Mersenne dohady - Mersenne conjectures

v matematika, Mersenne dohady se týkají charakterizace prvočísla formuláře zvaného Mersenne připraví, což znamená prvočísla, která jsou a síla dvou minus jedna.

Původní Mersennova domněnka

Originál, tzv Mersennova domněnka, bylo prohlášení od Marin Mersenne v jeho Cogitata Physico-Mathematica (1644; viz např. Dickson 1919), že čísla ${ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ byly pro n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 a 257 a byly kompozitní pro všechna ostatní kladná celá čísla n ≤ 257. Vzhledem k velikosti těchto čísel Mersenne všechny neotestoval a nemohl vyzkoušet, stejně jako jeho vrstevníci v 17. století. To bylo nakonec určeno po třech stoletích a dostupnosti nových technik, jako je Lucas – Lehmerův test, že Mersennova domněnka obsahovala pět chyb, jmenovitě dvě jsou složené (chyby odpovídající prvočíslům n = 67, 257) a tři vynechaná prvočísla (odpovídající prvočíslům n = 61, 89, 107). Správný seznam je: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 a 127.

I když je původní Mersennova domněnka nepravdivá, mohla vést k Nová Mersennova domněnka.

Nová Mersennova domněnka

The Nová Mersennova domněnka nebo Dohady Bateman, Selfridge a Wagstaff (Bateman et al. 1989) uvádí, že pro všechny zvláštní přirozené číslo p, pokud platí některá z následujících podmínek, platí i třetí:

1. p = 2^k ± 1 nebo p = 4^k ± 3 pro nějaké přirozené číslo k. (OEIS: A122834)
2. 2^p - 1 je prvočíslo (a Mersenne prime ). (OEIS: A000043)
3. (2^p + 1) / 3 je prvočíslo (a Wagstaff prime ). (OEIS: A000978)

Li p je zvláštní složené číslo, pak 2^p - 1 a (2^p + 1) / 3 jsou oba složené. Proto je pouze nutné testovat prvočísla k ověření pravdivosti dohad.

V současné době jsou známá čísla, pro která platí všechny tři podmínky: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (sekvence A107360 v OEIS ). Rovněž existuje domněnka, že žádné číslo větší než 127 nesplňuje všechny tři podmínky. Od února 2020 všechny Mersenne připraví až na 2^43112609−1 jsou známy a pro žádnou z těchto podmínek třetí podmínka neplatí, kromě těch, které jsou právě zmíněny.^[1]

Prvočísla, která splňují alespoň jednu podmínku, jsou

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (sekvence A120334 v OEIS )

Všimněte si, že dvě prvočísla, u nichž je původní Mersennova domněnka nepravdivá (67 a 257), splňují první podmínku nové domněnky (67 = 2⁶+3, 257=2⁸+1), ale ne další dva. 89 a 107, které Mersenne minul, splňují druhou podmínku, ale ne další dvě. Mersenne si možná myslel, že 2^p - 1 je hlavní, pouze pokud p = 2^k ± 1 nebo p = 4^k ± 3 pro nějaké přirozené číslo k, ale pokud si myslel, že to bylo „kdyby a jen kdyby „zahrnoval by 61.

Nový Mersennovu domněnku lze považovat za pokus o záchranu staleté Mersennovy domněnky, což je nepravdivé. Nicméně podle Robert D. Silverman, John Selfridge souhlasil, že domněnka New Mersenne je „zjevně pravdivá“, protože byla zvolena tak, aby odpovídala známým údajům, a protiklady nad rámec těchto případů jsou mimořádně nepravděpodobné. Lze jej považovat spíše za zvědavé pozorování než za otevřenou otázku, kterou je třeba dokázat.

Renaud Lifchitz ukázal, že NMC platí pro všechna celá čísla menší nebo rovna 30 402 456^[2] systematickým testováním všech prvočísel, u nichž je již známo, že platí některá z podmínek. Jeho web dokumentuje ověření výsledků až do tohoto počtu. Další, aktuálně aktuální stránka stavu v NMC je Dohoda New Mersenne Prime.

Lenstra – Pomerance – Wagstaffova domněnka

Lenstra, Pomerance, a Wagstaff domnívali se, že existuje nekonečné množství Mersenne připraví, a přesněji řečeno, že počet Mersenne připravuje méně než X je asymptoticky aproximováno

${ displaystyle e ^ { gamma} cdot log _ {2} log _ {2} (x),}$^[3]

kde γ je Euler – Mascheroniho konstanta. Jinými slovy, počet Mersennových prvočísel s exponentem p méně než y je asymptoticky

${ displaystyle e ^ { gamma} cdot log _ {2} (y).}$^[3]

To znamená, že by jich mělo být v průměru asi ${ displaystyle e ^ { gamma} cdot log _ {2} (10)}$ ≈ 5,92 prvočísel p daného počtu desetinných míst takového, že ${ displaystyle M_ {p}}$ je hlavní. Domněnka je poměrně přesná pro prvních 40 Mersennových prvočísel, ale mezi 2^20,000,000 a 2^85,000,000 je jich nejméně 12,^[4] spíše než očekávané číslo, které je kolem 3,7.

Obecněji počet prvočísel p ≤ y takhle ${ displaystyle { frac {a ^ {p} -b ^ {p}} {a-b}}}$ je prime (kde A, b jsou coprime celá čísla, A > 1, −A < b < A, A a b nejsou oba perfektní r-tá mocnina pro jakékoli přirozené číslo r > 1 a −4ab není dokonalý čtvrtá síla ) je asymptoticky

${ displaystyle (e ^ { gamma} + m cdot log _ {e} (2)) cdot log _ {a} (y).}$

kde m je největší nezáporné celé číslo takové, že A a -b jsou oba perfektní 2^m-té pravomoci. Případ Mersennových prvočísel je jedním z případů (A, b) = (2, 1).

Viz také

• Gilliesova domněnka o distribuci čísel hlavních faktorů Mersennových čísel
• Lucas – Lehmerův test primality
• Lucasův test primality
• Katalánská domněnka o Mersenne
• Mersennovy zákony

Reference

• Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; Wagstaff, Jr., Samuel S. (1989). „Nový Mersennovy dohady“. Americký matematický měsíčník. Mathematical Association of America. 96 (2): 125–128. doi:10.2307/2323195. JSTOR  2323195. PAN  0992073.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Dickson, L. E. (1919). Dějiny teorie čísel. Carnegie Institute of Washington. str. 31. OL  6616242M. Přetištěno v Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN  0-8284-0086-5.

externí odkazy

• Prvotní stránky. Mersennova domněnka.