Planigon - Planigon - Wikipedia

Tři pravidelné mnohoúhelníky, osm planigony, čtyři demiregulární planigony a šest nepoužitelných planigonských trojúhelníků, které se nemohou účastnit dvojitých uniformních naklonění; vše v měřítku. Jsou barevně inverzně k velikosti a seřazené podle velikosti v každé kategorii. Celý obrázek má poloviční velikost než všechny duální uniformní obklady (2560 × 1280 pixelů).

v geometrie, a planigon je konvexní mnohoúhelník který může naplnit letadlo pouze jeho kopiemi (které jsou izotopový do základní jednotky z monohedrální mozaiky ). V euklidovské rovině jsou 3 pravidelné tvary rovnostranný trojúhelník, čtverce, a pravidelné šestiúhelníky; a 8 semiregulárních forem; a 4-demiregulární tvary, které mohou obkládat rovinu jinými planigony.

Všechny úhly planigonu jsou celé dělitele 360 °. Obklady jsou vytvářeny spojením od okraje k okraji kolmými půlícími hranami původní jednotné mřížky nebo centroidy podél společných okrajů (shodují se).

Obklady vyrobené z planigonů lze vidět jako dvojité obklady do pravidelné, semiregulární, a demiregulární náklony letadla o pravidelné mnohoúhelníky.

Dějiny

V knize z roku 1987 Obklady a vzory, Branko Grünbaum volá vrcholově uniformní tilings Archimedean souběžně s Archimédovy pevné látky. Jejich dvojité obklady jsou nazývány Laves tilings na počest krystalograf Fritz Laves.^[1]^[2] Také se jim říká Shubnikov – Lavesovy obklady po Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich.^[3] John Conway volá uniformní duály Katalánské obklady, souběžně s Katalánština pevná mnohostěn.

Obklady Laves mají vrcholy ve středech pravidelných mnohoúhelníků a hrany spojující středy pravidelných mnohoúhelníků, které sdílejí hranu. The dlaždice z Lavesových obkladů se nazývají planigony. To zahrnuje 3 pravidelné dlaždice (trojúhelník, čtverec a šestiúhelník) a 8 nepravidelných.^[4] Každý vrchol má kolem sebe rovnoměrně rozmístěné hrany. Trojrozměrné analogy planigony jsou nazývány stereohedrony.

Tyto obklady jsou uvedeny podle jejich konfigurace obličeje, počet tváří v každém vrcholu tváře. Například V4.8.8 (nebo V4.8²) znamená rovnoramenné trojúhelníkové dlaždice s jedním rohem se čtyřmi trojúhelníky a dvěma rohy obsahujícími osm trojúhelníků.

Konstrukce

The Provoz Conway duálních výměn ploch a vrcholů. v Archimédovy pevné látky a k-uniformní obklady nový vrchol se shoduje se středem každého z nich normální tvář, nebo těžiště. V euklidovském (rovinném) případě; za účelem vytvoření nových ploch kolem každého původního vrcholu musí být centroidy spojeny novými hranami, z nichž každý musí protínat přesně jednu z původních hran. Protože pravidelné polygony mají dihedrální symetrie, vidíme, že tyto nové těžiště-těžiště hrany musí být kolmé půlící čáry společných původních hran (např. těžiště leží na všech hranách kolmých půlících čar pravidelného mnohoúhelníku). Tedy okraje k- dvojité rovnoměrné náklony se shodují s úsečkami středového bodu na středu těžiště všech pravidelných polygonů v k-uniformní obklady.

Můžeme tedy alternativně sestrojit k-dvojité rovnoměrné naklonění (a všech 21 planigonů) ekvivalentně vytvořením nových středových úseček středového bodu původních pravidelných polygonů (rozřezáním pravidelných n-gons do n shodné deltové svaly, ortho ), a poté odstraňte původní hrany (dvojí ). Uzavřené planigony se vytvoří kolem vnitřních vrcholů a liniové úseky (mnoha možných) planigonů se vytvoří kolem hraničních vrcholů, což poskytne věrný k-duální jednotná mříž (ortho -superimposable a v měřítku). Naproti tomu spojení centroid-centroid poskytuje pouze vnitřní planigony (s proměnlivým překladem a měřítkem), ale tato konstrukce je v interiéru nicméně ekvivalentní. Pokud originál k- jednotný obklad vyplní celý rám, stejně tak bude k-duální jednotná mřížka první konstrukcí a segmenty hraniční čáry lze ignorovat (ekvivalent druhé konstrukce).

Jak je vidět níže, některé typy vrcholných polygonů se liší od jejich zrcadlových obrazů a jsou uvedeny dvakrát. Například trojúhelník ${ displaystyle trojúhelník ABC, trojúhelník CBA}$ jsou zrcadlové obrazy, pokud ${ displaystyle úhel A, úhel B, úhel C}$ jsou všechny jedinečné. Na těchto obrázcích jsou polygony vrcholů uvedeny proti směru hodinových ručiček zprava a stínovány v různých barvách pomocí frekvence vlnových délek inverzní k oblasti. Poznámka: 4.8² fialově červená planigon je zabarveno na místě, protože nemůže existovat s žádným jiným planigon v každém k- jednotné obklady. Existuje 29 možných pravidelných vrcholných polygonů (21 kromě enantiomorfy ): 3 pravidelné mnohoúhelníky, 8 planigony, 4 demiregular planigons a 6 nepoužitelné polygony.

Alternativní konstrukce

Všech 14 libovolných uniformních použitelných vrcholných pravidelných planigonů (VRP) také oslavuje^[5] z 6-5 dodecagram (kde každý segment přechází ${ displaystyle 5 pi / 6}$ radiány nebo ${ displaystyle 150}$ stupňů).

The incircle tohoto dodekagramu ukazuje, že všech 14 VRP je cyklický, jak to alternativně ukazují kruhové ambo balení. Jako osvěžovač je poměr incircle k circumcircle

${ displaystyle sin { frac { pi} {12}} = sin 15 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {6}} - { sqrt {2}}} {4}} přibližně 0,258819}$

a konvexní trup je přesně pravidelné dodecagony v libovolných uniformních obkladech! Ve skutečnosti rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný šestiúhelník a pravidelný dodekagon; jsou zobrazeny níže spolu s VRP:

Konstrukce pravidelných mnohoúhelníků a vrcholných pravidelných planigonů libovolných stejnoměrných naklonění z 6-5 dodecagramu. Tento dodekagram má hrany překlenující 150 stupňů. K dispozici jsou 4 pravidelné mnohoúhelníky a 14 vrcholných pravidelných planigonů (pravidelný osmiúhelník a rovnoramenný pravý trojúhelník nelze použít).

Odvození všech možných pravidelných vrcholných polygonů

U euklidovských obkladů od okraje k okraji je vnitřní úhly polygonů, které se setkávají na vrcholu, se musí přidat na 360 stupňů. Pravidelný $n$ -gon má vnitřní úhel ${ displaystyle left (1 - { frac {2} {n}} right) 180 ^ { circ}}$ stupňů. Existuje sedmnáct kombinací pravidelných polygonů, jejichž vnitřní úhly se sčítají až do 360 stupňů, přičemž každá z nich se označuje jako a druh vrcholu; ve čtyřech případech existují dva odlišné cyklické řády polygonů, čímž se získá jednadvacet typy vrcholu.

Ve skutečnosti s vrcholovými (vnitřními) úhly ${ displaystyle 60 ^ { circ}, 90 ^ { circ}, 108 ^ { circ}, 120 ^ { circ}, 128 { frac {4} {7}} ^ { circ}, 135 ^ { circ}, 140 ^ { circ}, 144 ^ { circ}, 147 { frac {3} {11}} ^ { circ}, 150 ^ { circ}, dots}$ , můžeme najít všechny kombinace přípustných rohových úhlů podle následujících pravidel: (i) každý vrchol má alespoň stupeň 3 (vrchol stupně 2 musí mít dva přímé úhly nebo jeden reflexní úhel); ii) má-li vrchol stupeň ${ displaystyle d}$ , nejmenší ${ displaystyle d-1}$ polygon vrcholových úhlů součet přes ${ displaystyle 180 ^ { circ}}$ ; (iii) úhly vrcholů se přidají ${ displaystyle 360 ^ { circ}}$ , a musí to být úhly pravidelných mnohoúhelníků kladných celých stran (posloupnosti ${ displaystyle 60 ^ { circ}, 90 ^ { circ}, 108 ^ { circ}, 120 ^ { circ}, 128 { frac {4} {7}} ^ { circ}, 135 ^ { circ}, 140 ^ { circ}, 144 ^ { circ}, 147 { frac {3} {11}} ^ { circ}, 150 ^ { circ}, dots}$ ). Řešení problému Challenge 9.46, Geometrie (Rusczyk), je ve sloupci Stupeň 3 Vrchol níže.^[6]

Uspořádání pravidelných mnohoúhelníků kolem vrcholu
Vrchol stupně 6	Vrchol stupně 5	Vrchol 4. stupně	Vrchol stupně 3
${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$	${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 90 ^ { circ} { text {-}} 90 ^ { circ} ~ ( krát 2)}$	${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 90 ^ { circ} { text {-}} 150 ^ { circ} ~ ( krát 2)}$	${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 128 { frac {4} {7}} ^ { circ} { text {-}} 171 { frac {3} {7}} ^ { circ} ~ ( krát 1)}$
	${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { textová zpráva {-}} 120 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$	${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 60 ^ { circ} { text {-}} 120 ^ { circ} { text {-}} 120 ^ { circ} ~ ( krát 2)}$	${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 135 ^ { circ} { text {-}} 165 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$
		${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 90 ^ { circ} { text {-}} 90 ^ { circ} { text {-}} 120 ^ { circ} ~ ( krát 2)}$	${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 140 ^ { circ} { text {-}} 160 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$
		${ displaystyle 90 ^ { circ} { text {-}} 90 ^ { circ} { text {-}} 90 ^ { circ} { text {-}} 90 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$	${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 144 ^ { circ} { text {-}} 156 ~ ( krát 1)}$
			${ displaystyle 60 ^ { circ} { text {-}} 150 ^ { circ} { text {-}} 150 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$
			${ displaystyle 90 ^ { circ} { text {-}} 108 ^ { circ} { text {-}} 162 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$
			${ displaystyle 90 ^ { circ} { text {-}} 120 ^ { circ} { text {-}} 150 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$
			${ displaystyle 90 ^ { circ} { text {-}} 135 ^ { circ} { text {-}} 135 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$ *
			${ displaystyle 108 ^ { circ} { text {-}} 108 ^ { circ} { text {-}} 144 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$
			${ displaystyle 120 ^ { circ} { text {-}} 120 ^ { circ} { text {-}} 120 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$

(trojúhelník s a hendecagon získá 13.200 gon, čtverec s a sedmiúhelník výtěžek 9,3333 gonu a pětiúhelník se šestiúhelníkem výtěžek 7,5000 gonu). Pak existují ${ Displaystyle 1 (1) + (1 (2) +1) + (3 (2) +1) + 10 = 21}$ kombinace pravidelných polygonů, které se setkávají na vrcholu.

Pouze jedenáct z nich se může vyskytnout v jednotném obkladu pravidelných mnohoúhelníků, uvedených v předchozích částech. * ${ displaystyle 90 ^ { circ} { text {-}} 135 ^ { circ} { text {-}} 135 ^ { circ} ~ ( krát 1)}$ nemůže koexistovat s jinými typy vrcholů.

Zejména pokud se tři polygony setkají na vrcholu a jeden má lichý počet stran, další dva polygony musí být stejné. Pokud nejsou, museli by se střídat kolem prvního mnohoúhelníku, což je nemožné, pokud je jeho počet stran lichý. Tímto omezením se těchto šest nemůže objevit v žádném obložení pravidelných polygonů:

3 polygony na vrcholu (nepoužitelné)
3.7.42	3.8.24	3.9.18	3.10.15	4.5.20	5².10

Tyto čtyři lze použít v k-uniformní obklady:

4 polygony na vrcholu (směšovatelné s jinými typy vrcholů)
Platný vrcholové typy	3².4.12	3.4.3.12	3².6²	3.4².6
Příklad 2 uniformní obklady	s 3⁶	s 3.12²	s (3.6)²	s (3.6)²
Platný Semiplanigons	Dual Semiplanigon: V3².4.12	Dual Semiplanigon: V3.4.3.12	Dual Semiplanigon: V3².6²	Dual Semiplanigon: V3.4².6
Příklad Dual 2-Uniform Obklady (DualCompounds)	s V3⁶	s V3.12²	s V (3.6)²	s V3.4².6

Nakonec jsou všechny pravidelné polygony a použitelné vrcholové polygony uvedeny na druhém obrázku níže a ukazují jejich oblasti a délky stran ve vztahu k ${ displaystyle s = 2 { sqrt {3}}}$ pro libovolný pravidelný mnohoúhelník.

Počet dvojitých jednotných obkladů

Každá dvojitá uniformní dlažba je v korespondenci 1: 1 s odpovídající jednotnou dlažbou, a to konstrukcí planigonů výše a superpozicí.

Takové periodické obklady lze klasifikovat podle počtu oběžné dráhy vrcholů, hran a dlaždic. Pokud existují k oběžné dráhy planigonů, obklad je známý jako k-duální uniforma nebo k-edohedral; pokud existují t oběžné dráhy duálních vrcholů, jako t-isogonal; pokud existují E oběžné dráhy hran, jako E-isotoxální.

k-dual-uniform tilings se stejnými vrcholovými čísly lze dále identifikovat podle jejich skupina tapet symetrie, která je identická se symetrií odpovídající k- jednotné obklady.

1-dual-uniform tilings zahrnují 3 pravidelné tilings a 8 Laves tilings, se 2 nebo více typy pravidelných stupňů vrcholů. K dispozici je 20 2-dvojitých uniformních obkladů, 61 3-dvojitých uniformních obkladů, 151 4-dvojitých uniformních obkladů, 332 5-dvojitých uniformních obkladů a 673 6 - dvojitých uniformních obkladů. Každý může být seskupen podle čísla m různých vrcholných obrazců, které se také nazývají m-Archimédské obklady.^[7]

A konečně, pokud je počet typů planigonů stejný jako uniformita (m = k níže), pak se říká, že obklady jsou Krotenheerdt. Obecně je uniformita větší nebo rovna počtu typů vrcholů (m ≥ k), protože různé typy planigonů nutně mají různé oběžné dráhy, ale ne naopak. Nastavení m = n = k, existuje 11 takových dvojitých obkladů pro n = 1; 20 takových dvojitých obkladů pro n = 2; 39 takových dvojitých obkladů pro n = 3; 33 takových dvojitých obkladů pro n = 4; 15 takových dvojitých obkladů pro n = 5; 10 takových dvojitých obkladů pro n = 6; a 7 takových dvojitých obkladů pro n = 7.

Pravidelné a Lavesovy obklady

Jsou zobrazeny 3 pravidelné a 8 semiregulárních Lavesových obkladů s vrcholovými pravidelnými planigony zbarvenými nepřímo k ploše jako při konstrukci.

Tři pravidelné planigony (polygony) v měřítku
	Trojúhelníky	Čtverce	Šestiúhelníky
Obklady
obraz
Konfigurace	V6³	V4⁴	V3⁶

Osm semiregular planigons škálovat
	Trojúhelníky
Obklady
obraz
Konfigurace	V4.8²	V3.12²	V4.6.12

	Čtyřúhelníky
Obklady
obraz
Konfigurace	V (3.6)²	V3.4.6.4

	Pětiúhelníky
Obklady
obraz
Konfigurace	V3⁴.6	V3².4.3.4	V3³.4²

Vyšší duální jednotné obklady

Vložky duálních planigonů do vrcholů vyšších stupňů

Vrchol stupně šest může být nahrazen středním pravidelným šestiúhelníkem a šesti okraji z něj vycházejícími;
Vrchol stupně dvanáct může být nahrazen šesti deltoidy (středový deltoidní šestiúhelník) a jejich dvanácti hranami;
Vrchol stupně dvanáct lze nahradit šesti káhirskými pětiúhelníky, středovým šestiúhelníkem a dvanácti hranami, které z něj vycházejí (rozřezáním vrcholu stupně 6 ve středu předchozího příkladu).

Duální procesy (duální „vložky“)

Krotenheerdt duals se dvěma planigony

Vymazat po vyřešení: také nevidím důvod, proč jsou vaše obrázky celkově lepší než moje, což podle všeho navrhujete. Možná budeme potřebovat třetího čtenáře ... mají čtenáři tendenci ne kliknout na obrázky a prohlédnout si je více? Protože v kontrolním režimu jsou moje obrázky jasnější a v režimu čtení jsou vaše obrázky jasnější.

K dispozici je 20 obkladů vyrobených ze 2 typů planigonů, duální z 2 uniformní obklady (Krotenheerdt Duals):

Duals dvou uniformních obkladů (20)
p6m, * 632						p4m, * 442
[V3⁶; V3².4.3.4]	[V3.4.6.4; V3².4.3.4	[V3.4.6.4; V3³.4²]	[V3.4.6.4; V3.4².6]	[V4.6.12; V3.4.6.4]	[V3⁶; V3².4.12]	[3.12.12; 3.4.3.12]
p6m, * 632	p6, 632	p6, 632	cmm, 2 * 22	pmm, * 2222	cmm, 2 * 22	pmm, * 2222
[V3⁶; V3².6²]	[V3⁶; V3⁴.6]₁	[V3⁶; V3⁴.6]₂	[V3².6²; V3⁴.6]	[V3.6.3.6; V3².6²]	[V3.4²0,6; V3.6.3.6]]₂	[3.4².6; 3.6.3.6]₁
p4g, 4 * 2	pgg, 22 ×	cmm, 2 * 22	cmm, 2 * 22	pmm, * 2222	cmm, 2 * 22
[V3³.4²; V3².4.3.4]₁	[V3³.4²; V3².4.3.4]₂	[V4⁴; V3³.4²]₁	[V4⁴; V3³.4²]₂	[V3⁶; V3³.4²]₁	[V3⁶; V3³.4²]₂

Krotenheerdt duals se třemi planigony

Obklady se 3 typy dlaždic (39)
[V3.4²6; 3.6.3.6; V4.6.12] (v = 6, e = 7)	[V3⁶; 3²4,12; V4.6.12] (v = 5, e = 6)	[V3²4,12; 3.4.6.4; V3.12²] (v = 5, e = 6)	[V3.4.3.12; 3.4.6.4; 3.12²] (v = 5, e = 6)	[V3³4²; 3²4.12; 3.4.6.4] (v = 6, e = 8)
[V3⁶; V3³4²; V3²4.12] (v = 6, e = 7)	[V3⁶; V3²4.3.4; V3²4.12] (v = 5, e = 6)	[V3⁴6; V3³4²; V3²4.3.4] (v = 5, e = 6)	[V3⁶; V3²4.3.4; V3.4²6] (v = 5, e = 6)	[V3⁶; V3²4.3.4; V3.4.6.4] (v = 5, e = 6)
[V3⁶; V3³4²; V3.4.6.4] (v = 6, e = 6)	[V3⁶; V3²4.3.4; V3.4.6.4] (v = 6, e = 6)	[V3⁶; V3³4²; V3²4.3.4] (v = 4, e = 5)	[V3²4,12; V3.4.3.12; V3.12²] (v = 4, e = 7)	[V3.4.6.4; V3.4²6; V4⁴] (v = 3, e = 4)
[V3²4.3.4; V3.4.6.4; V3.4²6] (v = 4, e = 6)	[V3³4²; V3²4.3.4; 4⁴] (v = 4, e = 6)	[V3.4²6; V3.6.3.6; V4⁴] (v = 5, e = 7)	[V3.4²6; V3.6.3.6; V4⁴] (v = 6, e = 7)	[V3.4²6; V3.6.3.6; V4⁴] (v = 4, e = 5)
[V3.4²6; V3.6.3.6; V4⁴] (v = 5, e = 6)	[V3³4²; V3²6²; V3.4²6] (v = 5, e = 8)	[V3²6²; V3.4²6; 3.6.3.6] (v = 4, e = 7)	[V3²6²; V3.4²6; 3.6.3.6] (v = 5, e = 7)	[V3⁴6; V3³4²; V3.4²6] (v = 5, e = 7)
[V3²6²; V3.6.3.6; V6³] (v = 4, e = 5)	[V3²6²; V3.6.3.6; V6³] (v = 2, e = 4)	[V3⁴6; V3²6²; V6³] (v = 2, e = 5)	[V3⁶; V3²6²; V6³] (v = 2, e = 3)	[V3⁶; V3⁴6; V3²6²] (v = 5, e = 8)
[V3⁶; V3⁴6; V3²6²] (v = 3, e = 5)	[V3⁶; V3⁴6; V3²6²] (v = 3, e = 6)	[V3⁶; V3⁴6; V3.6.3.6] (v = 5, e = 6)	[V3⁶; V3⁴6; V3.6.3.6] (v = 4, e = 4)	[V3⁶; V3⁴6; V3.6.3.6] (v = 3, e = 3)
[V3⁶; V3³4²; V4⁴] (v = 4, e = 6)	[V3⁶; V3³4²; V4⁴] (v = 5, e = 7)	[V3⁶; V3³4²; V4⁴] (v = 3, e = 5)	[V3⁶; V3³4²; V4⁴] (v = 4, e = 6)

Krotenheerdt duals se čtyřmi planigony

4 uniformní obklady se 4 typy vrcholů (33)
[33434; 3²6²; 3446; 6³]	[3³4²; 3²6²; 3446; 46.12]	[33434; 3²6²; 3446; 46.12]	[3⁶; 3³4²; 33434; 334.12]	[3⁶; 33434; 334.12; 3.12²]
[3⁶; 33434; 343.12; 3.12²]	[3⁶; 3³4²; 33434; 3464]	[3⁶; 3³4²; 33434; 3464]	[3⁶; 33434; 3464; 3446]	[3⁴6; 3²6²; 3636; 6³]
[3⁴6; 3²6²; 3636; 6³]	[334.12; 343.12; 3464; 46.12]	[3³4²; 334.12; 343.12; 3.12²]	[3³4²; 334.12; 343.12; 4⁴]	[3³4²; 334.12; 343.12; 3.12²]
[3⁶; 3³4²; 33434; 4⁴]	[33434; 3²6²; 3464; 3446]	[3⁶; 3³4²; 3446; 3636]	[3⁶; 3⁴6; 3446; 3636]	[3⁶; 3⁴6; 3446; 3636]
[3⁶; 3⁴6; 3³4²; 3446]	[3⁶; 3⁴6; 3³4²; 3446]	[3⁶; 3⁴6; 3²6²; 6³]	[3⁶; 3⁴6; 3²6²; 6³]	[3⁶; 3⁴6; 3²6²; 6³]
[3⁶; 3⁴6; 3²6²; 6³]	[3⁶; 3⁴6; 3²6²; 3636]	[3³4²; 3²6²; 3446; 6³]	[3³4²; 3²6²; 3446; 6³]	[3²6²; 3446; 3636; 4⁴]
*33 Krotenheerdt-4 duální*	[3²6²; 3446; 3636; 4⁴]	[3²6²; 3446; 3636; 4⁴]	[3²6²; 3446; 3636; 4⁴]	*33 Krotenheerdt-4 duální*

Krotenheerdt dual s pěti planigony

Existují 15 5 uniformních dvojitých obkladů s 5 jedinečnými planigony.

5 stejnoměrných dvojitých obkladů, 5 ploch
V [33434; 3²6²; 3464; 3446; 6³]	V [3⁶; 3⁴6; 3²6²; 3636; 6³]	V [3⁶; 3⁴6; 3³4²; 3446; 46.12]	V [3⁴6; 3³4²; 33434; 3446; 4⁴]	V [3⁶; 33434; 3464; 3446; 3636]
V [3⁶; 3⁴6; 3464; 3446; 3636]	V [33434; 334,12; 3464; 3.12.12; 46,12]	V [3⁶; 3⁴6; 3446; 3636; 4⁴]	V [3⁶; 3⁴6; 3446; 3636; 4⁴]	V [3⁶; 3⁴6; 3446; 3636; 4⁴]
V [3⁶; 3⁴6; 3446; 3636; 4⁴]	V [3⁶; 3³4²; 3446; 3636; 4⁴]	V [3⁶; 3⁴6; 3³4²; 3446; 4⁴]	V [3⁶; 3³4²; 3²6²; 3446; 3636]	[3⁶; 3⁴6; 3³4²; 3²6²; 3446]

Krotenheerdt duals se šesti planigony

Existují 10 6 uniformních dvojitých obkladů se 6 jedinečnými planigony.

6 stejnoměrných dvojitých obkladů, 6 planigonů
[V4⁴; V3.4.6.4; V3.4.4.6; ².4.3.4; V3³.4²; V3².6²]	; V3⁴0,6; V3.4.4.6; V3².4.3.4; V3³.4²; V3².6²]	[V4⁴; V3⁴0,6; V3.4.4.6; V3⁶; V3³.4²; V3².6²]	[V4⁴; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V (3.6)²; V3³.4²; V3².46; V3⁶; V3³.4²; V3².4.3.4]
[V3⁶, V3.4.6.4; V3.4.4.6; V3².4.3.4; V3³.4²; V3².6²]	[V3⁴0,6; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V3².6²; V3³.4²; V3².4.3.4]	[V3⁶; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V (3.6)²; V3³.4²; V3².4.12]	[V3⁶; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V3⁴0,6; V3³.4²; V3².4.3.4]	[V3⁴0,6; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V (3.6)²; V3³.4²; V3².4.3.4]

Krotenheerdt duals se sedmi planigony

Existují 7 7 uniformních dvojitých obkladů se 7 jedinečnými planigony.

7 uniformních dvojitých obkladů, 7 planigonů
V [3⁶; 3³.4²; 3².4.3.4; 4⁴; 3.4².6; 3².6²; 6³]	V [3⁶; 3³.4²; 3².4.3.4; 3⁴.6; 3.4².6; 3².4.12; 4.6.12]	V [3³.4²; 3².4.3.4; 3.4².6; 3².6²; 3².4.12; 4.6.12]	V [3⁶; 3².4.3.4; 4⁴; 3.4².6; 3⁴.6; 3.4.6.4; (3.6)²]
V [3⁶; 3³.4²; 3².4.3.4; 3⁴.6; 3.4².6; 3.4.6.4; (3.6)²]₁	V [3⁶; 3³.4²; 3².4.3.4; 3⁴.6; 3.4².6; 3.4.6.4; 3².4.12]	V [3⁶; 3³.4²; 3².4.3.4; 3⁴.6; 3.4².6; 3.4.6.4; (3.6)²]₂	V [3⁶; 3³.4²; 3².4.3.4; 3⁴.6; 3.4².6; 3².4.12; 4.6.12]

Kupodivu, 5. a 7. duální obklady Krotenheerdt dual uniform-7 mají stejné typy vrcholů, i když se na nic podobají!

Z ${ displaystyle n geq 8}$ kupředu, neexistují žádné uniformy n obklady s n typy vrcholů nebo žádná uniforma n duální s n odlišné (polo) planigony.^[8]

Fraktalizující Dual k-Uniform Tilings

Existuje mnoho způsobů, jak generovat nové k-dual-uniformní obklady ze starých k-uniformních obkladů. Například si všimněte, že 2-uniforma V [3.12.12; 3.4.3.12] obklad má čtvercovou mřížku, 4 (3-1) jednotnou V [343.12; (3.12²)³] obklad má čtvercovou mřížku s tlumením a 5 (3-1-1) -jednotku V [334.12; 343,12; (3.12.12) 3] obklad má podlouhlou trojúhelníkovou mříž. Tyto uniformní obklady vyššího řádu používají stejnou mříž, ale mají větší složitost. Duální fraktalizační základ pro obklady těchto prací je následující:

	Trojúhelník	Náměstí	Šestiúhelník	Členitý Dodekagon
Tvar
Fraktalizující (Dvojí)

Délky stran jsou rozšířeny faktorem ${ displaystyle 2 + { sqrt {3}}}$ :

Každý trojúhelník je nahrazen třemi V [3.12²] polygony (jednotka 1-dual-uniform V [3.12²] obklady);
Každý čtverec je nahrazen čtyřmi V [3.12²] a čtyři V [3.4.3.12] polygony (jednotka 2-dual-uniform V [3.12²; V3.4.3.12] obklady);
Každý šestiúhelník je nahrazen šesti deltoidy V [3.4.6.4], šesti tie draky V [3.4.3.12] a šesti V [3.12²] polygony (jednotka této 3-duální uniformní dlažby)
Každý dodekagon je rozdělen na šest velkých trojúhelníků, šest velkých čtverců a jeden centrální šestiúhelník, které se skládají z výše.

To lze podobně provést pomocí zkráceného trihexagonálního obkladu jako základu s odpovídající dilatací ${ displaystyle 3 + { sqrt {3}}}$ .

	Trojúhelník	Náměstí	Šestiúhelník	Členitý Dodekagon
Tvar
Fraktalizující (Dvojí)

Každý trojúhelník je nahrazen třemi polygony V [4.6.12] (jednotka obkladu V [4.6.12] s 1 uniformou);
Každý čtverec je nahrazen jedním čtvercem, čtyřmi V [3³.4²] polygony, čtyři V [3.4.3.12] polygony a čtyři V [3².4.12] polygony (jednotka této Krotenheerdt 4-duální uniformní dlaždice);
Každý šestiúhelník je nahrazen šesti deltoidy V [3.4.6.4] a třiceti šesti V [4.6.12] polygony (jednotka tohoto 5-dual-uniformního obkladu)
Každý dodekagon je rozdělen na šest velkých trojúhelníků, šest velkých čtverců a jeden centrální šestiúhelník, které se skládají z výše.

Fraktalizující příklady

	Zkrácené šestihranné obklady	Zkrácené trihexagonální obklady
Dvojí Fraktalizující

Smíšený

Srovnání 65 k rovnoměrných obkladů v jednotných rovinných obkladech a jejich dvojitých stejnoměrných obkladech. Dvě spodní řady se shodují a jsou v měřítku.

Srovnání 65 k jednotné naklonění dovnitř rovnoměrné rovinné obklady a jejich dvojí uniformní obklady. Dvě spodní řady se shodují a jsou v měřítku.

Reference

^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. W. H. Freeman and Company. str.59, 96. ISBN 0-7167-1193-1.
^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (18. dubna 2008). „Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, euklidovská rovinná mozaikování". Symetrie věcí. K Peters / CRC Press. p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Archivovány od originál dne 19. 9. 2010.
^ Encyklopedie matematiky: Orbit - Rayleighova rovnice , 1991
^ Ivanov, A. B. (2001) [1994], "Planigon", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
^ „SYSTÉM VELKÉHO SEZNAMU OBKLADŮ PRAVIDELNÝCH POLYGONŮ“. SYSTÉM VELKÉHO SEZNAMU OBKLADŮ PRAVIDELNÝCH POLYGONŮ. Citováno 2019-08-30.
^ Rusczyk, Richard. (2006). Úvod do geometrie. Alpine, CA: AoPS Inc. ISBN 0977304523. OCLC 68040014.
^ k-uniformní obklady pravidelnými polygony Archivováno 2015-06-30 na Wayback Machine Nils Lenngren, 2009^{[je nutné ověření ]}
^ „11,20,39,33,15,10,7 - OEIS“. oeis.org. Citováno 2019-06-26.

Planigonské mozaikování celulárních automatů Alexander Korobov, 30. září 1999
B. N. Delone, „Teorie planigonů“, Izv. Akad. Nauk SSSR ser. Mat., 23: 3 (1959), 365–386

[1] Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. W. H. Freeman and Company. str.59, 96. ISBN 0-7167-1193-1.

[2] Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (18. dubna 2008). „Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, euklidovská rovinná mozaikování". Symetrie věcí. K Peters / CRC Press. p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Archivovány od originál dne 19. 9. 2010.

[3] Encyklopedie matematiky: Orbit - Rayleighova rovnice , 1991

[4] Ivanov, A. B. (2001) [1994], "Planigon", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[5] „SYSTÉM VELKÉHO SEZNAMU OBKLADŮ PRAVIDELNÝCH POLYGONŮ“. SYSTÉM VELKÉHO SEZNAMU OBKLADŮ PRAVIDELNÝCH POLYGONŮ. Citováno 2019-08-30.

[6] Rusczyk, Richard. (2006). Úvod do geometrie. Alpine, CA: AoPS Inc. ISBN 0977304523. OCLC 68040014.

[7] -uniformní obklady pravidelnými polygony Archivováno 2015-06-30 na Wayback Machine Nils Lenngren, 2009^{[je nutné ověření ]}

[8] „11,20,39,33,15,10,7 - OEIS“. oeis.org. Citováno 2019-06-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]