Funkce digamma - Digamma function

Funkce digamma ${ displaystyle psi (z)}$,
vizualizováno diskontinuálně zbarvení domény

Skutečné části grafů digammy a dalších tří polygammatických funkcí podél reálné linie

v matematika, funkce digamma je definován jako logaritmická derivace z funkce gama:^[1][2]

${ displaystyle psi (x) = { frac {d} {dx}} ln { big (} Gamma (x) { big)} = { frac { Gamma '(x)} { Gama (x)}}.}$

Je to první z polygamma funkce.

Funkce digamma je často označována jako ${ displaystyle psi _ {0} (x), psi ^ {(0)} (x)}$ nebo Ϝ^{[Citace je zapotřebí ]} (velká forma archaické řečtiny souhláska digamma význam dvojitá gama ).

Vztah k harmonickým číslům

Funkce gama se řídí rovnicí

${ Displaystyle Gamma (z + 1) = z Gamma (z). ,}$

Vezmeme-li derivát s ohledem na z dává:

${ Displaystyle Gamma '(z + 1) = z Gamma' (z) + Gamma (z) ,}$

Dělení Γ (z + 1) nebo ekvivalent zΓ (z) dává:

${ displaystyle { frac { Gamma '(z + 1)} { Gamma (z + 1)}} = { frac { Gamma' (z)} { Gamma (z)}} + { frac {1} {z}}}$

nebo:

${ displaystyle psi (z + 1) = psi (z) + { frac {1} {z}}}$

Protože harmonická čísla jsou definována pro kladná celá čísla n tak jako

${ displaystyle H_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}},}$

funkce digamma s nimi souvisí

${ displaystyle psi (n) = H_ {n-1} - gamma,}$

kde H₀ = 0, a y je Euler – Mascheroniho konstanta. U argumentů s polovičním číslem přebírá hodnoty funkce digamma

${ displaystyle psi left (n + { tfrac {1} {2}} right) = - gamma -2 ln 2+ sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {2} {2k-1}}.}$

Integrální reprezentace

Pokud je skutečná část z je kladná, pak má funkce digamma následující integrální zastoupení kvůli Gaussovi:^[3]

${ displaystyle psi (z) = int _ {0} ^ { infty} vlevo ({ frac {e ^ {- t}} {t}} - { frac {e ^ {- zt}} {1-e ^ {- t}}} vpravo) , dt.}$

Kombinace tohoto výrazu s integrální identitou pro Euler – Mascheroniho konstanta ${ displaystyle gamma}$ dává:

${ displaystyle psi (z + 1) = - gamma + int _ {0} ^ {1} doleva ({ frac {1-t ^ {z}} {1-t}} doprava) , dt.}$

Integrál je Eulerův harmonické číslo ${ displaystyle H_ {z}}$, takže lze napsat i předchozí vzorec

${ displaystyle psi (z + 1) = psi (1) + H_ {z}.}$

Důsledkem je následující zobecnění relace opakování:

${ displaystyle psi (w + 1) - psi (z + 1) = H_ {w} -H_ {z}.}$

Integrální vyjádření kvůli Dirichletovi je:^[3]

${ displaystyle psi (z) = int _ {0} ^ { infty} vlevo (e ^ {- t} - { frac {1} {(1 + t) ^ {z}}} vpravo ) , { frac {dt} {t}}.}$

Gaussova integrální reprezentace může být manipulována tak, aby poskytla začátek asymptotické expanze ${ displaystyle psi}$.^[4]

${ displaystyle psi (z) = log z - { frac {1} {2z}} - int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {2}} - { frac {1} {t}} + { frac {1} {e ^ {t} -1}} right) e ^ {- tz} , dt.}$

Tento vzorec je také důsledkem prvního Binetova integrálu pro funkci gama. Integrál lze rozpoznat jako a Laplaceova transformace.

Binetův druhý integrál pro funkci gama dává jiný vzorec pro ${ displaystyle psi}$ což také dává prvních pár podmínek asymptotické expanze:^[5]

${ displaystyle psi (z) = log z - { frac {1} {2z}} - 2 int _ {0} ^ { infty} { frac {t , dt} {(t ^ { 2} + z ^ {2}) (e ^ {2 pi t} -1)}}.}$

Z definice ${ displaystyle psi}$ a integrální reprezentace funkce gama, jeden získá

${ displaystyle psi (z) = { frac {1} { Gamma (z)}} int _ {0} ^ { infty} t ^ {z-1} ln (t) e ^ {- t} , dt,}$

s ${ displaystyle Re z> 0}$.^[6]

Nekonečné zastoupení produktu

Funkce ${ displaystyle psi (z) / gama (z)}$ je celá funkce,^[7] a může být reprezentován nekonečným produktem

${ displaystyle { frac { psi (z)} { Gamma (z)}} = - e ^ {2 gamma z} prod _ {k = 0} ^ { infty} vlevo (1- { frac {z} {x_ {k}}} right) e ^ { frac {z} {x_ {k}}}.}$

Tady ${ displaystyle x_ {k}}$ je knula ${ displaystyle psi}$ (viz níže) a ${ displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta.

Poznámka: To se také rovná ${ displaystyle - { frac {d} {dz}} { frac {1} { Gamma (z)}}}$ z důvodu definice funkce digamma: ${ displaystyle { frac { Gamma '(z)} { Gamma (z)}} = psi (z)}$.

Sériový vzorec

Eulerův produktový vzorec pro funkci gama v kombinaci s funkční rovnicí a identitou pro konstantu Euler-Mascheroni poskytuje následující výraz pro funkci digamma, platný v komplexní rovině mimo záporná celá čísla (Abramowitz a Stegun 6.3.16):^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} psi (z + 1) & = - gamma + sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n}} - { frac {1} {n + z}} right), qquad z neq -1, -2, -3, ldots, & = - gamma + sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {z} {n (n + z)}} right), qquad z neq -1, -2, -3, ldots. end {zarovnáno}}}$

Ekvivalentně

${ displaystyle { begin {aligned} psi (z) & = - gamma + sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {n + 1}} - { frac {1} {n + z}} right), qquad z neq 0, -1, -2, ldots, & = - gamma + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z-1} {(n + 1) (n + z)}}, qquad z neq 0, -1, -2, ldots, end {zarovnáno}}}$

Hodnocení součtů racionálních funkcí

Výše uvedenou identitu lze použít k vyhodnocení součtů formuláře

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} u_ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {p (n)} {q (n)}} ,}$

kde p(n) a q(n) jsou polynomy o n.

Předvádění částečný zlomek na u_n v komplexním poli, v případě, že všechny kořeny q(n) jsou jednoduché kořeny,

${ displaystyle u_ {n} = { frac {p (n)} {q (n)}} = součet _ {k = 1} ^ {m} { frac {a_ {k}} {n + b_ {k}}}.}$

Aby se série sbíhala,

${ displaystyle lim _ {n to infty} nu_ {n} = 0,}$

jinak bude řada větší než harmonická řada a tím se rozcházejí. Proto

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} = 0,}$

a

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 0} ^ { infty} u_ {n} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {a_ {k}} {n + b_ {k}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} left ({ frac {1} {n + b_ {k}}} - { frac {1} {n + 1}} right) & = sum _ {k = 1} ^ {m} left (a_ {k} sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {n + b_ {k}}} - { frac {1} { n + 1}} right) right) & = - sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} { big (} psi (b_ {k}) + gamma { velký)} & = - sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} psi (b_ {k}). end {zarovnáno}}}$

S rozšířením série o vyšší hodnost funkce polygammy zobecněný vzorec může být uveden jako

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} u_ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {k = 1} ^ {m} { frac { a_ {k}} {(n + b_ {k}) ^ {r_ {k}}}} = součet _ {k = 1} ^ {m} { frac {(-1) ^ {r_ {k} }} {(r_ {k} -1)!}} a_ {k} psi ^ {r_ {k} -1} (b_ {k}),}$

za předpokladu, že řada na levé straně konverguje.

Taylor série

Digamma má racionální série zeta, dané Taylor série v z = 1. Tohle je

${ displaystyle psi (z + 1) = - gamma - součet _ {k = 1} ^ { infty} zeta (k + 1) (- z) ^ {k},}$

který konverguje pro |z| < 1. Tady, ζ(n) je Funkce Riemann zeta. Tato řada je snadno odvozena z odpovídající Taylorovy řady pro Funkce Hurwitz zeta.

Newtonova řada

The Newtonova řada pro digammu, někdy označovanou jako Sternova série,^[8][9] čte

${ displaystyle psi (s + 1) = - gamma - součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} { binom {s } {k}}}$

kde (^s
_k) je binomický koeficient. Lze to také zobecnit na

${ displaystyle psi (s + 1) = - gamma - { frac {1} {m}} součet _ {k = 1} ^ {m-1} { frac {mk} {s + k} } - { frac {1} {m}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} left {{ binom { s + m} {k + 1}} - { binom {s} {k + 1}} right }, qquad Re (s)> - 1,}$

kde m = 2,3,4,...^[9]

Série s Gregoryho koeficienty, Cauchyovými čísly a Bernoulliho polynomy druhého druhu

Pro digammu existují různé řady obsahující racionální koeficienty pouze pro racionální argumenty. Zejména série s Gregoryho koeficienty G_n je

${ displaystyle psi (v) = ln v- součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |} (n-1)! } {(v) _ {n}}}, qquad Re (v)> 0,}$

${ displaystyle psi (v) = 2 ln gama (v) -2v ln proti + 2v + 2 ln v- ln 2 pi -2 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} (2) { big |}} {(v) _ {n}}} , (n-1)!, qquad Re (v)> 0 ,}$

${ displaystyle psi (v) = 3 ln gama (v) -6 zeta '(-1, v) + 3v ^ {2} ln {v} - { frac {3} {2}} v ^ {2} -6v ln (v) + 3v + 3 ln {v} - { frac {3} {2}} ln 2 pi + { frac {1} {2}} - 3 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} (3) { big |}} {(v) _ {n}}} , (n- 1)!, Qquad Re (v)> 0,}$

kde (proti)_n je rostoucí faktoriál (proti)_n = proti(proti+1)(proti+2) ... (proti+n-1), G_n(k) jsou Gregoryho koeficienty vyššího řádu s G_n(1) = G_n, Γ je funkce gama a ζ je Funkce Hurwitz zeta.^[10][9]Podobné řady s Cauchyovými čísly druhého druhu C_n čte^[10][9]

${ displaystyle psi (v) = ln (v-1) + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {C_ {n} (n-1)!} {(v) _ {n}}}, qquad Re (v)> 1,}$

Série s Bernoulliho polynomy druhého druhu má následující podobu^[9]

${ displaystyle psi (v) = ln (v + a) + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n} (a ) , (n-1)!} {(v) _ {n}}}, qquad Re (v)> - a,}$

kde ψ_n(A) jsou Bernoulliho polynomy druhého druhu definováno generační rovnicí

${ displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {a}} { ln (1 + z)}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} psi _ {n} (a) ,, qquad | z | <1 ,,}$

Lze to zobecnit na

${ displaystyle psi (v) = { frac {1} {r}} součet _ {l = 0} ^ {r-1} ln (v + a + l) + { frac {1} { r}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} N_ {n, r} (a) (n-1)!} {(v) _ { n}}}, qquad Re (v)> - a, quad r = 1,2,3, ldots}$

kde polynomy N_{n, r}(A) jsou dány následující generující rovnicí

${ displaystyle { frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} { ln (1 + z)}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, qquad | z | <1,}$

aby N_{n, 1}(A) = ψ_n(A).^[9] Podobné výrazy s logaritmem funkce gama zahrnují tyto vzorce^[9]

${ displaystyle psi (v) = { frac {1} {v + a - { tfrac {1} {2}}}} vlevo { ln gama (v + a) + v - { frac {1} {2}} ln 2 pi - { frac {1} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! right }, qquad Re (v)> - a,}$

a

${ displaystyle psi (v) = { frac {1} {{ tfrac {1} {2}} r + v + a-1}} left { ln gama (v + a) + v - { frac {1} {2}} ln 2 pi - { frac {1} {2}} + { frac {1} {r}} sum _ {n = 0} ^ {r- 2} (rn-1) ln (v + a + n) + { frac {1} {r}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { n} N_ {n + 1, r} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! right }, qquad Re (v)> - a, quad r = 2,3,4, ldots}$

Reflexní vzorec

Funkce digamma splňuje a reflexní vzorec podobný tomu z funkce gama:

${ displaystyle psi (1-x) - psi (x) = pi postýlka pi x}$

Opakovací vzorec a charakterizace

Funkce digamma splňuje relace opakování

${ displaystyle psi (x + 1) = psi (x) + { frac {1} {x}}.}$

Lze tedy říci „dalekohled“ 1 / X, protože jeden má

${ displaystyle Delta [ psi] (x) = { frac {1} {x}}}$

kde Δ je operátor dopředného rozdílu. Tím je splněn vztah opakování částečného součtu harmonická řada, což implikuje vzorec

${ displaystyle psi (n) = H_ {n-1} - gamma}$

kde y je Euler – Mascheroniho konstanta.

Obecněji řečeno, jeden má

${ displaystyle psi (1 + z) = - gamma + součet _ {k = 1} ^ { infty} vlevo ({ frac {1} {k}} - { frac {1} {z + k}} vpravo).}$

pro ${ displaystyle Re (z)> 0}$. Další rozšíření série je:

${ displaystyle psi (1 + z) = ln (z) + { frac {1} {2z}} - displaystyle sum _ {j = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2j }} {2jz ^ {2j}}}}$,

kde ${ displaystyle B_ {2j}}$ jsou Bernoulliho čísla. Tato řada se rozchází pro všechny z a je známý jako Stirlingova řada.

Vlastně, ψ je jediným řešením funkční rovnice

${ displaystyle F (x + 1) = F (x) + { frac {1} {x}}}$

to je monotóní na ℝ⁺ a uspokojuje F(1) = −y. Tato skutečnost bezprostředně vyplývá z jedinečnosti Γ funkce vzhledem k její rovnici opakování a omezení konvexity. Z toho vyplývá užitečná rozdílová rovnice:

${ displaystyle psi (x + N) - psi (x) = součet _ {k = 0} ^ {N-1} { frac {1} {x + k}}}$

Některé konečné součty zahrnující funkci digammy

Existuje mnoho konečných součtových vzorců pro funkci digamma. Základní součtové vzorce, jako např

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m} psi left ({ frac {r} {m}} right) = - m ( gamma + ln m),}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m} psi vlevo ({ frac {r} {m}} vpravo) cdot exp { dfrac {2 pi rki} {m}} = m ln left (1- exp { frac {2 pi ki} {m}} right), qquad k in mathbb {Z}, quad m in mathbb {N}, k neq m.}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi vlevo ({ frac {r} {m}} vpravo) cdot cos { dfrac {2 pi rk} {m }} = m ln left (2 sin { frac {k pi} {m}} right) + gamma, qquad k = 1,2, ldots, m-1}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi vlevo ({ frac {r} {m}} vpravo) cdot sin { frac {2 pi rk} {m }} = { frac { pi} {2}} (2k-m), qquad k = 1,2, ldots, m-1}$

jsou kvůli Gaussovi.^[11][12] Složitější vzorce, jako např

${ displaystyle sum _ {r = 0} ^ {m-1} psi vlevo ({ frac {2r + 1} {2m}} vpravo) cdot cos { frac {(2r + 1) k pi} {m}} = m ln vlevo ( tan { frac { pi k} {2m}} vpravo), qquad k = 1,2, ldots, m-1}$

${ displaystyle sum _ {r = 0} ^ {m-1} psi vlevo ({ frac {2r + 1} {2m}} vpravo) cdot sin { dfrac {(2r + 1) k pi} {m}} = - { frac { pi m} {2}}, qquad k = 1,2, ldots, m-1}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi vlevo ({ frac {r} {m}} vpravo) cdot cot { frac { pi r} {m} } = - { frac { pi (m-1) (m-2)} {6}}}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi vlevo ({ frac {r} {m}} vpravo) cdot { frac {r} {m}} = - { frac { gamma} {2}} (m-1) - { frac {m} {2}} ln m - { frac { pi} {2}} sum _ {r = 1} ^ {m-1} { frac {r} {m}} cdot cot { frac { pi r} {m}}}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi vlevo ({ frac {r} {m}} vpravo) cdot cos { dfrac {(2 ell +1) pi r} {m}} = - { frac { pi} {m}} sum _ {r = 1} ^ {m-1} { frac {r cdot sin { dfrac {2 pi r} {m}}} { cos { dfrac {2 pi r} {m}} - cos { dfrac {(2 ell +1) pi} {m}}}}, qquad ell in mathbb {Z}}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi vlevo ({ frac {r} {m}} vpravo) cdot sin { dfrac {(2 ell +1) pi r} {m}} = - ( gamma + ln 2m) cot { frac {(2 ell +1) pi} {2m}} + sin { dfrac {(2 ell + 1) pi} {m}} sum _ {r = 1} ^ {m-1} { frac { ln sin { dfrac { pi r} {m}}} { cos { dfrac {2 pi r} {m}} - cos { dfrac {(2 ell +1) pi} {m}}}}, qquad ell in mathbb {Z}}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi ^ {2} left ({ frac {r} {m}} right) = (m-1) gamma ^ {2 } + m (2 gamma + ln 4m) ln {m} -m (m-1) ln ^ {2} 2 + { frac { pi ^ {2} (m ^ {2} -3m +2)} {12}} + m sum _ { ell = 1} ^ {m-1} ln ^ {2} sin { frac { pi ell} {m}}}$

jsou výsledkem prací některých moderních autorů (viz např. příloha B v Blagouchine (2014)^[13]).

Gaussova věta o digammě

Pro kladná celá čísla r a m (r < m), funkci digammy lze vyjádřit pomocí Eulerova konstanta a konečný počet základní funkce

${ displaystyle psi left ({ frac {r} {m}} right) = - gamma - ln (2m) - { frac { pi} {2}} cot left ({ frac {r pi} {m}} right) +2 sum _ {n = 1} ^ { left lfloor { frac {m-1} {2}} right rfloor} cos left ({ frac {2 pi nr} {m}} vpravo) ln sin vlevo ({ frac { pi n} {m}} vpravo)}$

který platí pro svou racionální rovnici pro všechny racionální argumenty.

Asymptotická expanze

Funkce digamma má asymptotickou expanzi

${ displaystyle psi (z) sim log z - { frac {1} {2z}} + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (1-2n)} {z ^ {2n}}} = log z - { frac {1} {2z}} - sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2n}} {2nz ^ { 2n}}},}$

kde B_k je kth Bernoulliho číslo a ζ je Funkce Riemann zeta. Prvních několik podmínek této expanze je:

${ displaystyle psi (z) cca log z - { frac {1} {2z}} - { frac {1} {12z ^ {2}}} + { frac {1} {120z ^ { 4}}} - { frac {1} {252z ^ {6}}} + { frac {1} {240z ^ {8}}} - { frac {5} {660z ^ {10}}} + { frac {691} {32760z ^ {12}}} - { frac {1} {12z ^ {14}}} + cdots.}$

Nekonečný součet se však neshoduje s žádným z, jakákoli konečná částečná částka se stává stále přesnější, protože z zvyšuje.

Expanzi lze zjistit použitím Euler – Maclaurin vzorec k součtu^[14]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} vlevo ({ frac {1} {n}} - { frac {1} {z + n}} vpravo)}$

Expanzi lze odvodit také z integrálního vyjádření vycházejícího z druhého Binetova integrálního vzorce pro funkci gama. Rozšiřuje se ${ displaystyle t / (t ^ {2} + z ^ {2})}$ jako geometrické řady a nahrazení integrální reprezentace Bernoulliho čísel vede ke stejné asymptotické řadě jako výše. Kromě toho rozšiřování pouze konečně mnoha termínů řady dává vzorec s výslovným chybovým termínem:

${ displaystyle psi (z) = log z - { frac {1} {2z}} - součet _ {n = 1} ^ {N} { frac {B_ {2n}} {2nz ^ {2n }}} + (- 1) ^ {N + 1} { frac {2} {z ^ {2N}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {2N + 1} , dt} {(t ^ {2} + z ^ {2}) (e ^ {2 pi t} -1)}}.}$

Nerovnosti

Když X > 0, funkce

${ displaystyle log x - { frac {1} {2x}} - psi (x)}$

je zcela monotónní a zvláště pozitivní. To je důsledek Bernsteinova věta o monotónních funkcích aplikován na integrální reprezentaci vycházející z prvního Binetova integrálu pro funkci gama. Navíc konvexní nerovností ${ displaystyle 1 + t leq e ^ {t}}$, integrand v této reprezentaci je ohraničen výše ${ displaystyle e ^ {- tz} / 2}$. tudíž

${ displaystyle { frac {1} {x}} - log x + psi (x)}$

je také zcela monotónní. Z toho vyplývá, že pro všechny X > 0,

${ displaystyle log x - { frac {1} {x}} leq psi (x) leq log x - { frac {1} {2x}}.}$

Tím se získá teorém Horst Alzer.^[15] Alzer to také dokázal, protože s ∈ (0, 1),

${ displaystyle { frac {1-s} {x + s}} < psi (x + 1) - psi (x + s),}$

Související meze získali Elezovic, Giordano a Pecaric, kteří to dokázali pro X > 0 ,

${ displaystyle log (x + { tfrac {1} {2}}) - { frac {1} {x}} < psi (x) < log (x + e ^ {- gamma}) - { frac {1} {x}},}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta.^[16] Konstanty objevující se v těchto mezích jsou nejlepší možné.^[17]

The věta o střední hodnotě znamená následující analog Gautschiho nerovnost: Pokud X > C, kde C ≈ 1.461 je jedinečný pozitivní skutečný kořen funkce digamma, a pokud s > 0, pak

${ displaystyle exp left ((1-s) { frac { psi '(x + 1)} { psi (x + 1)}} vpravo) leq { frac { psi (x + 1)} { psi (x + s)}} leq exp left ((1 s) { frac { psi '(x + s)} { psi (x + s)}} vpravo ).}$

Rovnost navíc platí tehdy a jen tehdy s = 1.^[18]

Horzt Alzer a Graham Jameson, inspirovaní nerovností středních hodnot harmonické pro klasickou funkci gama, prokázali mimo jiné nerovnost středních hodnot harmonické pro funkci digamma:

${ displaystyle - gamma leq { frac {2 psi (x) psi ({ frac {1} {x}})} { psi (x) + psi ({ frac {1} { X}})}}}$ pro ${ displaystyle x> 0}$

Rovnost platí tehdy a jen tehdy ${ displaystyle x = 1}$.^[19]

Výpočet a aproximace

Asymptotická expanze poskytuje snadný způsob výpočtu ψ(X) když skutečná část X je velký. Vypočítat ψ(X) pro malé Xrelace opakování

${ displaystyle psi (x + 1) = { frac {1} {x}} + psi (x)}$

lze použít k posunutí hodnoty X na vyšší hodnotu. Beal^[20] navrhuje použít výše uvedené opakování k posunu X na hodnotu větší než 6 a poté použití výše uvedené expanze s podmínkami výše X¹⁴ cut off, což poskytuje „více než dostatečnou přesnost“ (minimálně 12 číslic s výjimkou blízkosti nul).

Tak jako X jde do nekonečna, ψ(X) dostane libovolně blízko k oběma ln (X − 1/2) a ln X. Jít dolů z X + 1 na X, ψ klesá o 1 / X, ln (X − 1/2) klesá o ln (X + 1/2) / (X − 1/2), což je více než 1 / X, a ln X klesá o ln (1 + 1 / x), což je méně než 1 / X. Z toho vidíme, že pro všechny pozitivní X větší než 1/2,

${ displaystyle psi (x) in left ( ln left (x - { tfrac {1} {2}} right), ln x right)}$

nebo pro všechny pozitivní X,

${ displaystyle exp psi (x) in left (x - { tfrac {1} {2}}, x right).}$

Exponenciální exp ψ(X) je přibližně X − 1/2 pro velké X, ale přiblíží se X v malém X, blížící se 0 v X = 0.

Pro X < 1, můžeme vypočítat limity na základě skutečnosti, že mezi 1 a 2, ψ(X) ∈ [−y, 1 − y], tak

${ displaystyle psi (x) in left (- {{frac {1} {x}} - gamma, 1 - { frac {1} {x}} - gamma right), quad x v (0,1)}$

nebo

${ displaystyle exp psi (x) in left ( exp left (- { frac {1} {x}} - gamma right), e exp left (- { frac {1 } {x}} - gamma right) right).}$

Z výše uvedené asymptotické série pro ψ, lze odvodit asymptotickou řadu pro exp (-ψ(X)). Série dobře odpovídá celkovému chování, to znamená, že se chová asymptoticky, jak by měla u velkých argumentů, a má také nulovou neomezenou multiplicitu na počátku.

${ displaystyle { frac {1} { exp psi (x)}} sim { frac {1} {x}} + { frac {1} {2 cdot x ^ {2}}} + { frac {5} {4 cdot 3! cdot x ^ {3}}} + { frac {3} {2 cdot 4! cdot x ^ {4}}} + { frac {47} {48 cdot 5! Cdot x ^ {5}}} - { frac {5} {16 cdot 6! Cdot x ^ {6}}} + cdots}$

To je podobné Taylorově expanzi exp (-ψ(1 / y)) v y = 0, ale nekonverguje.^[21] (Funkce není analytický v nekonečnu.) Podobná řada existuje pro exp (ψ(X)) který začíná ${ displaystyle exp psi (x) sim x - { frac {1} {2}}.}$

Pokud někdo vypočítá asymptotickou řadu pro ψ(X+1/2) ukázalo se, že neexistují žádné zvláštní síly X (tady není žádný X⁻¹ období). To vede k následující asymptotické expanzi, která šetří výpočetní podmínky sudého řádu.

${ displaystyle exp psi left (x + { tfrac {1} {2}} right) sim x + { frac {1} {4! cdot x}} - { frac {37} {8 cdot 6! cdot x ^ {3}}} + { frac {10313} {72 cdot 8! cdot x ^ {5}}} - { frac {5509121} {384 cdot 10! cdot x ^ {7}}} + cdots}$

Speciální hodnoty

Výsledkem funkce digamma jsou hodnoty v uzavřené formě pro racionální čísla Gaussova věta o digammě. Některé jsou uvedeny níže:

${ displaystyle { begin {aligned} psi (1) & = - gamma psi left ({ tfrac {1} {2}} right) & = - 2 ln {2} - gamma psi left ({ tfrac {1} {3}} right) & = - { frac { pi} {2 { sqrt {3}}}} - { frac {3 ln {3}} {2}} - gamma psi left ({ tfrac {1} {4}} right) & = - { frac { pi} {2}} - 3 ln { 2} - gamma psi left ({ tfrac {1} {6}} right) & = - { frac { pi { sqrt {3}}} {2}} - 2 ln {2} - { frac {3 ln {3}} {2}} - gamma psi left ({ tfrac {1} {8}} right) & = - { frac { pi} {2}} - 4 ln {2} - { frac { pi + ln left (2 + { sqrt {2}} right) - ln left (2 - { sqrt { 2}} vpravo)} { sqrt {2}}} - gamma. End {zarovnáno}}}$

Navíc převzetím logaritmické derivace ${ displaystyle | Gamma (bi) | ^ {2}}$ nebo ${ displaystyle | Gamma ({ tfrac {1} {2}} + bi) | ^ {2}}$ kde ${ displaystyle b}$ má skutečnou hodnotu, lze z toho snadno odvodit

${ displaystyle operatorname {Im} psi (bi) = { frac {1} {2b}} + { frac { pi} {2}} coth ( pi b),}$

${ displaystyle operatorname {Im} psi ({ tfrac {1} {2}} + bi) = { frac { pi} {2}} tanh ( pi b).}$

Kromě Gaussovy věty o digammě není pro skutečnou část obecně znám žádný takový uzavřený vzorec. Máme například na imaginární jednotka numerická aproximace

${ displaystyle operatorname {Re} psi (i) = - gamma - součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {n-1} {n ^ {3} + n ^ {2 } + n + 1}} přibližně 0,09465.}$

Kořeny funkce digamma

Kořeny funkce digamma jsou sedlovými body funkce gama s komplexní hodnotou. Tak leží všichni na skutečná osa. Jediný na pozitivní skutečná osa je jedinečné minimum skutečné hodnoty gama funkce ℝ⁺ v X₀ = 1.461632144968.... Všechny ostatní se vyskytují samostatně mezi póly na záporné ose:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x_ {1} & = - 0,504 , 083 , 008 ldots, x_ {2} & = - 1,573 , 498 , 473 ldots, x_ {3 } & = - 2,610 , 720 , 868 ldots, x_ {4} & = - 3,635 , 293 , 366 ldots, & qquad vdots end {zarovnáno}}}$

Již v roce 1881, Charles Hermite pozorováno^[22] že

${ displaystyle x_ {n} = - n + { frac {1} { ln n}} + O left ({ frac {1} {( ln n) ^ {2}}} right)}$

drží asymptoticky. Lepší aproximace umístění kořenů je dána vztahem

${ displaystyle x_ {n} cca -n + { frac {1} { pi}} arctan vlevo ({ frac { pi} { ln n}} vpravo) qquad n geq 2}$

a používáním dalšího výrazu je to stále lepší

${ displaystyle x_ {n} cca -n + { frac {1} { pi}} arctan left ({ frac { pi} { ln n + { frac {1} {8n}}}} right) qquad n geq 1}$

přes které oba odráží odrazový vzorec

${ displaystyle 0 = psi (1-x_ {n}) = psi (x_ {n}) + { frac { pi} { tan pi x_ {n}}}}$

a nahrazovat ψ(X_n) jeho nekonvergentní asymptotickou expanzí. Správný druhý termín této expanze je 1 / 2n, kde daný funguje dobře pro aproximaci kořenů s malými n.

Lze uvést další vylepšení Hermitova vzorce:^[7]

${ displaystyle x_ {n} = - n + { frac {1} { log n}} - { frac {1} {2n ( log n) ^ {2}}} + O left ({ frac {1} {n ^ {2} ( log n) ^ {2}}} vpravo).}$

Pokud jde o nuly, István Mező a Michael Hoffman nedávno prokázali následující identity nekonečného součtu^[7]

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} & = gamma ^ {2} + { frac { pi ^ {2}} {2}}, součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {3}}} & = - 4 zeta (3) - gamma ^ {3} - { frac { gamma pi ^ {2}} {2}}, součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac { 1} {x_ {n} ^ {4}}} & = gamma ^ {4} + { frac { pi ^ {4}} {9}} + { frac {2} {3}} gamma ^ {2} pi ^ {2} +4 gamma zeta (3). End {zarovnáno}}}$

Obecně platí, že funkce

${ displaystyle Z (k) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {k}}}}$

lze určit a je podrobně studován citovanými autory.

Následující výsledky^[7]

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {2} + x_ {n}}} & = - 2, součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {2} -x_ {n}}} & = gamma + { frac { pi ^ {2 }} {6 gamma}} end {zarovnáno}}}$

také platí.

Tady y je Euler – Mascheroniho konstanta.

Regulace

Funkce digamma se objevuje v regularizaci divergentních integrálů

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {x + a}},}$

tento integrál lze aproximovat odlišnou obecnou harmonickou řadou, ale k této řadě lze připojit následující hodnotu

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + a}} = - psi (a).}$

Viz také

• Funkce Polygamma
• Funkce trigammy
• Čebyševovy expanze funkce digamma v Wimp, Jet (1961). "Polynomiální aproximace integrálních transformací". Matematika. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090 / S0025-5718-61-99221-3.

Reference

externí odkazy

• OEIS posloupnost A020759 (desetinné rozšíření (-1) * Gamma '(1/2) / Gamma (1/2), kde Gamma (x) označuje funkci Gamma) —Psi (1/2)

OEIS: A047787 psi (1/3), OEIS: A200064 psi (2/3), OEIS: A020777 psi (1/4), OEIS: A200134 psi (3/4), OEIS: A200135 na OEIS: A200138 psi (1/5) až psi (4/5).