Poissonovo rozdělení - Poisson distribution

Poissonova distribuce

Funkce pravděpodobnostní hmotnosti Vodorovná osa je index k, počet výskytů. λ je očekávaná míra výskytu. Svislá osa je pravděpodobnost k dané události λ. Funkce je definována pouze při celočíselných hodnotách k; spojovací čáry jsou pouze vodítky pro oko.
Funkce kumulativní distribuce Vodorovná osa je index k, počet výskytů. CDF je diskontinuální v celých číslech k a plochý všude jinde, protože proměnná, která je distribuována Poissonem, přebírá pouze celočíselné hodnoty.
Zápis	${displaystyle operatorname {Pois} (lambda)}$
Parametry	${displaystyle lambda in (0, infty)}$ (hodnotit)
Podpěra, podpora	${displaystyle kin mathbb {N} _ {0}}$ (Přirozená čísla od 0)
PMF	${displaystyle {frac {lambda ^ {k} e ^ {- lambda}} {k!}}}$
CDF	${displaystyle {frac {Gamma (lfloor k + 1floor, lambda)} {lfloor kfloor!}}}$nebo ${displaystyle e ^ {- lambda} součet _ {i = 0} ^ {lfloor kfloor} {frac {lambda ^ {i}} {i!}}}$nebo ${displaystyle Q (lfloor k + 1floor, lambda)}$ (pro ${displaystyle kgeq 0}$, kde ${displaystyle Gamma (x, y)}$ je horní neúplná funkce gama, ${displaystyle lfloor kfloor}$ je funkce podlahy a Q je regularizovaná funkce gama )
Znamenat	${displaystyle lambda}$
Medián	${displaystyle přibližné podlahové lambda + 1 / 3-0,02 / lambda podlaha}$
Režim	${displaystyle lceil lambda ceil -1, lfloor lambda floor}$
Rozptyl	${displaystyle lambda}$
Šikmost	${displaystyle lambda ^ {- 1/2}}$
Př. špičatost	${displaystyle lambda ^ {- 1}}$
Entropie	${displaystyle lambda [1-log (lambda)] + e ^ {- lambda} součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {lambda ^ {k} log (k!)} {k!}}}$(pro velké ${displaystyle lambda}$) ${displaystyle {frac {1} {2}} log (2pi elambda) - {frac {1} {12lambda}} - {frac {1} {24lambda ^ {2}}} - {}}$ ${displaystyle qquad {frac {19} {360lambda ^ {3}}} + Oleft ({frac {1} {lambda ^ {4}}} v pořádku)}$
MGF	${displaystyle exp [lambda (e ^ {t} -1)]}$
CF	${displaystyle exp [lambda (e ^ {it} -1)]}$
PGF	${displaystyle exp [lambda (z-1)]}$
Fisher informace	${displaystyle {frac {1} {lambda}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Poissonovo rozdělení (/ˈpwɑːsɒn/; Francouzská výslovnost:[pwasɔ̃]), pojmenoval podle francouzština matematik Siméon Denis Poisson, je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti který vyjadřuje pravděpodobnost daného počtu událostí vyskytujících se v pevném časovém nebo prostorovém intervalu, pokud k těmto událostem dojde se známou konstantní střední rychlostí a nezávisle času od poslední události.^[1] Poissonovo rozdělení lze také použít pro počet událostí v jiných určených intervalech, jako je vzdálenost, plocha nebo objem.

Například jednotlivec, který sleduje množství pošty, které dostává každý den, si může všimnout, že dostává průměrný počet 4 dopisů denně. Pokud příjem konkrétní poštovní zásilky nemá vliv na časy příchodu budoucích poštovních zásilek, tj. Pokud poštovní zásilky ze široké škály zdrojů dorazí nezávisle na sobě, pak lze rozumně předpokládat, že počet přijatých poštovních zásilek za den se řídí Poissonovým rozdělením.^[2] Mezi další příklady, které mohou následovat Poissonovu distribuci, patří počet telefonních hovorů přijatých call centrem za hodinu a počet událostí rozpadu za sekundu z radioaktivního zdroje.

Definice

Funkce pravděpodobnostní hmotnosti

Poissonova distribuce je populární pro modelování kolikrát dojde k události v časovém nebo prostorovém intervalu.

Diskrétní náhodná proměnná X se říká, že má Poissonovo rozdělení s parametrem λ > 0, pokud pro k = 0, 1, 2, ..., funkce pravděpodobnostní hmotnosti z X je dána:^[3]:60

${displaystyle! f (k; lambda) = Pr (X = k) = {frac {lambda ^ {k} e ^ {- lambda}} {k!}},}$

kde

• E je Eulerovo číslo (E = 2.71828...)
• k je počet výskytů
• k! je faktoriál z k.

Pozitivní reálné číslo λ se rovná očekávaná hodnota z X a také k jeho rozptyl^[4]

${displaystyle lambda = operatorname {E} (X) = operatorname {Var} (X).}$

Poissonovo rozdělení lze aplikovat na systémy s a velké množství možných událostí, z nichž každá je vzácná. Počet takových událostí, ke kterým dojde během pevného časového intervalu, je za správných okolností náhodné číslo s Poissonovým rozdělením.

Rovnici lze upravit, pokud namísto průměrného počtu událostí ${displaystyle lambda}$, dostaneme časovou sazbu pro počet událostí ${displaystyle r}$ stát se. Pak ${displaystyle lambda = rt}$ (zobrazeno ${displaystyle r}$ počet událostí za jednotku času) a

${displaystyle P (k {ext {události v intervalu}} t) = {frac {(rt) ^ {k} e ^ {- rt}} {k!}}}$

Příklad

Poissonovo rozdělení může být užitečné pro modelování událostí jako např

• Počet meteoritů o průměru větším než 1 metr, které zasáhnou Zemi za rok
• Počet pacientů přijíždějících na pohotovost mezi 22 a 23 hodinou
• Počet laserových fotonů dopadajících na detektor v určitém časovém intervalu

Předpoklady a platnost

Poissonovo rozdělení je vhodný model, pokud jsou splněny následující předpoklady:^[5]

• k je počet výskytů události v intervalu a k může nabývat hodnot 0, 1, 2, ....
• Výskyt jedné události nemá vliv na pravděpodobnost, že dojde k druhé události. To znamená, že k událostem dochází nezávisle.
• Průměrná rychlost výskytu událostí je nezávislá na jakýchkoli událostech. Pro zjednodušení se to obvykle předpokládá konstantní, ale v praxi se to může časem lišit.
• Dvě události nemohou nastat přesně ve stejném okamžiku; místo toho v každém velmi malém dílčím intervalu nastane nebo nenastane přesně jedna událost.

Pokud jsou tyto podmínky pravdivé, pak k je Poissonova náhodná proměnná a rozdělení k je Poissonovo rozdělení.

Poissonovo rozdělení je také omezit a binomická distribuce, pro které se pravděpodobnost úspěchu u každého pokusu rovná λ děleno počtem pokusů, protože počet pokusů se blíží nekonečnu (viz Související distribuce ).

Příklady pravděpodobnosti Poissonova rozdělení

Události v intervalu: Zvláštní případ λ = 1 a k = 0

Předpokládejme, že astronomové odhadují, že velké meteority (nad určitou velikost) zasáhly Zemi v průměru jednou za 100 let (λ = 1 událost za 100 let) a že počet zásahů meteoritů sleduje Poissonovo rozdělení. Jaká je pravděpodobnost k = 0 zásahů meteoritu v příštích 100 letech?

${displaystyle P (k = {ext {0 meteoritů zasažených v příštích 100 letech}}) = {frac {1 ^ {0} e ^ {- 1}} {0!}} = {frac {1} {e}} přibližně 0,37}$

Za těchto předpokladů je pravděpodobnost, že v příštích 100 letech nenarazí na Zemi žádné velké meteority, zhruba 0,37. Zbývajících 1 - 0,37 = 0,63 je pravděpodobnost 1, 2, 3 nebo více zásahů velkých meteoritů v příštích 100 letech. Ve výše uvedeném příkladu došlo k přetečení jednou za 100 let (λ = 1). Podle stejného výpočtu byla pravděpodobnost záplavy za 100 let zhruba 0,37.

Obecně platí, že pokud k události dojde v průměru jednou za interval (λ = 1) a události následují Poissonovo rozdělení P(0 událostí v dalším intervalu) = 0,37. Navíc, P(přesně jedna událost v dalším intervalu) = 0,37, jak je uvedeno v tabulce pro přetečení povodní.

Příklady, které porušují Poissonovy předpoklady

Počet studentů, kteří přijedou na studentská unie za minutu pravděpodobně nebude následovat Poissonovo rozdělení, protože rychlost není konstantní (nízká rychlost během vyučování, vysoká rychlost mezi vyučovacími hodinami) a příjezdy jednotlivých studentů nejsou nezávislé (studenti mají tendenci přicházet ve skupinách).

Počet zemětřesení o velikosti 5 za rok v zemi nemusí následovat Poissonovo rozdělení, pokud jedno velké zemětřesení zvyšuje pravděpodobnost následných otřesů podobné velikosti.

Příklady, ve kterých je zaručena alespoň jedna událost, nejsou distribuovány Poission; ale lze modelovat pomocí a Nulové zkrácené Poissonovo rozdělení.

Distribuce počtu, ve kterých je počet intervalů s nulovými událostmi vyšší, než předpovídal Poissonův model, lze modelovat pomocí a Model s nulovým nafouknutím.

Vlastnosti

Deskriptivní statistika

• The očekávaná hodnota a rozptyl Poissonově distribuované náhodné proměnné jsou obě rovny λ.
• The variační koeficient je ${displaystyle extstyle lambda ^ {- 1/2}}$, zatímco index disperze je 1.^[7]:163
• The znamená absolutní odchylku o průměru je^[7]:163

${displaystyle operatorname {E} [| X-lambda |] = {frac {2lambda ^ {lfloor lambda floor +1} e ^ {- lambda}} {lfloor lambda floor!}}.}$

• The režimu Poissonově distribuované náhodné proměnné s neceločíselným λ se rovná ${displaystyle scriptstyle lfloor lambda floor}$, což je největší celé číslo menší nebo rovnoλ. Toto se také píše jako podlaha (λ). Když λ je kladné celé číslo, režimy jsou λ a λ − 1.
• Všechny kumulanty Poissonova rozdělení se rovnají očekávané hodnotěλ. The nth faktoriální moment Poissonova rozdělení je λⁿ.
• The očekávaná hodnota a Poissonův proces se někdy rozkládá na produkt intenzita a vystavení (nebo obecněji vyjádřeno jako integrál „funkce intenzity“ v čase nebo prostoru, někdy označované jako „expozice“).^[8]

Medián

Meze pro medián (${displaystyle u}$) distribuce jsou známy a jsou ostrý:^[9]

${displaystyle lambda -ln 2leq u$

Vyšší okamžiky

• Ten vyšší momenty m_k Poissonova rozdělení o původu jsou Dotykové polynomy v λ:

${displaystyle m_ {k} = součet _ {i = 0} ^ {k} lambda ^ {i} vlevo {{egin {matice} k iend {matice}} vpravo},}$

kde {složené závorky} označují Stirlingova čísla druhého druhu.^[10][1]:6 Koeficienty polynomů mají a kombinační význam. Ve skutečnosti, když je očekávaná hodnota Poissonova rozdělení 1, pak Dobinského vzorec říká, že nten okamžik se rovná počtu oddíly sady velikosti n.

Pro necentrované momenty definujeme ${displaystyle B = k / lambda}$, pak^[11]

${displaystyle E [X ^ {k}] ^ {1 / k} leq Ccdot {egin {cases} k / B & {ext {if}} quad B$

kde ${displaystyle C}$ je nějaká absolutní konstanta větší než 0.

Součty Poissonově distribuovaných náhodných proměnných

Li ${displaystyle X_ {i} sim operatorname {Pois} (lambda _ {i})}$ pro ${displaystyle i = 1, dotsc, n}$ jsou nezávislý, pak ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} sim operatorname {Pois} left (sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} ight)}$.^[12]:65 Konverzace je Raikovova věta, který říká, že pokud je součet dvou nezávislých náhodných proměnných distribuován podle Poissona, pak platí i každá z těchto dvou nezávislých náhodných proměnných.^[13][14]

Další vlastnosti

• Poissonovo rozdělení je nekonečně dělitelný rozdělení pravděpodobnosti.^{[15]:233[7]:164}
• Režie Kullback – Leiblerova divergence z ${displaystyle operatorname {Pois} (lambda _ {0})}$ z ${displaystyle operatorname {Pois} (lambda)}$ je dána

${displaystyle operatorname {D} _ {ext {KL}} (lambda mid lambda _ {0}) = lambda _ {0} -lambda + lambda log {frac {lambda} {lambda _ {0}}}.}$

• Hranice pravděpodobností ocasu Poissonovy náhodné proměnné ${displaystyle Xsim operatorname {Pois} (lambda)}$ lze odvodit pomocí a Černoff svázán argument.^[16]:97-98

${displaystyle P (Xgeq x) leq {frac {(elambda) ^ {x} e ^ {- lambda}} {x ^ {x}}}, {ext {for}} x> lambda}$,

${displaystyle P (Xleq x) leq {frac {(elambda) ^ {x} e ^ {- lambda}} {x ^ {x}}}, {ext {for}} x$

• Pravděpodobnost horního ocasu lze utáhnout (nejméně dvakrát) takto:^[17]

${displaystyle P (Xgeq x) leq {frac {e ^ {- operatorname {D} _ {ext {KL}} (xmid lambda)}} {max {(2, {sqrt {4pi operatorname {D} _ {ext { KL}} (xmid lambda)}}}}}}, {ext {for}} x> lambda,}$

kde ${displaystyle operatorname {D} _ {ext {KL}} (xmid lambda)}$ je směrovaná Kullback – Leiblerova divergence, jak je popsáno výše.

• Nerovnosti, které se vztahují k distribuční funkci Poissonovy náhodné proměnné ${displaystyle Xsim operatorname {Pois} (lambda)}$ do Standardní normální rozdělení funkce ${displaystyle Phi (x)}$ jsou následující:^[17]

${displaystyle Phi left (operatorname {sign} (k-lambda) {sqrt {2operatorname {D} _ {ext {KL}} (kmid lambda)}} ight)$

0,}

kde ${displaystyle operatorname {D} _ {ext {KL}} (kmid lambda)}$ je opět řízená Kullback – Leiblerova divergence.

Poissonovy závody

Nechat ${displaystyle Xsim operatorname {Pois} (lambda)}$ a ${displaystyle Ysim operatorname {Pois} (mu)}$ být nezávislé náhodné proměnné, s ${displaystyle lambda$, pak tu máme

${displaystyle {frac {e ^ {- ({sqrt {mu}} - {sqrt {lambda}}) ^ {2}}} {(lambda + mu) ^ {2}}} - {frac {e ^ {- (lambda + mu)}} {2 {sqrt {lambda mu}}}} - {frac {e ^ {- (lambda + mu)}} {4lambda mu}} leq P (X-Ygeq 0) leq e ^ { - ({sqrt {mu}} - {sqrt {lambda}}) ^ {2}}}$

Horní mez je prokázána pomocí standardní Chernoffovy meze.

Dolní mez lze prokázat tím, že si to všimneme ${displaystyle P (X-Ygeq 0mid X + Y = i)}$ je pravděpodobnost, že ${displaystyle Zgeq {frac {i} {2}}}$, kde ${displaystyle Zsim operatorname {Bin} left (i, {frac {lambda} {lambda + mu}} ight)}$, který je níže ohraničen ${displaystyle {frac {1} {(i + 1) ^ {2}}} e ^ {left (-iDleft (0,5 | {frac {lambda} {lambda + mu}} ight) ight)}}$, kde ${displaystyle D}$ je relativní entropie (Viz záznam na hranice na ocasy binomických distribucí pro detaily). Dále si to všímat ${displaystyle X + Ysim operatorname {Pois} (lambda + mu)}$a výpočet dolní meze bezpodmínečné pravděpodobnosti dává výsledek. Více podrobností naleznete v příloze Kamath et al..^[18]

Související distribuce

Všeobecné

• Li ${displaystyle X_ {1} sim mathrm {Pois} (lambda _ {1}),}$ a ${displaystyle X_ {2} sim mathrm {Pois} (lambda _ {2}),}$ jsou nezávislé, pak rozdíl ${displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2}}$ následuje a Distribuce Skellam.
• Li ${displaystyle X_ {1} sim mathrm {Pois} (lambda _ {1}),}$ a ${displaystyle X_ {2} sim mathrm {Pois} (lambda _ {2}),}$ jsou nezávislé, pak distribuce ${displaystyle X_ {1}}$ podmíněno ${displaystyle X_ {1} + X_ {2}}$ je binomická distribuce.

Konkrétně pokud ${displaystyle X_ {1} + X_ {2} = k}$, pak ${displaystyle! X_ {1} sim mathrm {Binom} (k, lambda _ {1} / (lambda _ {1} + lambda _ {2}))}$.

Obecněji, pokud X₁, X₂,..., X_n jsou nezávislé Poissonovo náhodné proměnné s parametry λ₁, λ₂,..., λ_n pak

daný ${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} = k,}$ ${displaystyle X_ {i} sim mathrm {Binom} vlevo (k, {frac {lambda _ {i}} {sum _ {j = 1} ^ {n} lambda _ {j}}} vpravo)}$. Ve skutečnosti, ${displaystyle {X_ {i}} sim mathrm {Multinom} left (k, left {{frac {lambda _ {i}} {sum _ {j = 1} ^ {n} lambda _ {j}}} ight} ight )}$.

• Li ${displaystyle Xsim mathrm {Pois} (lambda),}$ a distribuce ${displaystyle Y}$, podmíněno X = k, je binomická distribuce, ${displaystyle Ymid (X = k) sim mathrm {Binom} (k, p)}$, potom rozdělení Y následuje Poissonovo rozdělení ${displaystyle Ysim mathrm {Pois} (lambda cdot p),}$. Ve skutečnosti, pokud ${displaystyle {Y_ {i}}}$, podmíněné X = k, sleduje multinomické rozdělení, ${displaystyle {Y_ {i}} střední (X = k) sim mathrm {Multinom} vlevo (k, p_ {i} ight)}$, pak každý ${displaystyle Y_ {i}}$ následuje nezávislé Poissonovo rozdělení ${displaystyle Y_ {i} sim mathrm {Pois} (lambda cdot p_ {i}), ho (Y_ {i}, Y_ {j}) = 0}$.
• Poissonovo rozdělení lze odvodit jako omezující případ na binomické rozdělení, protože počet pokusů jde do nekonečna a očekávaný počet úspěchů zůstává pevný - viz zákon vzácných událostí níže. Proto jej lze použít jako aproximaci binomického rozdělení, pokud n je dostatečně velký a p je dostatečně malý. Existuje obecné pravidlo, že Poissonovo rozdělení je dobrou aproximací binomického rozdělení, pokud n je alespoň 20 a p je menší nebo roven 0,05 a vynikající aproximace, pokud n ≥ 100 a np ≤ 10.^[19]

${displaystyle F_ {mathrm {Binomial}} (k; n, p) přibližně F_ {mathrm {Poisson}} (k; lambda = np),}$

• Poissonovo rozdělení je a speciální případ diskrétní složené Poissonovy distribuce (nebo koktání Poissonovy distribuce) pouze s parametrem.^[20][21] Diskrétní složené Poissonovo rozdělení lze odvodit z omezujícího rozdělení jednorozměrného multinomického rozdělení. Je to také a speciální případ a složené Poissonovo rozdělení.
• Pro dostatečně velké hodnoty λ (řekněme λ> 1000) platí normální distribuce se střední hodnotou λ a rozptylem λ (směrodatná odchylka ${displaystyle {sqrt {lambda}}}$) je vynikající aproximací Poissonova rozdělení. Pokud je λ větší než asi 10, pak je normální rozdělení, je-li to vhodné, dobrá aproximace korekce spojitosti se provádí, tj. pokud P (X ≤ X), kde X je nezáporné celé číslo, je nahrazeno P (X ≤ X + 0.5).

${displaystyle F_ {mathrm {Poisson}} (x; lambda) přibližně F_ {mathrm {normal}} (x; mu = lambda, sigma ^ {2} = lambda),}$

• Varianta stabilizující odchylku: Pokud ${displaystyle Xsim mathrm {Pois} (lambda),}$, pak

${displaystyle Y = 2 {sqrt {X}} přibližně {mathcal {N}} (2 {sqrt {lambda}}; 1)}$,^[7]:168

a

${displaystyle Y = {sqrt {X}} přibližně {mathcal {N}} ({sqrt {lambda}}; 1/4)}$.^[22]:196

V rámci této transformace konvergence k normálnosti (jako ${displaystyle lambda}$ zvýšení) je mnohem rychlejší než netransformovaná proměnná.^{[Citace je zapotřebí ]} K dispozici jsou další, trochu komplikovanější transformace stabilizující rozptyl,^[7]:168 jedním z nich je Anscombeova transformace.^[23] Vidět Transformace dat (statistika) pro obecnější použití transformací.

• Pokud pro každého t > 0 počet příjezdů v časovém intervalu [0,t] sleduje Poissonovo rozdělení s průměrem λt, pak jsou sekvence časů mezi příchody nezávislé a identicky distribuované exponenciální náhodné proměnné mající průměr 1 /λ.^{[24]:317–319}
• The kumulativní distribuční funkce Poissona a chi-kvadrát distribuce jsou spojeny následujícími způsoby:^[7]:167

${displaystyle F_ {ext {Poisson}} (k; lambda) = 1-F_ {chi ^ {2}} (2lambda; 2 (k + 1)) quad quad {ext {integer}} k,}$

a^[7]:158

${displaystyle Pr (X = k) = F_ {chi ^ {2}} (2lambda; 2 (k + 1)) - F_ {chi ^ {2}} (2lambda; 2k).}$

Poissonova aproximace

Převzít ${displaystyle X_ {1} sim operatorname {Pois} (lambda _ {1}), X_ {2} sim operatorname {Pois} (lambda _ {2}), tečky, X_ {n} sim operatorname {Pois} (lambda _ {n})}$ kde ${displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2} + tečky + lambda _ {n} = 1}$, pak^[25] ${displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {n})}$ je multinomically distribuovány${displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {n}) sim operatorname {Mult} (N, lambda _ {1}, lambda _ {2}, dots, lambda _ {n})}$ podmíněno ${displaystyle N = X_ {1} + X_ {2} + tečky X_ {n}}$.

To znamená^[16]:101-102, mimo jiné pro jakoukoli nezápornou funkci ${displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n})}$,li ${displaystyle (Y_ {1}, Y_ {2}, tečky, Y_ {n}) sim operatorname {Mult} (m, mathbf {p})}$ je tedy multinomálně distribuován

${displaystyle operatorname {E} [f (Y_ {1}, Y_ {2}, dots, Y_ {n})] leq e {sqrt {m}} operatorname {E} [f (X_ {1}, X_ {2 }, tečky, X_ {n})]}$

kde ${displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {n}) sim operatorname {Pois} (mathbf {p})}$.

Faktor ${displaystyle e {sqrt {m}}}$ lze odstranit, pokud ${displaystyle f}$ dále se předpokládá, že se monotónně zvyšuje nebo snižuje.

Bivariate Poissonovo rozdělení

Tato distribuce byla rozšířena na bivariate případ.^[26] The generující funkce pro tuto distribuci je

${displaystyle g (u, v) = exp [(heta _ {1} - heta _ {12}) (u-1) + (heta _ {2} - heta _ {12}) (v-1) + heta _ {12} (uv-1)]}$

s

${displaystyle heta _ {1}, heta _ {2}> heta _ {12}> 0,}$

Okrajové distribuce jsou Poissonovy (θ₁) a Poisson (θ₂) a korelační koeficient je omezen na rozsah

${displaystyle 0leq ho leq min left {{frac {heta _ {1}} {heta _ {2}}}, {frac {heta _ {2}} {heta _ {1}}} ight}}$

Jednoduchý způsob, jak generovat dvojrozměrné Poissonovo rozdělení ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}}$ je vzít tři nezávislé Poissonovy distribuce ${displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}, Y_ {3}}$ s prostředky ${displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$ a poté nastavit ${displaystyle X_ {1} = Y_ {1} + Y_ {3}, X_ {2} = Y_ {2} + Y_ {3}}$. Pravděpodobnostní funkce bivariačního Poissonova rozdělení je

${displaystyle {egin {aligned} & Pr (X_ {1} = k_ {1}, X_ {2} = k_ {2}) = {} & exp left (-lambda _ {1} -lambda _ {2} -lambda _ {3} ight) {frac {lambda _ {1} ^ {k_ {1}}} {k_ {1}!}} {Frac {lambda _ {2} ^ {k_ {2}}} {k_ {2 }!}} součet _ {k = 0} ^ {min (k_ {1}, k_ {2})} {jiné {k_ {1}} {k}} {jiné {k_ {2}} {k}} k! left ({frac {lambda _ {3}} {lambda _ {1} lambda _ {2}}} ight) ^ {k} end {aligned}}}$

Zdarma Poissonova distribuce

Zdarma Poissonova distribuce^[27] s velikostí skoku ${displaystyle alpha}$ a hodnotit ${displaystyle lambda}$ vzniká v bezplatná pravděpodobnost teorie jako hranice opakování bezplatná konvoluce

${displaystyle left (left (1- {frac {lambda} {N}} ight) delta _ {0} + {frac {lambda} {N}} delta _ {alpha} ight) ^ {oxplus N}}$

tak jako N → ∞.

Jinými slovy, pojďme ${displaystyle X_ {N}}$ být náhodné proměnné, takže ${displaystyle X_ {N}}$ má hodnotu ${displaystyle alpha}$ s pravděpodobností ${displaystyle {frac {lambda} {N}}}$ a hodnota 0 se zbývající pravděpodobností. Předpokládejme také, že rodina ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots}$ jsou svobodně nezávislý. Pak limit jako ${displaystyle N o infty}$ zákona ${displaystyle X_ {1} + cdots + X_ {N}}$je dán zákonem Free Poisson s parametry ${displaystyle lambda, alpha}$.

Tato definice je analogická jednomu ze způsobů, jakým se klasická Poissonova distribuce získává z (klasického) Poissonova procesu.

Míra spojená s volným Poissonovým zákonem je dána vztahem^[28]

${displaystyle mu = {egin {cases} (1-lambda) delta _ {0} + lambda u, & {ext {if}} 0leq lambda leq 1 u, & {ext {if}} lambda> 1, end { případy}}}$

kde

${displaystyle u = {frac {1} {2pi alpha t}} {sqrt {4lambda alpha ^ {2} - (t-alpha (1 + lambda)) ^ {2}}}, dt}$

a má podporu ${displaystyle [alpha (1- {sqrt {lambda}}) ^ {2}, alpha (1+ {sqrt {lambda}}) ^ {2}]}$.

Tento zákon také vzniká v náhodná matice teorie jako Marchenko – Pasturovo právo. Své zdarma kumulanty jsou rovny ${displaystyle kappa _ {n} = lambda alpha ^ {n}}$.

Některé transformace tohoto zákona

Uvádíme hodnoty některých důležitých transformací volného Poissonova zákona; výpočet lze najít např. v knize Přednášky o kombinatorice volné pravděpodobnosti A. Nica a R. Speicher^[29]

The R-transformace volného Poissonova zákona je dán vztahem

${displaystyle R (z) = {frac {lambda alpha} {1-alpha z}}.}$

The Cauchyova transformace (což je zápor z Stieltjesova transformace ) darováno

${displaystyle G (z) = {frac {z + alpha -lambda alpha - {sqrt {(z-alpha (1 + lambda)) ^ {2} -4lambda alpha ^ {2}}}} {2alpha z}}}$

The S-transformace je dána

${displaystyle S (z) = {frac {1} {z + lambda}}}$

v případě, že ${displaystyle alpha = 1}$.

Statistická inference

Odhad parametrů

Vzhledem k vzorku n naměřené hodnoty ${displaystyle k_ {i} v {0,1, ...}}$, pro i = 1, ..., n, chceme odhadnout hodnotu parametru λ populace Poissona, ze kterého byl vzorek odebrán. The maximální pravděpodobnost odhad je ^[30]

${displaystyle {widehat {lambda}} _ {mathrm {MLE}} = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}.!}$

Protože každé pozorování má očekávání λ, znamená to i vzorek. Maximální odhad pravděpodobnosti je proto nezaujatý odhad λ. Je to také efektivní odhad, protože jeho rozptyl dosahuje Cramér – Rao dolní mez (CRLB).^{[Citace je zapotřebí ]} Proto je minimální rozptyl nestranný. Rovněž lze dokázat, že součet (a tedy průměr vzorku, protože se jedná o individuální funkci součtu), je úplnou a dostatečnou statistikou pro λ.

Abychom prokázali dostatečnost, můžeme použít faktorizační věta. Zvažte rozdělení funkce pravděpodobnostní hmotnosti společného Poissonova rozdělení pro vzorek na dvě části: jednu, která závisí výhradně na vzorku ${displaystyle mathbf {x}}$ (volala ${displaystyle h (mathbf {x})}$) a ten, který závisí na parametru ${displaystyle lambda}$ a vzorek ${displaystyle mathbf {x}}$ pouze prostřednictvím funkce ${displaystyle T (mathbf {x})}$. Pak ${displaystyle T (mathbf {x})}$ je dostatečná statistika pro ${displaystyle lambda}$.

${displaystyle P (mathbf {x}) = prod _ {i = 1} ^ {n} {frac {lambda ^ {x_ {i}} e ^ {- lambda}} {x_ {i}!}} = {frac {1} {prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}!}} Imes lambda ^ {sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} e ^ {- nlambda}}$

První termín, ${displaystyle h (mathbf {x})}$, záleží jen na ${displaystyle mathbf {x}}$. Druhý termín, ${displaystyle g (T (mathbf {x}) | lambda)}$, záleží na vzorku pouze prostřednictvím ${displaystyle T (mathbf {x}) = součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$. Tím pádem, ${displaystyle T (mathbf {x})}$ je dostačující.

Abychom našli parametr λ, který maximalizuje pravděpodobnostní funkci pro Poissonovu populaci, můžeme použít logaritmus funkce pravděpodobnosti:

${displaystyle {egin {aligned} ell (lambda) & = ln prod _ {i = 1} ^ {n} f (k_ {i} mid lambda) & = sum _ {i = 1} ^ {n} ln! left ({frac {e ^ {- lambda} lambda ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}} ight) & = - nlambda + left (sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} ight) ln (lambda) -sum _ {i = 1} ^ {n} ln (k_ {i}!). end {aligned}}}$

Bereme derivaci ${displaystyle ell}$ s ohledem na λ a porovnat to s nulou:

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} lambda}} ell (lambda) = 0iff -n + left (sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} ight) {frac {1 } {lambda}} = 0.!}$

Řešení pro λ dává stacionární bod.

${displaystyle lambda = {frac {sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}} {n}}}$

Tak λ je průměr z k_i hodnoty. Získání znaménka druhé derivace L ve stacionárním bodě určí, jaký druh extrémní hodnoty λ je.

${displaystyle {frac {částečné ^ {2} ell} {částečné lambda ^ {2}}} = - lambda ^ {- 2} součet _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}}$

Hodnocení druhé derivace ve stacionárním bodě dává:

${displaystyle {frac {částečné ^ {2} ell} {částečné lambda ^ {2}}} = - {frac {n ^ {2}} {součet _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}}} }$

což je zápor n krát převrácená hodnota průměru k_i. Tento výraz je negativní, když je průměr kladný. Pokud je to splněno, pak stacionární bod maximalizuje pravděpodobnostní funkci.

Pro úplnost, se říká, že rodina distribucí je úplná právě tehdy ${displaystyle E (g (T)) = 0}$ to naznačuje ${displaystyle P_ {lambda} (g (T) = 0) = 1}$ pro všechny ${displaystyle lambda}$. Pokud jednotlivec ${displaystyle X_ {i}}$ jsou iid ${displaystyle mathrm {Po} (lambda)}$, pak ${displaystyle T (mathbf {x}) = součet _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} sim mathrm {Po} (nlambda)}$. Znát distribuci, kterou chceme prozkoumat, je snadné vidět, že statistika je úplná.

${displaystyle E (g (T)) = součet _ {t = 0} ^ {infty} g (t) {frac {(nlambda) ^ {t} e ^ {- nlambda}} {t!}} = 0}$

Aby tato rovnost platila, ${displaystyle g (t)}$ musí být 0. To vyplývá ze skutečnosti, že žádný z ostatních výrazů nebude 0 pro všechny ${displaystyle t}$ v součtu a pro všechny možné hodnoty ${displaystyle lambda}$. Proto, ${displaystyle E (g (T)) = 0}$ pro všechny ${displaystyle lambda}$ to naznačuje ${displaystyle P_ {lambda} (g (T) = 0) = 1}$a statistika se ukázala jako úplná.

Interval spolehlivosti

The interval spolehlivosti protože průměr Poissonova rozdělení lze vyjádřit pomocí vztahu mezi kumulativními distribučními funkcemi Poissonova a chi-kvadrát distribuce. Samotná distribuce chí-kvadrát úzce souvisí s gama distribuce, a to vede k alternativnímu výrazu. Vzhledem k pozorování k z Poissonova rozdělení se střední hodnotou μ, interval spolehlivosti pro μ s úrovní spolehlivosti 1 - α je

${displaystyle {frac {1} {2}} chi ^ {2} (alfa / 2; 2k) leq mu leq {frac {1} {2}} chi ^ {2} (1-alfa / 2; 2k + 2 ),}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle F ^ {- 1} (alfa / 2; k, 1) leq mu leq F ^ {- 1} (1-alfa / 2; k + 1,1),}$

kde ${displaystyle chi ^ {2} (p; n)}$ je kvantilová funkce (odpovídá spodní ocasní ploše p) distribuce chí-kvadrát s n stupně volnosti a ${displaystyle F ^ {- 1} (p; n, 1)}$ je kvantilová funkce a gama distribuce s parametrem tvaru n a parametrem měřítka 1.^{[7]:176-178[31]} Tento interval jepřesný „v tom smyslu, že jeho pravděpodobnost pokrytí nikdy není menší než nominální 1 - α.

Pokud kvantily distribuce gama nejsou k dispozici, byla navržena přesná aproximace tohoto přesného intervalu (na základě Wilsonova-Hilfertyova transformace ):^[32]

${displaystyle kleft (1- {frac {1} {9k}} - {frac {z_ {alpha / 2}} {3 {sqrt {k}}}} ight) ^ {3} leq mu leq (k + 1) vlevo (1- {frac {1} {9 (k + 1)}} + {frac {z_ {alpha / 2}} {3 {sqrt {k + 1}}}} vpravo) ^ {3},}$

kde ${displaystyle z_ {alpha / 2}}$ označuje standardní normální odchylka s horní ocasní plochou α / 2.

Pro použití těchto vzorců ve stejném kontextu jako výše (uveden vzorek n naměřené hodnoty k_i každý čerpán z Poissonova rozdělení se střední hodnotou λ), jeden by nastavil

${displaystyle k = součet _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} ,!}$

vypočítat interval pro μ = nλ, a poté odvodit interval pro λ.

Bayesovský závěr

v Bayesovský závěr, před konjugátem pro parametr sazby λ Poissonova rozdělení je gama distribuce.^[33] Nechat

${displaystyle lambda sim mathrm {Gamma} (alfa, eta)!}$

naznačit to λ je distribuován podle gama hustota G parametrizováno pomocí a parametr tvaru α a inverzní parametr měřítka β:

${displaystyle g (lambda mid alpha, eta) = {frac {eta ^ {alpha}} {Gamma (alpha)}}; lambda ^ {alpha -1}; e ^ {- eta, lambda} qquad {ext {for} } lambda> 0,!.}$

Poté, vzhledem ke stejnému vzorku n naměřené hodnoty k_i jako dříve a před gama (α, β), zadní distribuce je

${displaystyle lambda sim mathrm {Gamma} left (alpha + sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}, eta + night).!}$

Zadní průměr E [λ] se blíží odhadu maximální věrohodnosti ${displaystyle {widehat {lambda}} _ {mathrm {MLE}}}$ v limitu jako ${displaystyle alfa o 0, eta o 0}$, který bezprostředně vyplývá z obecného vyjádření průměru gama distribuce.

The zadní prediktivní distribuce pro jediné další pozorování je a negativní binomické rozdělení,^[34]:53 někdy nazývané gama – Poissonovo rozdělení.

Simultánní odhad více Poissonových prostředků

Předpokládat ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {p}}$ je sada nezávislých náhodných proměnných ze sady ${displaystyle p}$ Poissonovo rozdělení, každé s parametrem ${displaystyle lambda _ {i}}$, ${displaystyle i = 1, tečky, p}$, a chtěli bychom tyto parametry odhadnout. Poté Clevenson a Zidek ukazují, že za normalizované čtvercové ztráty chyb ${displaystyle L (lambda, {hat {lambda}}) = suma _ {i = 1} ^ {p} lambda _ {i} ^ {- 1} ({hat {lambda}} _ {i} -lambda _ { i}) ^ {2}}$, když ${displaystyle p> 1}$, podobně jako v Steinův příklad pro normální znamená odhad MLE ${displaystyle {hat {lambda}} _ {i} = X_ {i}}$ je nepřípustný. ^[35]

V tomto případě rodina odhady minimaxu je uveden pro všechny ${displaystyle 0$ a ${displaystyle bgeq (p-2 + p ^ {- 1})}$ tak jako^[36]

${displaystyle {hat {lambda}} _ {i} = left (1- {frac {c} {b + sum _ {i = 1} ^ {p} X_ {i}}} ight) X_ {i}, qquad i = 1, tečky, str.}$

Výskyt a aplikace

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Poissonovo rozdělení"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Aplikace Poissonovy distribuce lze nalézt v mnoha oblastech, včetně:^[37]

• Telekomunikace příklad: telefonní hovory přicházející do systému.
• Astronomie příklad: fotony přicházející k dalekohledu.
• Chemie příklad: distribuce molární hmotnosti a živá polymerace.^[38]
• Biologie příklad: počet mutací na řetězci DNA na jednotku délky.
• Řízení příklad: zákazníci přijíždějící k přepážce nebo call centru.
• Finance a pojištění příklad: počet ztrát nebo škod vzniklých v daném časovém období.
• Zemětřesení seismologie příklad: asymptotický Poissonův model seismického rizika pro velká zemětřesení.^[39]
• Radioaktivita příklad: počet rozpadů v daném časovém intervalu v radioaktivním vzorku.
• Optika příklad: počet fotonů emitovaných v jednom laserovém pulsu. To je hlavní zranitelnost pro většinu Kvantová distribuce klíčů protokoly známé jako rozdělení fotonových čísel (PNS).

Poissonovo rozdělení vzniká v souvislosti s Poissonovými procesy. Vztahuje se na různé jevy diskrétních vlastností (tj. Ty, které se mohou stát 0, 1, 2, 3, ... krát během daného časového období nebo v dané oblasti), kdykoli je pravděpodobnost, že se jev stane, konstantní čas nebo prostor. Mezi příklady událostí, které lze modelovat jako Poissonovo rozdělení, patří:

• Počet vojáků zabitých koňskými kopy každý rok v každém sboru v pruský kavalerie. Tento příklad použil v knize autor Ladislava Bortkiewicze (1868–1931).^[40]:23-25
• Počet kvasinkových buněk použitých při vaření Guinness pivo. Tento příklad použil William Sealy Gosset (1876–1937).^[41][42]
• Počet příchozích telefonních hovorů na a call centrum do minuty. Tento příklad popsal A.K. Erlang (1878–1929).^[43]
• Internetový provoz.
• Počet branek ve sportu zahrnujících dva konkurenční týmy.^[44]
• Počet úmrtí za rok v dané věkové skupině.
• Počet skoků v ceně akcií v daném časovém intervalu.
• Za předpokladu stejnorodost, kolikrát a webový server je přístupné za minutu.
• Počet mutace v daném úseku DNA po určitém množství záření.
• Podíl buňky které budou v danou chvíli infikovány mnohočetnost infekce.
• Počet bakterií v určitém množství kapaliny.^[45]
• Příchod fotony na obvodu pixelu při daném osvětlení a za dané časové období.
• Cílení na V-1 létající bomby o Londýně během druhé světové války vyšetřován R. D. Clarkem v roce 1946.^[46]

Gallagher v roce 1976 ukázal, že počty prvočísla v krátkých intervalech dodržujte Poissonovo rozdělení^[47] poskytl určitou verzi nepotvrzeného hlavní domněnka r-n-tice Hardy-Littlewood^[48] je pravda.

Zákon vzácných událostí

Porovnání Poissonova rozdělení (černé čáry) a binomická distribuce s n = 10 (červené kruhy), n = 20 (modré kruhy), n = 1000 (zelené kruhy). Všechna rozdělení mají průměr 5. Vodorovná osa zobrazuje počet událostík. Tak jako n zvětší, Poissonovo rozdělení se stává stále lepší aproximací pro binomické rozdělení se stejným průměrem.

Rychlost události souvisí s pravděpodobností události, ke které dojde v nějakém malém podintervalu (času, prostoru nebo jinak). V případě Poissonova rozdělení se předpokládá, že existuje dostatečně malý subinterval, pro který je pravděpodobnost dvakrát se vyskytující události „zanedbatelná“. S tímto předpokladem lze odvodit Poissonovo rozdělení z binomického, pouze za předpokladu informace o očekávaném počtu celkových událostí v celém intervalu. Nechť je tento celkový počet ${displaystyle lambda}$. Rozdělte celý interval na ${displaystyle n}$ podintervaly ${displaystyle I_ {1}, tečky, I_ {n}}$ stejné velikosti, takové, že ${displaystyle n}$ > ${displaystyle lambda}$ (protože nás zajímá jen velmi malá část intervalu, je tento předpoklad smysluplný). To znamená, že očekávaný počet událostí v intervalu ${displaystyle I_ {i}}$ pro každého ${displaystyle i}$ je rovný ${displaystyle lambda / n}$. Nyní předpokládáme, že na výskyt události v celém intervalu lze pohlížet jako na Bernoulliho soud, Kde ${displaystyle i ^ {th}}$ pokus odpovídá pohledu, zda k události dojde v podintervalu ${displaystyle I_ {i}}$ s pravděpodobností ${displaystyle lambda / n}$. Očekávaný počet celkových událostí v roce ${displaystyle n}$ takové zkoušky by byly ${displaystyle lambda}$, očekávaný počet celkových událostí v celém intervalu. Hence for each subdivision of the interval we have approximated the occurrence of the event as a Bernoulli process of the form ${displaystyle { extrm {B}}(n,lambda /n)}$. As we have noted before we want to consider only very small subintervals. Therefore, we take the limit as ${displaystyle n}$ goes to infinity.In this case the binomial distribution converges to what is known as the Poisson distribution by the Poisson limit theorem.

In several of the above examples—such as, the number of mutations in a given sequence of DNA—the events being counted are actually the outcomes of discrete trials, and would more precisely be modelled using the binomická distribuce, to je

${displaystyle Xsim { extrm {B}}(n,p).,}$

In such cases n is very large and p is very small (and so the expectation np is of intermediate magnitude). Then the distribution may be approximated by the less cumbersome Poisson distribution^{[Citace je zapotřebí ]}

${displaystyle Xsim { extrm {Pois}}(np).,}$

This approximation is sometimes known as the law of rare events,^[49]:5since each of the n individuální Bernoulli events rarely occurs. The name may be misleading because the total count of success events in a Poisson process need not be rare if the parameter np is not small. For example, the number of telephone calls to a busy switchboard in one hour follows a Poisson distribution with the events appearing frequent to the operator, but they are rare from the point of view of the average member of the population who is very unlikely to make a call to that switchboard in that hour.

Slovo zákon se někdy používá jako synonymum rozdělení pravděpodobnosti, a convergence in law prostředek convergence in distribution. Accordingly, the Poisson distribution is sometimes called the "law of small numbers" because it is the probability distribution of the number of occurrences of an event that happens rarely but has very many opportunities to happen. The Law of Small Numbers is a book by Ladislaus Bortkiewicz about the Poisson distribution, published in 1898.^[40][50]

Proces Poissonova bodu

The Poisson distribution arises as the number of points of a Proces Poissonova bodu located in some finite region. Přesněji řečeno, pokud D is some region space, for example Euclidean space R^d, for which |D|, the area, volume or, more generally, the Lebesgue measure of the region is finite, and if N(D) denotes the number of points in D, pak

${displaystyle P(N(D)=k)={frac {(lambda |D|)^{k}e^{-lambda |D|}}{k!}}.}$

Poisson regression and negative binomial regression

Poissonova regrese and negative binomial regression are useful for analyses where the dependent (response) variable is the count (0, 1, 2, ...) of the number of events or occurrences in an interval.

Other applications in science

In a Poisson process, the number of observed occurrences fluctuates about its mean λ s standardní odchylka ${displaystyle sigma _{k}={sqrt {lambda }}}$. These fluctuations are denoted as Poissonův hluk or (particularly in electronics) as hluk výstřelu.

The correlation of the mean and standard deviation in counting independent discrete occurrences is useful scientifically. By monitoring how the fluctuations vary with the mean signal, one can estimate the contribution of a single occurrence, even if that contribution is too small to be detected directly. For example, the charge E on an electron can be estimated by correlating the magnitude of an elektrický proud s jeho hluk výstřelu. Li N electrons pass a point in a given time t on the average, the znamenat proud je ${displaystyle I=eN/t}$; since the current fluctuations should be of the order ${displaystyle sigma _{I}=e{sqrt {N}}/t}$ (i.e., the standard deviation of the Poissonův proces ), the charge ${displaystyle e}$ can be estimated from the ratio ${displaystyle tsigma _{I}^{2}/I}$.^{[Citace je zapotřebí ]}

An everyday example is the graininess that appears as photographs are enlarged; the graininess is due to Poisson fluctuations in the number of reduced stříbrný grains, not to the individual grains themselves. Podle correlating the graininess with the degree of enlargement, one can estimate the contribution of an individual grain (which is otherwise too small to be seen unaided).^{[Citace je zapotřebí ]} Many other molecular applications of Poisson noise have been developed, e.g., estimating the number density of receptor molecules in a buněčná membrána.

${displaystyle Pr(N_{t}=k)=f(k;lambda t)={frac {(lambda t)^{k}e^{-lambda t}}{k!}}.}$

v Causal Set theory the discrete elements of spacetime follow a Poisson distribution in the volume.

Výpočtové metody

The Poisson distribution poses two different tasks for dedicated software libraries: Evaluating distribuce ${displaystyle P(k;lambda )}$, a drawing random numbers according to that distribution.

Evaluating the Poisson distribution

Výpočetní ${displaystyle P(k;lambda )}$ za dané ${displaystyle k}$ a ${displaystyle lambda}$ is a trivial task that can be accomplished by using the standard definition of ${displaystyle P(k;lambda )}$ in terms of exponential, power, and factorial functions. However, the conventional definition of the Poisson distribution contains two terms that can easily overflow on computers: λ^k a k!. The fraction of λ^k na k! can also produce a rounding error that is very large compared to E^−λ, and therefore give an erroneous result. For numerical stability the Poisson probability mass function should therefore be evaluated as

${displaystyle !f(k;lambda )=exp left[kln lambda -lambda -ln Gamma (k+1)ight],}$

which is mathematically equivalent but numerically stable. The natural logarithm of the Funkce gama can be obtained using the lgamma funkce v C standard library (C99 version) or R, gammaln funkce v MATLAB nebo SciPy, nebo log_gamma funkce v Fortran 2008 and later.

Some computing languages provide built-in functions to evaluate the Poisson distribution, namely

• R: function dpois(x, lambda);
• Vynikat: function POISSON( x, mean, cumulative), with a flag to specify the cumulative distribution;
• Mathematica: univariate Poisson distribution as PoissonDistribution[${displaystyle lambda}$],^[51] bivariate Poisson distribution as MultivariatePoissonDistribution[${displaystyle heta _{12}}$,{ ${displaystyle heta _{1}- heta _{12}}$, ${displaystyle heta _{2}- heta _{12}}$}],.^[52]

Random drawing from the Poisson distribution

The less trivial task is to draw random integers from the Poisson distribution with given ${displaystyle lambda}$.

Solutions are provided by:

• R: function rpois(n, lambda);
• Vědecká knihovna GNU (GSL): function gsl_ran_poisson

Generating Poisson-distributed random variables

A simple algorithm to generate random Poisson-distributed numbers (vzorkování pseudonáhodných čísel ) has been given by Knuth:^[53]:137-138

algoritmus poisson random number (Knuth):    inic:        Nechat L ← E−λ, k ← 0 and p ← 1.    dělat:        k ← k + 1.        Generate uniform random number u in [0,1] and nechat p ← p × u.    zatímco p > L.    vrátit se k − 1.

The complexity is linear in the returned value k, which is λ on average. There are many other algorithms to improve this. Some are given in Ahrens & Dieter, see § References níže.

For large values of λ, the value of L = E^−λ may be so small that it is hard to represent. This can be solved by a change to the algorithm which uses an additional parameter STEP such that E^−STEP does not underflow:^{[Citace je zapotřebí ]}

algoritmus poisson random number (Junhao, based on Knuth):    inic:        Nechat λLeft ← λ, k ← 0 and p ← 1.    dělat:        k ← k + 1.        Generate uniform random number u in (0,1) and nechat p ← p × u.        zatímco p < 1 and λLeft > 0:            -li λLeft > STEP:                p ← p × EKROK                λLeft ← λLeft − STEP            jiný:                p ← p × EλLeft                λLeft ← 0    zatímco p > 1.    vrátit se k − 1.

The choice of STEP depends on the threshold of overflow. For double precision floating point format, the threshold is near E⁷⁰⁰, so 500 shall be a safe KROK.

Other solutions for large values of λ include odmítnutí vzorkování and using Gaussian approximation.

Vzorkování inverzní transformace is simple and efficient for small values of λ, and requires only one uniform random number u na vzorek. Cumulative probabilities are examined in turn until one exceeds u.

algoritmus Poisson generator based upon the inversion by sequential search:[54]:505    inic:        Nechat x ← 0, p ← E−λ, s ← p.        Generate uniform random number u in [0,1].    zatímco u > s dělat:        x ← x + 1.        p ← p × λ / x.        s ← s + p.    vrátit se X.

Dějiny

The distribution was first introduced by Siméon Denis Poisson (1781–1840) and published together with his probability theory in his work Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile(1837).^[55]:205-207 The work theorized about the number of wrongful convictions in a given country by focusing on certain náhodné proměnné N that count, among other things, the number of discrete occurrences (sometimes called "events" or "arrivals") that take place during a čas -interval of given length. The result had already been given in 1711 by Abraham de Moivre v De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus .^{[56]:219[57]:14-15[58]:193[7]:157} This makes it an example of Stiglerův zákon and it has prompted some authors to argue that the Poisson distribution should bear the name of de Moivre.^[59][60]

V roce 1860 Simon Newcomb fitted the Poisson distribution to the number of stars found in a unit of space.^[61]A further practical application of this distribution was made by Ladislava Bortkiewicze in 1898 when he was given the task of investigating the number of soldiers in the Prussian army killed accidentally by horse kicks;^[40]:23-25 this experiment introduced the Poisson distribution to the field of spolehlivostní inženýrství.

Viz také

Reference

Citace