesný vzorec, níže.) Obě Čebyševovy funkce jsou asymptotickéX, prohlášení ekvivalentní věta o prvočísle.

Obě funkce jsou pojmenovány na počest Pafnuty Čebyšev.

Vztahy

Druhou Čebyševovu funkci lze vidět, že souvisí s první, když ji napíšeme jako

${displaystyle psi (x) = součet _ {pleq x} klog p}$

kde k je jedinečné celé číslo takové, že p^k ≤ X a X < p^{k + 1}. Hodnoty k jsou uvedeny v OEIS: A206722. Přímější vztah je dán vztahem

${displaystyle psi (x) = součet _ {n = 1} ^ {infty} vlevo vartheta (x ^ {frac {1} {n}} vpravo).}$

Všimněte si, že tato poslední částka má pouze konečný počet nemizejících výrazů, jako

${displaystyle vartheta left (x ^ {frac {1} {n}} ight) = 0quad {ext {for}} quad n> log _ {2} x = {frac {log x} {log 2}}.}$

Druhá Čebyševova funkce je logaritmus nejmenší společný násobek celých čísel od 1 don.

${displaystyle operatorname {lcm} (1,2, tečky, n) = e ^ {psi (n)}.}$

Hodnoty lcm (1,2, ...,n) pro celočíselnou proměnnou n je uveden na OEIS: A003418.

Asymptotika a hranice

Pro funkce Chebyshev jsou známy následující hranice:^[1][2] (v těchto vzorcích p_k je kth prvočíslo p₁ = 2, p₂ = 3, atd.)

${displaystyle {egin {aligned} vartheta (p_ {k}) & geq kleft (ln k + ln ln k-1 + {frac {ln ln k-2.050735} {ln k}} ight) && {ext {for}} kgeq 10 ^ {11}, [8px] vartheta (p_ {k}) & leq kleft (ln k + ln ln k-1 + {frac {ln ln k-2} {ln k}} ight) && {ext {pro }} kgeq 198, [8px] | vartheta (x) -x | & leq 0,006788 {frac {x} {ln x}} && {ext {for}} xgeq 10 544 111, [8px] | psi (x) -x | & leq 0,006409 {frac {x} {ln x}} && {ext {for}} xgeq e ^ {22}, [8px] 0,9999 {sqrt {x}} &$

Dále pod Riemannova hypotéza,

${displaystyle {egin {aligned} | vartheta (x) -x | & = Oleft (x ^ {{frac {1} {2}} + varepsilon} ight) | psi (x) -x | & = Oleft (x ^ {{frac {1} {2}} + varepsilon} ight) konec {zarovnáno}}}$

pro všechny ε > 0.

Horní hranice existuje pro oba ϑ(X) a ψ(X) takový, že^{[1] [3]}

${displaystyle {egin {zarovnáno} vartheta (x) & <1,000028x psi (x) & <1,03883xend {zarovnáno}}}$

pro všechny X > 0.

Vysvětlení konstanty 1.03883 je uvedeno na OEIS: A206431.

Přesný vzorec

V roce 1895 Hans Carl Friedrich von Mangoldt se ukázala^[4] an explicitní výraz pro ψ(X) jako součet přes netriviální nuly Funkce Riemann zeta:

${displaystyle psi _ {0} (x) = x-součet _ {ho} {frac {x ^ {ho}} {ho}} - {frac {zeta '(0)} {zeta (0)}} - { frac {1} {2}} log (1-x ^ {- 2}).}$

(Číselná hodnota ζ ′(0)/ζ(0) je log (2π).) Tady ρ běží přes netriviální nuly funkce zeta a ψ₀ je stejné jako ψ, kromě toho, že při svých skokových diskontinuitách (prime power) vezme hodnotu na půli cesty mezi hodnotami vlevo a vpravo:

${displaystyle psi _ {0} (x) = {frac {1} {2}} vlevo (součet _ {nleq x} lambda (n) + součet _ {n$

Z Taylor série pro logaritmus, poslední člen v explicitním vzorci lze chápat jako součet X^ω/ω nad triviálními nulami funkce zeta, ω = −2, −4, −6, ..., tj.

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {x ^ {- 2k}} {- 2k}} = {frac {1} {2}} přihlásit vlevo (1-x ^ {- 2} vpravo ).}$

Podobně první termín, X = X¹/1, odpovídá jednoduchému pól funkce zeta na 1. Je to spíše pól než nula, což odpovídá opačnému znaménku termínu.

Vlastnosti

Věta kvůli Erhard Schmidt uvádí, že pro některé výslovné pozitivní konstanty K., existuje nekonečně mnoho přirozených čísel X takhle

${displaystyle psi (x) -x <-K {sqrt {x}}}$

a nekonečně mnoho přirozených čísel X takhle

${displaystyle psi (x) -x> K {sqrt {x}}.}$^[5][6]

v málo-Ó notace, jeden může napsat výše jako

${displaystyle psi (x) -xeq oleft ({sqrt {x}} ight).}$

Hardy a Littlewood^[7] prokázat silnější výsledek, že

${displaystyle psi (x) -xeq oleft ({sqrt {x}} log log log xight).}$

Vztah k prvenství

První Čebyševova funkce je logaritmus primitivní z X, označeno X#:

${displaystyle vartheta (x) = součet _ {pleq x} log p = log prod _ {pleq x} p = log left (x # ight).}$

To dokazuje, že prvotní X# se asymptoticky rovná E^{(1 + Ó(1))X}, kde "Ó„je malý-Ó notace (viz velký Ó notace ) a spolu s teorémem o prvočísle stanoví asymptotické chování p_n#.

Vztah k funkci počítání prvočísel

Čebyševova funkce může být spojena s funkcí počítání prime následovně. Definovat

${displaystyle Pi (x) = sum _ {nleq x} {frac {Lambda (n)} {log n}}.}$

Pak

${displaystyle Pi (x) = součet _ {nleq x} lambda (n) int _ {n} ^ {x} {frac {dt} {tlog ^ {2} t}} + {frac {1} {log x} } součet _ {nleq x} Lambda (n) = int _ {2} ^ {x} {frac {psi (t), dt} {tlog ^ {2} t}} + {frac {psi (x)} { přihlásit x}}.}$

Přechod od Π do funkce počítání prvočísel, π, se provádí pomocí rovnice

${displaystyle Pi (x) = pi (x) + {frac {1} {2}} pi vlevo ({sqrt {x}} ight) + {frac {1} {3}} vlevo pi ({sqrt [{3 }] {x}} ight) + cdots}$

Rozhodně π(X) ≤ X, takže z důvodu přiblížení lze tento poslední vztah přepracovat do podoby

${displaystyle pi (x) = Pi (x) + Oleft ({sqrt {x}} ight).}$

Riemannova hypotéza

The Riemannova hypotéza uvádí, že všechny netriviální nuly funkce zeta mají skutečnou část 1/2. V tomto případě, |X^ρ| = √Xa lze to ukázat

${displaystyle sum _ {ho} {frac {x ^ {ho}} {ho}} = Oleft ({sqrt {x}} log ^ {2} xight).}$

Z výše uvedeného vyplývá

${displaystyle pi (x) = operatorname {li} (x) + Oleft ({sqrt {x}} přihlásit xight).}$

Dobré důkazy o tom, že hypotéza může být pravdivá, pocházejí ze skutečnosti, kterou navrhl Alain Connes a další, že pokud diferencujeme von Mangoldtův vzorec s ohledem na X dostaneme X = E^u. Při manipulaci máme „Trace vzorec“ pro uspokojení exponenciálu Hamiltonovského operátoru

${displaystyle left.zeta left ({frac {1} {2}} + i {hat {H}} ight) ight | ngeq zeta left ({frac {1} {2}} + iE_ {n} ight) = 0 ,}$

a

${displaystyle sum _ {n} e ^ {iuE_ {n}} = Z (u) = e ^ {frac {u} {2}} - e ^ {- {frac {u} {2}}} {frac { dpsi _ {0}} {du}} - {frac {e ^ {frac {u} {2}}} {e ^ {3u} -e ^ {u}}} = operatorname {Tr} vlevo (e ^ { iu {hat {H}}} ight),}$

kde „trigonometrický součet“ lze považovat za stopu operátora (statistická mechanika ) E^jo, což je pravda, pouze pokud ρ = 1/2 + tj(n).

Pomocí semiklasického přístupu potenciál H = T + PROTI splňuje:

${displaystyle {frac {Z (u) u ^ {frac {1} {2}}} {sqrt {pi}}} sim int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ileft (uV (x) + { frac {pi} {4}} ight)}, dx}$

s Z(u) → 0 tak jakou → ∞.

řešení této nelineární integrální rovnice lze získat (mimo jiné) pomocí

${displaystyle V ^ {- 1} (x) cca {sqrt {4pi}} cdot {frac {d ^ {frac {1} {2}}} {dx ^ {frac {1} {2}}}} N ( X)}$

abychom získali inverzní potenciál:

${displaystyle pi N (E) = operatorname {Arg} xi left ({frac {1} {2}} + iEight).}$

Funkce vyhlazení

Rozdíl vyhlazené funkce Čebyšev a X²/2 pro X < 10⁶

The vyhlazovací funkce je definován jako

${displaystyle psi _ {1} (x) = int _ {0} ^ {x} psi (t), dt.}$

To lze ukázat

${displaystyle psi _ {1} (x) sim {frac {x ^ {2}} {2}}.}$

Variační formulace

Funkce Čebyšev hodnocena na X = E^t minimalizuje funkčnost

${displaystyle J [f] = int _ {0} ^ {infty} {frac {f (s) zeta '(s + c)} {zeta (s + c) (s + c)}}, ds-int _ {0} ^ {infty} !!! int _ {0} ^ {infty} e ^ {- st} f (s) f (t), ds, dt,}$

tak

${displaystyle f (t) = psi vlevo (e ^ {t} ight) e ^ {- ct} quad {ext {for}} c> 0.}$

Poznámky

• ^ Pierre Dusart „Odhady některých funkcí nad prvočísla bez R.H.“. arXiv:1002.0442
• ^ Pierre Dusart, „Ostřejší hranice ψ, θ, π, p_k", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. Zkrácená verze se objevila jako„ The kth prime je větší než k(ln k + ln ln k − 1) pro k ≥ 2", Matematika výpočtu, Sv. 68, č. 225 (1999), str. 411–415.
• ^ Erhard Schmidt, „Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze“, Mathematische Annalen, 57 (1903), str. 195–204.
• ^ G .H. Hardy a J. E. Littlewood, „Příspěvky k teorii funkce Riemanna Zeta a teorii distribuce prvočísel“, Acta Mathematica, 41 (1916), str. 119–196.
• ^ Davenport, Harold (2000). v Multiplikativní teorie čísel. Springer. p. 104. ISBN  0-387-95097-4. Vyhledávání knih Google.

Reference

• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Čebyševovy funkce". MathWorld.
• "Mangoldtova součtová funkce". PlanetMath.
• "Čebyševovy funkce". PlanetMath.
• Riemannova výslovná formulace s obrázky a filmy