Multiplikativní funkce - Multiplicative function

Vnější teorie čísel, termín multiplikativní funkce se obvykle používá pro zcela multiplikativní funkce. Tento článek popisuje teoretické multiplikativní funkce čísel.

v teorie čísel, a multiplikativní funkce je aritmetická funkce F(n) pozitivu celé číslo n s majetkem, který F(1) = 1 a kdykoliA a b jsou coprime, pak

${displaystyle f (ab) = f (a) f (b).}$

Aritmetická funkce F(n) se říká, že je zcela multiplikativní (nebo naprosto multiplikativní) pokud F(1) = 1 a F(ab) = F(A)F(b) drží pro všechny kladná celá čísla A a b, i když nejsou coprime.

Příklady

Některé multiplikativní funkce jsou definovány pro snazší psaní vzorců:

• 1(n): konstantní funkce definovaná 1 (n) = 1 (zcela multiplikativní)
• Id (n): funkce identity, definované Id (n) = n (zcela multiplikativní)
• Id_k(n): výkonové funkce definované Id_k(n) = n^k pro jakékoli komplexní číslo k (zcela multiplikativní). Jako zvláštní případy máme
  • Id₀(n) = 1(n) a
  • Id₁(n) = Id (n).
• ε(n): funkce definovaná ε(n) = 1 pokud n = 1 a 0 jinak, někdy nazývané násobící jednotka pro Dirichletova konvoluce nebo jednoduše funkce jednotky (zcela multiplikativní). Někdy psáno jako u(n), ale nesmí být zaměňována s μ(n) .
• 1_C(n), funkce indikátoru sady C ⊂ Z, pro určité sady C. Funkce indikátoru 1_C(n) je multiplikativní přesně, když je soubor C má následující vlastnost pro všechna čísla coprime A a b: produkt ab je v C právě když čísla A a b jsou oba sami v C. To je případ, pokud C je sada čtverců, kostek nebo k-té pravomoci, nebo pokud C je sada bez čtverce čísla.

Mezi další příklady multiplikativních funkcí patří mnoho důležitých funkcí v teorii čísel, například:

• gcd (n,k): největší společný dělitel z n a k, jako funkce n, kde k je pevné celé číslo.
• ${displaystyle varphi}$(n): Eulerova totientová funkce ${displaystyle varphi}$, počítání kladných celých čísel coprime do (ale ne větší než) n
• μ(n): Möbiova funkce, parita (−1 pro liché, +1 pro sudé) počtu hlavních faktorů bez čtverce čísla; 0 pokud n není čtvercový
• σ_k(n): funkce dělitele, což je součet k-té pravomoci všech kladných dělitelů n (kde k může být jakýkoli komplexní číslo ). Speciální případy, které máme
  • σ₀(n) = d(n) počet kladných dělitele z n,
  • σ₁(n) = σ(n), součet všech kladných dělitelů n.
• A(n): počet neizomorfních abelianských skupin řádu n.
• λ(n): Funkce Liouville, λ(n) = (−1)^{Ω (n)} kde Ω (n) je celkový počet dělení (počítáno s multiplicitou) dělení n. (zcela multiplikativní).
• y(n), definován y(n) = (−1)^ω(n), Kde aditivní funkce ω(n) je počet různých prvočísel dělení n.
• τ(n): Funkce Ramanujan tau.
• Všechno Dirichletovy postavy jsou zcela multiplikativní funkce. Například
  • (n/p), Legendární symbol, považovaný za funkci n kde p je pevná prvočíslo.

Příkladem non-multiplikativní funkce je aritmetická funkce r₂(n) - počet vyjádření n jako součet čtverců dvou celých čísel, pozitivní, negativní nebo nula, kde při počítání počtu způsobů je povoleno obrácení pořadí. Například:

1 = 1² + 0² = (−1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (−1)²

a proto r₂(1) = 4 ≠ 1. To ukazuje, že funkce není multiplikativní. Nicméně, r₂(n) / 4 je multiplikativní.

V On-line encyklopedie celočíselných sekvencí, posloupnosti hodnot multiplikativní funkce mít klíčové slovo „mult“.

Vidět aritmetická funkce pro některé další příklady non-multiplikativních funkcí.

Vlastnosti

Multiplikativní funkce je zcela určena svými hodnotami na mocninách prvočísla, důsledek základní teorém aritmetiky. Pokud tedy n je produktem pravomocí odlišných prvočísel n = p^A q^b ..., pak F(n) = F(p^A) F(q^b) ...

Tato vlastnost multiplikativních funkcí významně snižuje potřebu výpočtu, jako v následujících příkladech pro n = 144 = 2⁴ · 3²:

d (144) = σ₀(144) = σ₀(2⁴)σ₀(3²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

σ(144) = σ₁(144) = σ₁(2⁴)σ₁(3²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403,

σ^*(144) = σ^*(2⁴)σ^*(3²) = (1¹ + 16¹)(1¹ + 9¹) = 17 · 10 = 170.

Podobně máme:

${displaystyle varphi}$(144)=${displaystyle varphi}$(2⁴)${displaystyle varphi}$(3²) = 8 · 6 = 48

Obecně, pokud F(n) je multiplikativní funkce a A, b jsou tedy libovolná dvě kladná celá čísla

F(A) · F(b) = F(gcd (A,b)) · F(lcm (A,b)).

Každá zcela multiplikativní funkce je a homomorfismus z monoidy a je zcela určen omezením na prvočísla.

Konvoluce

Li F a G jsou dvě multiplikativní funkce, jedna definuje novou multiplikativní funkci F * G, Dirichletova konvoluce z F a Gtím, že

${displaystyle (f, *, g) (n) = součet _ {d | n} f (d), gleft ({frac {n} {d}} noc)}$

kde součet přesahuje všechny kladné dělitele d z n. S touto operací se sada všech multiplikativních funkcí změní na abelianská skupina; the prvek identity je ε. Konvoluce je komutativní, asociativní a distribuční přes sčítání.

Mezi výše popsané multiplikativní funkce patří:

• μ * 1 = ε (dále jen Möbioův inverzní vzorec )
• (μ Id_k) * Id_k = ε (zobecněná Möbiova inverze)
• ${displaystyle varphi}$ * 1 = Id
• d = 1 * 1
• σ = Id * 1 = ${displaystyle varphi}$ * d
• σ_k = Id_k * 1
• Id = ${displaystyle varphi}$ * 1 = σ * μ
• Id_k = σ_k * μ

Dirichletovu konvoluci lze definovat pro obecné aritmetické funkce a poskytuje prstencovou strukturu, Dirichletův prsten.

The Dirichletova konvoluce dvou multiplikativních funkcí je opět multiplikativní. Důkazem této skutečnosti je následující expanze pro relativně prime ${displaystyle a, bin mathbb {Z} ^ {+}}$:

${displaystyle (fast g) (ab) = sum _ {d | ab} f (d) gleft ({frac {ab} {d}} ight) = sum _ {d_ {1} | a} sum _ {d_ { 2} | b} f (d_ {1} d_ {2}) gleft ({frac {ab} {d_ {1} d_ {2}}} ight) = součet _ {d_ {1} | a} f (d_ {1}) gleft ({frac {a} {d_ {1}}} ight) imes sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {2}) gleft ({frac {b} {d_ {2} }} ight) = (rychle g) (a) cdot (rychle g) (b).}$

Dirichletova řada pro některé multiplikativní funkce

• ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {mu (n)} {n ^ {s}}} = {frac {1} {zeta (s)}}}$
• ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {varphi (n)} {n ^ {s}}} = {frac {zeta (s-1)} {zeta (s)}}}$
• ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {d (n) ^ {2}} {n ^ {s}}} = {frac {zeta (s) ^ {4}} {zeta (2s)}}}$
• ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {2 ^ {omega (n)}} {n ^ {s}}} = {frac {zeta (s) ^ {2}} {zeta (2s)}}}$

Další příklady jsou uvedeny v článku o Dirichletova řada.

Multiplikativní funkce skončila F_q[X]

Nechat A = F_q[X], polynomický kruh nad konečné pole s q elementy. A je hlavní ideální doména a proto A je jedinečná faktorizační doména.

Funkce s komplexní hodnotou ${displaystyle lambda}$ na A je nazýván multiplikativní -li ${displaystyle lambda (fg) = lambda (f) lambda (g)}$ kdykoli F a G jsou relativně prime.

Funkce Zeta a řada Dirichlet v systému Windows F_q[X]

Nechat h být polynomiální aritmetickou funkcí (tj. funkcí na množině monických polynomů přes A). Jeho odpovídající Dirichletova řada je definována jako

${displaystyle D_ {h} (s) = součet _ {f {ext {monic}}} h (f) | f | ^ {- s},}$

kde pro ${displaystyle gin A,}$ soubor ${displaystyle | g | = q ^ {deg (g)}}$ -li ${displaystyle geq 0,}$ a ${displaystyle | g | = 0}$ v opačném případě.

Polynomiální zeta funkce je tedy

${displaystyle zeta _ {A} (s) = sum _ {f {ext {monic}}} | f | ^ {- s}.}$

Podobně jako situace v N, každá Dirichletova řada multiplikativní funkce h má zastoupení produktu (produkt Euler):

${displaystyle D_ {h} (s) = prod _ {P} left (sum _ {nmathop {=} 0} ^ {infty} h (P ^ {n}) | P | ^ {- sn} ight),}$

kde produkt běží přes všechny monické neredukovatelné polynomy P. Například reprezentace produktu funkce zeta je jako pro celá čísla:

${displaystyle zeta _ {A} (s) = prod _ {P} (1- | P | ^ {- s}) ^ {- 1}.}$

Na rozdíl od klasiky funkce zeta, ${displaystyle zeta _ {A} (s)}$ je jednoduchá racionální funkce:

${displaystyle zeta _ {A} (s) = součet _ {f} | f | ^ {- s} = součet _ {n} součet _ {deg (f) = n} q ^ {- sn} = součet _ { n} (q ^ {n-sn}) = (1-q ^ {1-s}) ^ {- 1}.}$

Podobným způsobem, pokud F a G jsou dvě polynomiální aritmetické funkce, jedna definuje F * G, Dirichletova konvoluce z F a Gtím, že

${displaystyle {egin {aligned} (f * g) (m) & = sum _ {dmid m} f (d) gleft ({frac {m} {d}} ight) & = sum _ {ab = m} f (a) g (b), konec {zarovnáno}}}$

kde součet převyšuje vše monické dělitele d zm, nebo ekvivalentně přes všechny páry (A, b) monických polynomů, jejichž součin je m. Identita ${displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h * g}}$ stále drží.

Viz také

• Produkt Euler
• Bell série
• Lambertova řada

Reference

• Viz kapitola 2 z Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel„Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001

externí odkazy

• Planet Math