Kvadratické pole - Quadratic field

Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: Rovnice by byly lépe prezentovány pomocí šablony {{math}} nebo notace $.$ Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Září 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v algebraická teorie čísel, a kvadratické pole je algebraické číslo pole K. z stupeň dva přes Q, racionální čísla. Mapa d ↦ Q(√d) je bijekce z soubor ze všech celá čísla bez čtverců d ≠ 0,1 na sadu všech kvadratických polí. Li d > 0, odpovídající kvadratické pole se nazývá a skutečné kvadratické pole, a pro d <0 an imaginární kvadratické pole nebo komplexní kvadratické pole, což odpovídá tomu, zda se jedná o a podpole pole pole reálná čísla.

Kvadratická pole byla studována ve velké hloubce, původně jako součást teorie binární kvadratické formy. Zůstávají některé nevyřešené problémy. The problém s číslem třídy je obzvláště důležité.

Kruh čísel

Diskriminační

Pro nenulový čtvereček zdarma celé číslo d, diskriminující kvadratického pole K.=Q(√d) je d -li d je shodný s 1 modulo 4 a jinak 4d. Například pokud d je tedy -1 K. je obor Gaussovské racionály a diskriminující je −4. Důvodem takového rozlišení je, že kruh celých čísel z K. generuje¹⁄₂(1+√d) v prvním případě, ale tím √d v druhém případě.

Sada diskriminátorů kvadratických polí je přesně ta sada základní diskriminující.

Připravte faktorizaci na ideály

Libovolné prvočíslo str dává vzniknout ideálu pO_K. v kruh celých čísel Ó_K. kvadratického pole K.. V souladu s obecnou teorií rozdělení hlavních ideálů v rozšířeních Galois, to může být^[1]

str je inertní

(str) je prvotřídním ideálem

Kvocient kvocientu je konečné pole s str² elementy: Ó_K./pO_K. = F_str²

str rozdělí se

(str) je produktem dvou odlišných hlavních ideálů Ó_K..

Kvocientem je produkt Ó_K./pO_K. = F_str × F_str.

str je rozvětvený

(str) je čtverec hlavního ideálu Ó_K..

Kruh kvocientu obsahuje nenulovou hodnotu nilpotentní elementy.

Třetí případ se stane právě tehdy str rozděluje diskriminujícího D. První a druhý případ nastanou, když Symbol Kronecker (D / str) se rovná -1, respektive +1. Například pokud str je liché prvočíslo, které se nedělí D, pak str rozdělí se jen tehdy D je shodné se čtvercovým modulo str. První dva případy jsou v jistém smyslu stejně pravděpodobné, že nastanou jako str běží přes prvočísla, viz Věta o Chebotarevově hustotě.^[2]

Zákon z kvadratická vzájemnost znamená, že rozdělení chování prvočísla str v kvadratickém poli závisí pouze na str modulo D, kde D je pole diskriminující.

Skupina tříd

Určení skupiny tříd rozšíření kvadratického pole lze provést pomocí Minkowski je spoután a Symbol Kronecker z důvodu konečnosti skupina tříd.^[3] Kvadratické pole ${ displaystyle K = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ má diskriminující

${ displaystyle Delta _ {K} = { začátek {případů} d & { text {if}} d = 4k + 1 4d & { text {if}} d = 4k + 3 konec {případů}} }$

takže Minkowski je vázán

${ displaystyle M_ {K} = { begin {cases} left ({ frac {4} { pi}} right) { frac {1} {2}} { sqrt {| d |}} & { text {if}} d <0 { text {and}} d = 4k + 1 vlevo ({ frac {4} { pi}} vpravo) { sqrt {| d |} } & { text {if}} d <0 { text {and}} d = 4k + 3 { frac {1} {2}} { sqrt {| d |}} & { text { if}} d> 0 { text {and}} d = 4k + 1 { sqrt {| d |}} & { text {if}} d> 0 { text {and}} d = 4k +3 end {cases}}}$

Potom je skupina ideálních tříd generována hlavními ideály, jejichž norma je menší než ${ displaystyle M_ {K}}$. Toho lze dosáhnout pohledem na rozklad ideálů ${ displaystyle (p)}$ pro ${ displaystyle p in mathbb {Z}}$ připravit kde ${ displaystyle | p |$^{[1] strana 72}. Tyto rozklady najdete pomocí Kummer-Dedekindova věta.

Kvadratická podpole cyklotomických polí

Kvadratické podpole hlavního cyklotomického pole

Klasickým příkladem konstrukce kvadratického pole je převzetí jedinečného kvadratického pole uvnitř cyklotomické pole generovaný primitivem str-tý kořen jednoty, s str prvočíslo> 2. Jedinečnost je důsledkem Galoisova teorie, přičemž existuje jedinečná podskupina index 2 ve skupině Galois Q. Jak je vysvětleno v Gaussovské období, diskriminátor kvadratického pole je str pro str = 4n + 1 a -str pro str = 4n + 3. To lze také dostatečně předvídat rozvětvení teorie. Ve skutečnosti str je jediným prvočíslem, které se rozvětvuje v cyklotomickém poli, takže str je jediným prvočíslem, které dokáže rozdělit kvadratické pole na diskriminační. To vylučuje „ostatní“ diskriminující −4str a 4str v příslušných případech.

Jiná cyklotomická pole

Pokud někdo vezme další cyklotomická pole, mají Galoisovy skupiny s extra 2 torzemi, a tak obsahují alespoň tři kvadratická pole. Obecně kvadratické pole pole rozlišuje D lze získat jako podpole cyklotomického pole o D-té kořeny jednoty. To vyjadřuje skutečnost, že dirigent kvadratického pole je absolutní hodnota jeho diskriminačního, zvláštního případu vodič-diskriminační vzorec.

Objednávky kvadratického počtu polí malého diskriminačního

Následující tabulka ukazuje některé objednávky malého diskriminátoru kvadratických polí. The maximální pořadí pole algebraického čísla je jeho kruh celých čísel, a diskriminátor maximálního řádu je diskriminátor pole. Diskriminant maximálního řádu je součinem diskriminátoru odpovídajícího maximálního řádu druhou mocninou determinantu matice, která vyjadřuje základ maximálního řádu nad základem maximálního řádu. Všechny tyto diskriminátory mohou být definovány vzorcem Diskriminující algebraické číselné pole § Definice.

U skutečných kvadratických celočíselných kruhů je ideální číslo třídy, který měří selhání jedinečné faktorizace, je uveden v OEIS A003649; pro imaginární případ jsou uvedeny v OEIS A000924.

Některé z těchto příkladů jsou uvedeny v Artin, Algebra (2^nd vyd.), §13.8.

Viz také

Poznámky

Reference

• Buell, Duncan (1989), Binární kvadratické formy: klasická teorie a moderní výpočty, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97037-1 Kapitola 6.
• Samuel, Pierre (1972), Algebraická teorie čísel (Vázaná kniha ed.), Paříž / Boston: Hermann / Houghton Mifflin Company, ISBN  978-0-901-66506-5
  • Samuel, Pierre (2008), Algebraická teorie čísel (Paperback ed.), Dover, ISBN  978-0-486-46666-8
• Stewart, I.N.; Tall, D. O. (1979), Algebraická teorie čísel, Chapman a Hall, ISBN  0-412-13840-9 Kapitola 3.1.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Kvadratické pole“. MathWorld.
• „Kvadratické pole“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]