Binární obklady - Binary tiling

Část binární obklady zobrazené v Poincarého polorovinový model. Vodorovné čáry odpovídají horocykly v hyperbolické rovině a svislé úsečky odpovídají řádky v hyperbolické rovině.
Alternativní verze binárního obkladu s polygonálními dlaždicemi (zobrazeno také v modelu Poincaré s polorovinou). Díky tomu je obklad správný pětiúhelníkové obklady.

v geometrie, binární obklady (někdy nazývaný Böröczky obklady)[1] je obklady z hyperbolická rovina, připomínající a čtyřstrom přes Poincarého polorovinový model hyperbolické roviny. Poprvé byl studován v roce 1974 Károly Böröczky [hu ].[2][3][4]

Dlaždice

Dlaždice jsou tvary ohraničené třemi horocyklický segmenty (z nichž dva jsou součástí stejného horocyklu) a dva úsečky. Všechny dlaždice jsou shodné. I když jsou modelovány čtverci nebo obdélníky modelu Poincaré, dlaždice mají spíše pět stran než čtyři a nejedná se o hyperbolické polygony, protože jejich horocyklické hrany nejsou rovné.[2] Alternativně kombinatoricky ekvivalentní obklad používá hyperbolické pětiúhelníky, které spojují stejné vrcholy ve stejném vzoru. V této formě obkladů se dlaždice neobjevují jako obdélníky v modelu poloroviny a horocykly tvořené sekvencemi hran jsou nahrazeny apeirogony.

Výčet a periodicita

U těchto dlaždic existuje nespočetně mnoho různých naklonění hyperbolické roviny, i když jsou upraveny přidáním výčnělků a prohlubní, které je přinutí, aby se setkaly od okraje k okraji. Žádný z těchto různých obkladů není periodický (s a cocompact skupina symetrie),[2][5] i když některé (například ten, ve kterém existuje čára, která je zcela zakryta hranami dlaždic) mají jednorozměrnou nekonečnou skupinu symetrie.

aplikace

Tento obklad lze použít k ukázce, že hyperbolická rovina má obklady shodnými dlaždicemi libovolně malé plochy.[3]

Viz také

Reference

  1. ^ Dolbilin, Nikolai; Frettlöh, Dirku. "Vlastnosti Böröczkyho obkladů ve vysokodimenzionálních hyperbolických prostorech" (PDF). European Journal of Combinatorics. 31 (4): 1181–1195. doi:10.1016 / j.ejc.2009.11.016.
  2. ^ A b C Radin, Charles (2004). „Orbits of Orbs: Sphere Packing Meets Penrose Tilings“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 111 (2): 137–149. doi:10.2307/4145214. JSTOR  4145214.
  3. ^ A b Agol, Iane (26. ledna 2018). "Nejmenší dlaždice k mozaikování hyperbolické roviny". MathOverflow.
  4. ^ Böröczky, Károly (1974). „Gömbkitöltések állandó görbületű terekben I“. Matematikai Lapok (v maďarštině). 25: 265–306. Jak uvádí Radin.
  5. ^ Penrose, R. (1979–1980). "Pentaplexita: třída neperiodických náklonů letadla". Matematický zpravodaj. 2 (1): 32–37. doi:10.1007 / BF03024384. PAN  0558670.