Fermatova věta o polygonálním čísle - Fermat polygonal number theorem

v teorie aditivních čísel, Fermatova věta o polygonálním čísle uvádí, že každé kladné celé číslo je součtem maximálně $n$ $n$ - úhlová čísla. To znamená, že každé kladné celé číslo lze zapsat jako součet tří nebo méně trojúhelníková čísla, a jako součet čtyř nebo méně čtvercová čísla, a jako součet pěti nebo méně pětiboká čísla, a tak dále. Toto je $n$ -gonal numbers form an aditivní základ řádu $n$ .

Příklady

Níže jsou například uvedena tři taková znázornění čísla 17:

17 = 10 + 6 + 1 (trojúhelníková čísla)
17 = 16 + 1 (čtvercová čísla)
17 = 12 + 5 (pětiboká čísla).

Dějiny

Věta je pojmenována po Pierre de Fermat, který to uvedl v roce 1638 bez důkazů a slíbil, že to napíše v samostatném díle, které se nikdy neobjevilo.^[1]Joseph Louis Lagrange prokázal čtvercové pouzdro v roce 1770, kde se uvádí, že každé kladné číslo lze reprezentovat jako součet čtyř čtverců, například 7 = 4 + 1 + 1 + 1.^[1] Gauss dokázal trojúhelníkový případ v roce 1796, připomínající tuto příležitost napsáním jeho deník linie "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ",^[2] a vydal ve své knize důkaz Disquisitiones Arithmeticae. Z tohoto důvodu je Gaussův výsledek někdy známý jako Věta Eureka.^[3] Věta o úplném polygonálním čísle nebyla vyřešena, dokud ji nakonec neprokázal Cauchy v roce 1813.^[1] Důkaz Nathanson (1987) je založeno na následujícím lemmatu způsobeném Cauchy:

Pro lichá kladná celá čísla $A$ a $b$ takhle $b 2 < 4 A$ a $3 A < b 2 + 2 b + 4$ můžeme najít nezáporná celá čísla $s$ , $t$ , $u$ , a $proti$ takhle $A = s 2 + t 2 + u 2 + proti 2$ a $b = s + t + u + proti$ .

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C Heath (1910).
^ Bell, Eric Temple (1956), „Gauss, princ matematiků“, Newman, James R. (ed.), Svět matematiky, Já, Simon & Schuster, str. 295–339. Dover dotisk, 2000, ISBN 0-486-41150-8.
^ Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), „O reprezentaci celých čísel jako součtu trojúhelníkových čísel“, Aequationes Mathematicae, 50 (1–2): 73–94, doi:10.1007 / BF01831114, PAN 1336863.

Reference

Weisstein, Eric W. „Fermatova věta o polygonálním čísle“. MathWorld.
Heath, pane Thomase Little (1910), Diophantus z Alexandrie; studie z dějin řecké algebry, Cambridge University Press, str. 188.
Nathanson, Melvyn B. (1987), „Krátký důkaz Cauchyho věty o polygonálních číslech“, Proceedings of the American Mathematical Society, 99 (1): 22–24, doi:10.2307/2046263, PAN 0866422.
Nathanson, Melvyn B. (1996), Teorie aditivních čísel Klasické základy, Berlín: Springer, ISBN 978-0-387-94656-6. Má důkazy Lagrangeovy věty a věty o polygonálním čísle.

[heath-1] A ^b ^C Heath (1910).

[2] Bell, Eric Temple (1956), „Gauss, princ matematiků“, Newman, James R. (ed.), Svět matematiky, Já, Simon & Schuster, str. 295–339. Dover dotisk, 2000, ISBN 0-486-41150-8.

[3] Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), „O reprezentaci celých čísel jako součtu trojúhelníkových čísel“, Aequationes Mathematicae, 50 (1–2): 73–94, doi:10.1007 / BF01831114, PAN 1336863.

[1]

[2]

[3]