Neredukovatelný polynom - Irreducible polynomial

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, an neredukovatelný polynom je zhruba řečeno polynom, který nelze promítnout do součinu dvou nekonstantní polynomy. Vlastnost neredukovatelnosti závisí na povaze koeficientů, které jsou přijaty pro možné faktory, tj. pole nebo prsten ke kterému koeficienty polynomu a jeho možných faktorů se předpokládá, že patří. Například polynom X² − 2 je polynom s celé číslo koeficienty, ale, protože každé celé číslo je také a reálné číslo, je to také polynom se skutečnými koeficienty. Je neredukovatelný, pokud je považován za polynom s celé číslo koeficienty, ale zohledňuje to jako ${ displaystyle left (x - { sqrt {2}} right) left (x + { sqrt {2}} right)}$ pokud je považován za polynom s nemovitý koeficienty. Jeden říká, že polynom X² − 2 je neredukovatelný nad celými čísly, ale ne nad reálnými.

Polynom, který je neredukovatelný nad jakýmkoli polem obsahujícím koeficienty, je absolutně neredukovatelné. Podle základní věta o algebře, a jednorozměrný polynom je absolutně neredukovatelný, jen když je jeho stupeň jeden. Na druhou stranu s několika neurčí, existují absolutně neredukovatelné polynomy jakéhokoli stupně, jako např ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {n} -1,}$ pro jakékoli kladné celé číslo n.

O polynomu, který není neredukovatelný, se někdy říká redukovatelný.^[1][2] Tento termín však musí být používán opatrně, protože může odkazovat na jiné pojmy snížení.

Neredukovatelné polynomy se při studiu přirozeně objevují polynomiální faktorizace a algebraická rozšíření pole.

Je užitečné porovnat neredukovatelné polynomy s prvočísla: prvočísla (spolu s odpovídajícími zápornými čísly stejné velikosti) jsou neredukovatelné celá čísla. Vykazují mnoho obecných vlastností konceptu „neredukovatelnosti“, které platí stejně pro neredukovatelné polynomy, jako je v zásadě jedinečná faktorizace na primární nebo neredukovatelné faktory. Když je kroužek koeficientu pole nebo jiné jedinečná faktorizační doména, neredukovatelný polynom se také nazývá a primární polynom, protože generuje a hlavní ideál.

Definice

Li F je pole, nekonstantní polynom je neredukovatelný F pokud jeho koeficienty patří F a nelze jej promítnout do součinu dvou nekonstantních polynomů s koeficienty v F.

Polynom s celočíselnými koeficienty nebo obecněji s koeficienty v a jedinečná faktorizační doména R, se někdy říká, že je neredukovatelné (nebo neredukovatelný nad R) pokud se jedná o neredukovatelný prvek z polynomiální kruh, tj. není invertibilní, ne nula, a nelze je promítnout do součinu dvou neinvertibilních polynomů s koeficienty v R. Tato definice zobecňuje definici danou pro případ koeficientů v poli, protože nad polem jsou nekonstantní polynomy přesně polynomy, které jsou nezměnitelné a nenulové.

Často se používá jiná definice, která říká, že polynom je neredukovatelný nad R pokud je to neredukovatelné nad pole zlomků z R (pole racionální čísla, pokud R je celá čísla). Tato druhá definice se v tomto článku nepoužívá.

Povaha faktoru

Absence výslovného algebraický výraz protože faktor sám o sobě neznamená, že polynom je neredukovatelný. Když je polynom redukovatelný na faktory, mohou to být explicitní algebraické výrazy nebo implicitní výrazy. Například, ${ displaystyle x ^ {2} +2}$ lze explicitně započítat do komplexních čísel jako ${ displaystyle left (x - { sqrt {2}} i right) left (x + { sqrt {2}} i right);}$ nicméně Abel – Ruffiniho věta uvádí, že existují polynomy jakéhokoli stupně větší než 4, pro které existují složité faktory, které nemají explicitní algebraický výraz. Takový faktor lze napsat jednoduše jako, řekněme, ${ displaystyle left (x-x_ {1} right),}$ kde ${ displaystyle x_ {1}}$ je definováno implicitně jako konkrétní řešení rovnice, která nastavuje polynom na rovnou 0. Dále mohou být faktory obou typů vyjádřeny také jako numerické aproximace, které lze získat algoritmy hledání kořenů, například jako ${ displaystyle left (x-1,2837 ldots right).}$

Jednoduché příklady

Následující šest polynomů demonstruje některé základní vlastnosti redukovatelných a neredukovatelných polynomů:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} p_ {1} (x) & = x ^ {2} + 4x + 4 , = {(x + 2) (x + 2)} p_ {2} (x ) & = x ^ {2} -4 , = {(x-2) (x + 2)} p_ {3} (x) & = 9x ^ {2} -3 , = 3 vlevo ( 3x ^ {2} -1 right) , = 3 left (x { sqrt {3}} - 1 right) left (x { sqrt {3}} + 1 right) p_ { 4} (x) & = x ^ {2} - { frac {4} {9}} , = left (x - { frac {2} {3}} right) left (x + { frac {2} {3}} right) p_ {5} (x) & = x ^ {2} -2 , = left (x - { sqrt {2}} right) left ( x + { sqrt {2}} right) p_ {6} (x) & = x ^ {2} +1 , = {(xi) (x + i)} end {zarovnáno}}}$

Přes celá čísla, první tři polynomy jsou redukovatelné (třetí je redukovatelný, protože faktor 3 není v celých číslech invertibilní); poslední dva jsou neredukovatelné. (Čtvrtý samozřejmě není polynom nad celými čísly.)

Přes racionální čísla, první dva a čtvrtý polynom jsou redukovatelné, ale ostatní tři polynomy jsou neredukovatelné (jako polynom nad racionály, 3 je jednotka, a proto se nepočítá jako faktor).

Přes reálná čísla, prvních pět polynomů je redukovatelných, ale ${ displaystyle p_ {6} (x)}$ je neredukovatelný.

Přes komplexní čísla, všech šest polynomů je redukovatelných.

Přes komplexní čísla

Přes komplexní pole a obecněji nad algebraicky uzavřené pole, a jednorozměrný polynom je neredukovatelný, právě když je stupeň je jedna. Tato skutečnost je známá jako základní věta o algebře v případě komplexních čísel a obecně jako podmínka algebraického uzavření.

Z toho vyplývá, že každý nekonstantní jednorozměrný polynom lze brát jako

${ displaystyle a left (x-z_ {1} right) cdots left (x-z_ {n} right)}$

kde ${ displaystyle n}$ je titul, ${ displaystyle a}$ je hlavní koeficient a ${ displaystyle z_ {1}, tečky, z_ {n}}$ jsou nuly polynomu (nemusí být nutně odlišné a nemusí mít nutně explicitní algebraické výrazy ).

Jsou neredukovatelné vícerozměrné polynomy každého stupně přes komplexní čísla. Například polynom

${ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} -1,}$

který definuje a Fermatova křivka, je ireducibilní pro každé pozitivní n.

Přes realitu

Přes pole skutečností, stupeň neredukovatelného jednorozměrného polynomu je jeden nebo dva. Přesněji řečeno, neredukovatelné polynomy jsou polynomy stupně jedna a kvadratické polynomy ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$ které mají zápor diskriminující ${ displaystyle b ^ {2} -4ac.}$ Z toho vyplývá, že každý nekonstantní jednorozměrný polynom lze uvažovat jako součin polynomů stupně nejvýše dvou. Například,${ displaystyle x ^ {4} +1}$ faktory nad reálnými čísly jako ${ displaystyle left (x ^ {2} + { sqrt {2}} x + 1 right) left (x ^ {2} - { sqrt {2}} x + 1 right),}$ a nelze to dále zohlednit, protože oba faktory mají negativní diskriminaci: ${ displaystyle left ( pm { sqrt {2}} right) ^ {2} -4 = -2 <0.}$

Unikátní faktorizační vlastnost

Každý polynom nad polem F může být započítán do součinu nenulové konstanty a konečného počtu neredukovatelných (nad F) polynomy. Tento rozklad je jedinečný až do pořadí faktorů a násobení faktorů nenulovými konstantami, jejichž součin je 1.

Přes jedinečná faktorizační doména stejná věta je pravdivá, ale je přesněji formulována pomocí pojmu primitivního polynomu. A primitivní polynom je polynom nad jedinečnou faktorizační doménou, takže 1 je a největší společný dělitel jejích koeficientů.

Nechat F být jedinečnou faktorizační doménou. Nekonstantní neredukovatelný polynom F je primitivní. Primitivní polynom přes F je neredukovatelný F právě když je to neredukovatelné nad pole zlomků z F. Každý polynom skončil F mohou být rozloženy na produkt nenulové konstanty a konečného počtu nekonstantní neredukovatelných primitivních polynomů. Nenulová konstanta může být sama rozložena na produkt a jednotka z F a konečný počet neredukovatelné prvky z FObě faktorizace jsou jedinečné až do pořadí faktorů a násobení faktorů jednotkou F.

Toto je tato věta, která motivuje k definici neredukovatelný polynom nad jedinečnou faktorizační doménou často předpokládá, že polynom je nekonstantní.

Všechno algoritmy které jsou v současné době implementováno pro factoringové polynomy nad celá čísla a přes racionální čísla použijte tento výsledek (viz Faktorizace polynomů ).

Přes celá čísla a konečné pole

Neredukovatelnost polynomu nad celými čísly ${ displaystyle mathbb {Z}}$ souvisí s tím v terénu ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ z ${ displaystyle p}$ prvky (pro prvočíslo ${ displaystyle p}$). Zejména pokud je to jednorozměrný polynom F přes ${ displaystyle mathbb {Z}}$ je neredukovatelný ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ pro některé prime ${ displaystyle p}$ který nerozdělí vedoucí koeficient o F (koeficient nejvyššího výkonu proměnné), poté F je neredukovatelný ${ displaystyle mathbb {Z}}$. Eisensteinovo kritérium je varianta této vlastnosti, kde je neredukovatelnost ${ displaystyle p ^ {2}}$ je také zapojen.

Konverzace však není pravdivá: existují polynomy libovolně vysokého stupně, které jsou neredukovatelné nad celými čísly a redukovatelné nad každým konečným polem.^[3] Jednoduchý příklad takového polynomu je ${ displaystyle x ^ {4} +1.}$

Vztah mezi neredukovatelností nad celými čísly a neredukovatelností modulo p je hlubší než předchozí výsledek: k dnešnímu dni všechny implementované algoritmy pro faktorizaci a neredukovatelnost nad celými čísly a nad racionálními čísly používají faktorizaci přes konečná pole jako podprogram.

Počet stupňů n neredukovatelné monické polynomy přes pole ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ pro q hlavní síla je dána^[4]

${ displaystyle N (q, n) = { frac {1} {n}} součet _ {d mid n} mu (d) q ^ { frac {n} {d}},}$

kde μ je Möbiova funkce. Pro q = 2, takové polynomy se běžně používají ke generování pseudonáhodné binární sekvence.

V určitém smyslu jsou téměř všechny polynomy s koeficienty nula nebo jeden neredukovatelné nad celými čísly. Přesněji řečeno, pokud je verze Riemannova hypotéza pro Funkce Dedekind zeta se předpokládá pravděpodobnost neredukovatelnosti nad celými čísly pro polynom s náhodný koeficienty v {0, 1} inklinuje k jednomu, když se stupeň zvyšuje.^[5][6]

Algoritmy

Jedinečná faktorizační vlastnost polynomů neznamená, že lze vždy vypočítat faktorizaci daného polynomu. Dokonce i neredukovatelnost polynomu nemusí být vždy prokázána výpočtem: existují pole, nad nimiž není algoritmus může existovat pro rozhodování o neredukovatelnosti libovolných polynomů.^[7]

Algoritmy pro factoringové polynomy a rozhodování o neredukovatelnosti jsou známy a implementovány v systémy počítačové algebry pro polynomy nad celými čísly racionální čísla, konečná pole a konečně generované rozšíření pole těchto polí. Všechny tyto algoritmy používají algoritmy pro faktorizace polynomů nad konečnými poli.

Rozšíření pole

Pojmy neredukovatelného polynomu a rozšíření algebraického pole jsou silně příbuzné, a to následujícím způsobem.

Nechat X být prvkem rozšíření L pole K.. O tomto prvku se říká, že je algebraický pokud je to vykořenit polynomu s koeficienty v K.. Mezi polynomy, z nichž X je kořen, existuje přesně ten, který je monic a minimálního stupně, nazývaného minimální polynom z X. Minimální polynom algebraického prvku X z L je neredukovatelný a je jedinečným monickým neredukovatelným polynomem X je kořen. Minimální polynom z X rozděluje každý polynom, který má X jako root (to je Ábelova věta o neredukovatelnosti ).

Naopak, pokud ${ displaystyle P (X) v K [X]}$ je jednorozměrný polynom nad polem K., nechť ${ displaystyle L = K [X] / P (X)}$ být kvocientový kroužek polynomiálního kruhu ${ displaystyle K [X]}$ podle ideální generováno podle P. Pak L je pole právě tehdy P je neredukovatelný K.. V tomto případě, pokud X je obraz X v L, minimální polynom z X je podíl z P podle jeho vedoucí koeficient.

Příkladem výše uvedeného je standardní definice komplexní čísla tak jako ${ displaystyle mathbb {C} = mathbb {R} [X] / vlevo (X ^ {2} +1 vpravo).}$

Pokud je polynom P má neredukovatelný faktor Q přes K., který má titul větší než jeden, lze požádat o Q předchozí konstrukci algebraického rozšíření, abychom získali rozšíření, ve kterém P má alespoň o jeden kořen více než v K.. Iterací této konstrukce člověk nakonec získá pole, nad kterým P faktory na lineární faktory. Toto pole je jedinečné až do A polní izomorfismus, se nazývá rozdělení pole z P.

Přes integrální doménu

Li R je integrální doména prvek F z R to není ani nula, ani jednotka se nevolá neredukovatelné pokud nejsou žádné jednotky G a h s F = gh. Jeden může ukázat, že každý hlavní prvek je neredukovatelný;^[8] konverzace není obecně platná, ale drží se jedinečné faktorizační domény. The polynomiální kruh F[X] nad polem F (nebo libovolná jedinečná faktorizační doména) je opět jedinečnou faktorizační doménou. Indukčně to znamená, že polynomiální kruh je v n neurčí (přes prsten R) je jedinečná faktorizační doména, pokud platí totéž R.

Viz také

• Gaussovo lema (polynom)
• Racionální kořenová věta, metoda zjištění, zda má polynom lineární faktor s racionálními koeficienty
• Eisensteinovo kritérium
• Perronova metoda
• Hilbertova věta o neredukovatelnosti
• Cohnovo kritérium neredukovatelnosti
• Neredukovatelná složka a topologický prostor
• Faktorizace polynomů nad konečnými poli
• Kvartická funkce § Redukovatelné kvartiky
• Kubická funkce § faktorizace
• Casus irreducibilis, neredukovatelná krychle se třemi skutečnými kořeny
• Kvadratická rovnice § Kvadratická faktorizace

Poznámky

Reference

• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556. Tato klasická kniha pokrývá většinu obsahu tohoto článku.
• Gallian, Joseph (2012), Současná abstraktní algebra (8. vydání), Cengage Learning, ISBN  978-1285402734
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Konečná pole (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-39231-0, str. 91.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3. vyd.), American Mathematical Society, ISBN  9780821816462
• Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (1997), Příručka aplikované kryptografie, CRC Press, ISBN  978-0-8493-8523-0, 154.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Neredukovatelný polynom“. MathWorld.
• Neredukovatelný polynom na PlanetMath.
• Informace o primitivních a neredukovatelných polynomech „(Kombinatorický) objektový server.