Automorfická skupina - Automorphism group - Wikipedia

v matematika, automorfická skupina objektu X je skupina skládající se z automorfismy z X. Například pokud X je konečně-dimenzionální vektorový prostor, pak skupina automorfismu z X je obecná lineární skupina z X, skupina invertibilních lineární transformace z X pro sebe.

Zejména v geometrických kontextech se skupina automorfismu také nazývá a skupina symetrie. Podskupina skupiny automorfismu se nazývá a transformační skupina (zejména ve staré literatuře).

Příklady

Automorphism skupina a soubor X je přesně to symetrická skupina z X.
A skupinový homomorfismus do skupiny automorfismu množiny X činí a skupinová akce na X: opravdu, každý odešel G-akce na setu X určuje ${ displaystyle G to operatorname {Aut} (X), , g mapsto sigma _ {g}, , sigma _ {g} (x) = g cdot x}$ a naopak každý homomorfismus ${ displaystyle varphi: G k operatorname {Aut} (X)}$ definuje akci ${ displaystyle g cdot x = varphi (g) x}$ .
Nechat ${ displaystyle A, B}$ být dvě konečné sady stejných mohutnost a ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ soubor všech bijekce ${ displaystyle A mathrel { overset { sim} { to}} B}$ . Pak ${ displaystyle operatorname {Aut} (B)}$ , což je symetrická skupina (viz výše), působí na ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ zleva volně a přechodně; to znamená, ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ je torzor pro ${ displaystyle operatorname {Aut} (B)}$ (srov. # V teorii kategorií ).
Skupina automorfismu ${ displaystyle G}$ konečný cyklická skupina z objednat n je izomorfní na ${ displaystyle ( mathbb {Z} / n mathbb {Z}) ^ {*}}$ s izomorfismem daným ${ displaystyle { overline {a}} mapsto sigma _ {a} v G, , sigma _ {a} (x) = x ^ {a}}$ .^[1] Zejména, ${ displaystyle G}$ je abelianská skupina.
Vzhledem k tomu, rozšíření pole ${ displaystyle L / K}$ , jeho skupina automorphism je skupina skládající se z polních automorphismů L že opravit K.: je lépe známý jako Galoisova skupina z ${ displaystyle L / K}$ .
Automorfická skupina skupiny projektivní n-prostor přes pole k je projektivní lineární skupina ${ displaystyle operatorname {PGL} _ {n} (k).}$ ^[2]
Automorphism skupina konečně-dimenzionální real Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ má strukturu (skutečné) Lež skupina (ve skutečnosti je to dokonce a lineární algebraická skupina: viz. níže). Li G je Lieova skupina s Lieovou algebrou ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , pak skupina automorfismu z G má strukturu Lieovy skupiny vyvolanou ze skupiny na automorfické skupině ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .^[3]^[4]
Nechat P být definitivně generováno projektivní modul přes prsten R. Pak je tu vkládání ${ displaystyle operatorname {Aut} (P) hookrightarrow operatorname {GL} _ {n} (R)}$ , jedinečné až vnitřní automorfismy.^[5]

V teorii kategorií

Skupiny automorfismu se v systému objevují velmi přirozeně teorie kategorií.

Li X je objekt v kategorii, pak skupina automorfismu X je skupina skládající se ze všech invertibilních morfismy z X pro sebe. To je skupina jednotek z endomorfismus monoid z X. (Některé příklady viz PODPĚRA.)

Li ${ displaystyle A, B}$ jsou objekty v nějaké kategorii, pak sada ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ ze všech ${ displaystyle A mathrel { overset { sim} { to}} B}$ je levice ${ displaystyle operatorname {Aut} (B)}$ -torzor. Z praktického hlediska to říká, že jiná volba základního bodu je ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ se jednoznačně liší prvkem ${ displaystyle operatorname {Aut} (B)}$ , nebo že každá volba základního bodu je přesně volbou bagatelizace torzoru.

Li ${ displaystyle X_ {1}}$ a ${ displaystyle X_ {2}}$ jsou objekty v kategoriích ${ displaystyle C_ {1}}$ a ${ displaystyle C_ {2}}$ , a pokud ${ displaystyle F: C_ {1} až C_ {2}}$ je funktor mapování ${ displaystyle X_ {1}}$ na ${ displaystyle X_ {2}}$ , pak ${ displaystyle F}$ indukuje skupinový homomorfismus ${ displaystyle operatorname {Aut} (X_ {1}) to operatorname {Aut} (X_ {2})}$ , protože mapuje invertibilní morfismy na invertibilní morfismy.

Zejména pokud G je skupina považovaná za kategorie s jediným objektem * nebo obecněji, pokud G je grupoid, pak každý funktor ${ displaystyle G do C}$ , C kategorie, se nazývá akce nebo reprezentace G na objektu ${ displaystyle F (*)}$ nebo objekty ${ displaystyle F ( operatorname {Obj} (G))}$ . O těchto objektech se pak říká, že jsou ${ displaystyle G}$ -objekty (jak jsou činěny ${ displaystyle G}$ ); srov. ${ displaystyle mathbb {S}}$ -objekt. Li ${ displaystyle C}$ je kategorie modulu, jako je kategorie konečných trojrozměrných vektorových prostorů ${ displaystyle G}$ -objekty se také nazývají ${ displaystyle G}$ - moduly.

Funktor skupiny Automorfismus

Nechat ${ displaystyle M}$ být konečným trojrozměrným vektorovým prostorem nad polem k který je vybaven nějakou algebraickou strukturou (tj. M je konečně-dimenzionální algebra přes k). Může to být například an asociativní algebra nebo a Lež algebra.

Nyní zvažte k-lineární mapy ${ displaystyle M až M}$ které zachovávají algebraickou strukturu: tvoří a vektorový podprostor ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M)}$ z ${ displaystyle operatorname {End} (M)}$ . Skupina jednotek ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M)}$ je skupina automorfismu ${ displaystyle operatorname {Aut} (M)}$ . Když základ na M je vybrán, ${ displaystyle operatorname {End} (M)}$ je prostor čtvercové matice a ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M)}$ je nulová množina některých polynomiální rovnice, a invertibilita je opět popsána polynomy. Proto, ${ displaystyle operatorname {Aut} (M)}$ je lineární algebraická skupina přes k.

Nyní základní rozšíření aplikovaná na výše uvedenou diskusi určuje funktor:^[6] jmenovitě pro každého komutativní prsten R přes k, zvažte R-lineární mapy ${ displaystyle M otimes R to M otimes R}$ zachování algebraické struktury: označte ji ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M otimes R)}$ . Poté skupina jednotek maticového kruhu ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M otimes R)}$ přes R je skupina automorfismu ${ displaystyle operatorname {Aut} (M otimes R)}$ a ${ displaystyle R mapsto operatorname {Aut} (M otimes R)}$ je skupinový funktor: funktor z kategorie komutativních prstenů přes k do kategorie skupin. Ještě lépe to představuje schéma (protože skupiny automorfismu jsou definovány polynomy): toto schéma se nazývá skupinové schéma automorfismu a je označen ${ displaystyle operatorname {Aut} (M)}$ .

Obecně však nemusí být funktor skupiny automorfismu představován schématem.

Viz také

Skupina vnějšího automorfismu
Struktura úrovně, trik, jak zabít skupinu automorfismu
Skupina holonomy

Reference

^ Dummit & Foote 2004, § 2.3. Cvičení 26.
^ Hartshorne 1977, Ch. II, příklad 7.1.1.
^ Hochschild, G. (1952). „Automorphism Group of a Lie Group“. Transakce Americké matematické společnosti. 72 (2): 209–216. JSTOR 1990752.
^ (Následující Fulton & Harris 1991, Cvičení 8.28.) Nejprve, pokud G je jednoduše propojen, skupina automorfismu G je to z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Zadruhé, každá propojená Lieova skupina má formu ${ displaystyle { widetilde {G}} / C}$ kde ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ je jednoduše spojená Lieova skupina a C je ústřední podskupina a skupina automorfismu G je skupina automorfismu ${ displaystyle G}$ který zachovává C. Zatřetí, podle konvence je Lieova skupina druhá spočetná a má nanejvýš coutabilně mnoho spojených komponent; obecný případ se tedy redukuje na spojený případ.
^ Milnor 1971, Lemma 3.2.
^ Waterhouse 2012, § 7.6.

Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.
Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
Milnor, John Willard (1971). Úvod do algebraické K-teorie. Annals of Mathematics Studies. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. PAN 0349811. Zbl 0237.18005.
Waterhouse, William C. (2012) [1979]. Úvod do schémat afinních skupin. Postgraduální texty z matematiky. 66. Springer Verlag. ISBN 9781461262176.

externí odkazy

https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme

[1] Dummit & Foote 2004, § 2.3. Cvičení 26.

[2] Hartshorne 1977, Ch. II, příklad 7.1.1.

[3] Hochschild, G. (1952). „Automorphism Group of a Lie Group“. Transakce Americké matematické společnosti. 72 (2): 209–216. JSTOR 1990752.

[4] (Následující Fulton & Harris 1991, Cvičení 8.28.) Nejprve, pokud G je jednoduše propojen, skupina automorfismu G je to z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Zadruhé, každá propojená Lieova skupina má formu ${ displaystyle { widetilde {G}} / C}$ kde ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ je jednoduše spojená Lieova skupina a C je ústřední podskupina a skupina automorfismu G je skupina automorfismu ${ displaystyle G}$ který zachovává C. Zatřetí, podle konvence je Lieova skupina druhá spočetná a má nanejvýš coutabilně mnoho spojených komponent; obecný případ se tedy redukuje na spojený případ.

[5] Milnor 1971, Lemma 3.2.

[6] Waterhouse 2012, § 7.6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]