Stirlingova čísla druhého druhu - Stirling numbers of the second kind

The 15 oddíly 4prvkové sady seřazené v a Hasseův diagram

Existují S(4,1), ..., S(4, 4) = 1, 7, 6, 1 oddíly obsahující 1, 2, 3, 4 sady.

v matematika, zejména v kombinatorika, a Stirlingovo číslo druhého druhu (nebo Číslo Stirlingova oddílu) je počet způsobů, jak rozdělit sadu z n předměty do k neprázdné podmnožiny a je označen ${ displaystyle S (n, k)}$ nebo ${ displaystyle textstyle vlevo {{n nahoře k} vpravo }}$ .^[1] Stirlingova čísla druhého druhu se vyskytují v poli matematika volala kombinatorika a studium oddíly.

Stirlingova čísla druhého druhu jsou jedním ze dvou druhů Stirlingova čísla druhý druh, kterému se říká Stirlingova čísla prvního druhu (nebo čísla Stirlingova cyklu). Vzájemně inverzní (konečné nebo nekonečné) trojúhelníkové matice mohou být vytvořeny ze Stirlingových čísel každého druhu podle parametrů n, k.

Definice

Stirlingova čísla druhého druhu, zapsaná ${ displaystyle S (n, k)}$ nebo ${ displaystyle lbrace textový styl {n nahoře k} rbrace}$ nebo pomocí jiných notací spočítejte počet způsobů, jak rozdělit A soubor z ${ displaystyle n}$ označené objekty do ${ displaystyle k}$ neprázdné neoznačené podmnožiny. Ekvivalentně počítají počet různých ekvivalenční vztahy přesně ${ displaystyle k}$ třídy ekvivalence, které lze definovat na ${ displaystyle n}$ sada prvků. Ve skutečnosti existuje bijekce mezi množinou oddílů a množinou relací ekvivalence na dané množině. Očividně,

{ displaystyle left {{n na vrcholu n} right } = 1}

a pro

{ displaystyle n geq 1, left {{n na vrcholu 1} right } = 1}

jako jediný způsob rozdělení oddílu n- prvek nastaven do n parts is to put each element of the set into its own part, and the only way to partition a nonempty set into one part is to put all of the elements in the same part. Lze je vypočítat pomocí následujícího explicitního vzorce:^[2]

{ displaystyle left {{n na vrcholu k} right } = { frac {1} {k!}} sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} { binom {k} {i}} (ki) ^ {n}.}

Stirlingova čísla druhého druhu lze také charakterizovat jako čísla, která vznikají, když člověk vyjádří mocninu neurčitého X z hlediska klesající faktoriály^[3]

{ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) cdots (x-n + 1).}

(Zejména, (X)₀ = 1, protože je to prázdný produkt.) Zejména jeden má

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} vlevo {{n nahoře k} vpravo } (x) _ {k} = x ^ {n}.}

Zápis

Pro Stirlingova čísla druhého druhu byly použity různé notace. Rovnátka ${ displaystyle textstyle lbrace {n nahoře k} rbrace}$ byl použit Imanuel Marx a Antonio Salmeri v roce 1962 pro varianty těchto čísel.^[4]^[5] To vedlo Knuth použít, jak je znázorněno zde, v prvním svazku Umění počítačového programování (1968).^[6]^[7] Podle třetího vydání Umění počítačového programování, tuto notaci dříve používal také Jovan Karamata v roce 1935.^[8]^[9] Zápis S(n, k) byl používán Richard Stanley ve své knize Enumerativní kombinatorika.^[6]

Vztah k číslům Bell

Od Stirlingova čísla ${ displaystyle left {{n na vrcholu k} right }}$ počítá nastavené oddíly souboru n- prvek nastaven do k části, součet

{ displaystyle B_ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} vlevo {{n nahoře k} vpravo }}

přes všechny hodnoty k je celkový počet oddílů sady s n členů. Toto číslo je známé jako nth Bell číslo.

Analogicky objednal Bell čísla lze vypočítat ze Stirlingových čísel druhého druhu pomocí

{ displaystyle a_ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} k! left {{n nahoře k} right }.}

^[10]

Tabulka hodnot

Níže je a trojúhelníkové pole hodnot pro Stirlingova čísla druhého druhu (sekvence A008277 v OEIS ):

k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1
10	0	1	511	9330	34105	42525	22827	5880	750	45	1

Stejně jako u binomické koeficienty, tuto tabulku lze rozšířit na $k > n$ , ale všechny tyto položky by byly 0.

Vlastnosti

Vztah opakování

Stirlingova čísla druhého druhu se řídí relací opakování

{ displaystyle left {{n + 1 na vrcholu k} right } = k left {{n na vrcholu k} right } + left {{n na vrcholu k-1} right }}

pro k > 0 s počátečními podmínkami

{ displaystyle left {{0 atop 0} right } = 1 quad { mbox {and}} quad left {{n atop 0} right } = left {{ 0 na vrcholu n} doprava } = 0}

pro n > 0.

Například číslo 25 ve sloupci k= 3 a řada n= 5 je dáno 25 = 7 + (3 × 6), kde 7 je číslo nahoře a nalevo od 25, 6 je číslo nad 25 a 3 je sloupec obsahující 6.

Chcete-li pochopit toto opakování, pozorujte, že oddíl ${ displaystyle n + 1}$ předměty do k neprázdné podmnožiny buď obsahují ${ displaystyle (n + 1)}$ -tý objekt jako singleton nebo ne. Počet způsobů, kterými je singleton jednou z podmnožin, je dán

{ displaystyle left {{n na vrcholu k-1} right }}

protože zbývající musíme rozdělit $n$ objekty do dostupných ${ displaystyle k-1}$ podmnožiny. V druhém případě ${ displaystyle (n + 1)}$ -tý objekt patří do podmnožiny obsahující další objekty. Počet způsobů je dán vztahem

{ displaystyle k left {{n nahoře k} right }}

protože rozdělujeme všechny objekty kromě ${ displaystyle (n + 1)}$ - do k podmnožiny a pak nám zbývá k možnosti pro vložení objektu ${ displaystyle n + 1}$ . Součet těchto dvou hodnot poskytuje požadovaný výsledek.

Některé další opakování jsou následující:

{ displaystyle left {{n + 1 na vrcholu k + 1} right } = součet _ {j = k} ^ {n} {n zvolit j} doleva {{j na vrcholu k} že jo},}

{ displaystyle left {{n + 1 na vrcholu k + 1} right } = součet _ {j = k} ^ {n} (k + 1) ^ {nj} left {{j na vrcholu k} doprava },}

{ displaystyle left {{n + k + 1 na vrcholu k} right } = součet _ {j = 0} ^ {k} j left {{n + j na vrcholu j} right }.}

Dolní a horní mez

Li ${ displaystyle n geq 2}$ a ${ Displaystyle 1 leq k leq n-1}$ , pak

{ Displaystyle L (n, k) leq vlevo {{n nahoře k} vpravo } leq U (n, k)}

kde

{ displaystyle L (n, k) = { frac {1} {2}} (k ^ {2} + k + 2) k ^ {n-k-1} -1}

a

{ displaystyle U (n, k) = { frac {1} {2}} {n zvolte k} k ^ {n-k}.}

^[11]

Maximum

Pro pevné ${ displaystyle n}$ , ${ displaystyle left {{n na vrcholu k} right }}$ má jediné maximum, kterého je dosaženo maximálně pro dvě po sobě jdoucí hodnoty k. To znamená, že existuje celé číslo ${ displaystyle K_ {n}}$ takhle

{ displaystyle left {{n na vrcholu 1} right } < left {{n na vrcholu 2} right } < cdots < left {{n na vrcholu K_ {n}} že jo},}

{ displaystyle left {{n na vrcholu K_ {n}} right } geq left {{n na vrcholu K_ {n} +1} right }> cdots> left {{ n nahoře n} doprava }.}

Když ${ displaystyle n}$ je velký

{ displaystyle K_ {n} sim { frac {n} { log n}},}

a maximální hodnota Stirlingova čísla druhého druhu je

{ displaystyle log left {{n na vrcholu K_ {n}} right } = n log n-n log log n-n + O (n log log n / log n).}

^[11]

Parita

Parita Stirlingových čísel druhého druhu.

The parita Stirlingova čísla druhého druhu se rovná paritě příbuzného binomický koeficient:

{ displaystyle left {{n na vrcholu k} right } equiv { binom {z} {w}} { pmod {2}},}

kde

{ displaystyle z = n- levý lceil displaystyle { frac {k + 1} {2}} pravý rceil, w = levý lfloor displaystyle { frac {k-1} {2} } right rfloor.}

Tento vztah je určen mapováním n a k souřadnice na Sierpińského trojúhelník.

Příměji nechť dvě sady obsahují pozice 1 v binárních reprezentacích výsledků příslušných výrazů:

{ displaystyle { begin {seřazeno} mathbb {A}: sum _ {i in mathbb {A}} 2 ^ {i} & = nk, mathbb {B}: sum _ {j in mathbb {B}} 2 ^ {j} & = left lfloor { dfrac {k-1} {2}} right rfloor. end {zarovnáno}}}

Lze napodobit a bitové AND provoz protínáním těchto dvou sad:

{ displaystyle { begin {Bmatrix} n k end {Bmatrix}} , { bmod {,}} 2 = { begin {cases} 0, & mathbb {A} cap mathbb { B} neq emptyset; 1, & mathbb {A} cap mathbb {B} = emptyset; end {případy}}}

získat paritu Stirlingova čísla druhého druhu v Ó(1) čas. v pseudo kód:

{ displaystyle { begin {Bmatrix} n k end {Bmatrix}} , { bmod {,}} 2: = left [ left ( left (nk right) And left ( left (k-1 right) , mathrm {div} , 2 right) right) = 0 right];}

kde ${ displaystyle left [b right]}$ je Iverson držák.

Jednoduché identity

Některé jednoduché identity zahrnují

{ displaystyle left {{n na vrcholu n-1} right } = { binom {n} {2}}.}

Je to proto, že dělení n prvky do $n - 1$ sady nutně znamenají rozdělení na jednu sadu velikosti 2 a $n - 2$ sady velikosti 1. Proto musíme vybrat pouze tyto dva prvky;

a

{ displaystyle left {{n na vrcholu 2} right } = 2 ^ {n-1} -1.}

Nejprve si všimněte, že existují 2ⁿ objednal dvojice doplňkových podskupin A a B. V jednom případě A je prázdný a v jiném B je prázdný, takže $2 n - 2$ objednané páry podmnožin zůstávají. Konečně, protože chceme neuspořádaný spíše párů než objednal páry vydělíme toto poslední číslo 2 a výsledek dostaneme výše.

Další explicitní rozšíření relace rekurence dává identity v duchu výše uvedeného příkladu.

{ displaystyle { begin {aligned} left {{n na vrcholu 2} right } & = { frac {{ frac {1} {1}} (2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1})} {0!}} [8pt] left {{n na vrcholu 3} right } & = { frac {{ frac {1} {1}} (3 ^ {n-1} -2 ^ {n-1}) - { frac {1} {2}} (3 ^ {n-1} -1 ^ {n-1})} {1!}} [8pt] left {{n na vrcholu 4} right } & = { frac {{ frac {1} {1}} (4 ^ {n-1} -3 ^ {n-1}) - { frac {2} {2}} (4 ^ {n-1} -2 ^ {n-1}) + { frac {1} {3}} (4 ^ {n-1} -1 ^ {n-1})} {2!}} [8pt] left {{n na vrcholu 5} right } & = { frac {{ frac {1} {1}} (5 ^ {n-1} -4 ^ {n-1}) - { frac {3} {2}} (5 ^ {n-1} -3 ^ {n-1}) + { frac {3} { 3}} (5 ^ {n-1} -2 ^ {n-1}) - { frac {1} {4}} (5 ^ {n-1} -1 ^ {n-1})} { 3!}} [8pt] a {} vdots end {zarovnáno}}}

Tyto příklady lze shrnout podle opakování

{ displaystyle left lbrace { begin {matrix} n k end {matrix}} right rbrace = { frac {k ^ {n}} {k!}} - sum _ {r = 1} ^ {k-1} { frac { left lbrace { begin {matrix} n r end {matrix}} right rbrace} {(kr)!}}.}

Explicitní vzorec

Stirlingova čísla druhého druhu jsou dána explicitním vzorcem:

{ displaystyle left {{n na vrcholu k} right } = sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {kj} { frac {j ^ {n-1}} {(j-1)! (kj)!}} = { frac {1} {k!}} sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} {k vyberte j } j ^ {n}.}

To lze odvodit pomocí zahrnutí-vyloučení k výpočtu počtu surjekcí z n na k a s využitím skutečnosti, že počet takových surjekcí je ${ textový styl k! levý {{n nahoře k} pravý }}$ .

Navíc je tento vzorec zvláštním případem kth vpřed rozdíl z monomiální ${ displaystyle x ^ {n}}$ hodnoceno na X = 0:

{ displaystyle Delta ^ {k} x ^ {n} = součet _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} {k vybrat j} (x + j) ^ {n} .}

Protože Bernoulliho polynomy lze psát z hlediska těchto dopředných rozdílů, získá se okamžitě vztah v Bernoulliho čísla:

{ displaystyle B_ {m} (0) = součet _ {k = 0} ^ {m} { frac {(-1) ^ {k} k!} {k + 1}} vlevo {{m nahoře k} vpravo }.}

Generování funkcí

Pro pevné celé číslo n, obyčejná generující funkce pro Stirlingova čísla druhého druhu ${ displaystyle left {{n na vrcholu 0} right }, left {{n na vrcholu 1} right }, ldots}$ darováno

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} vlevo {{n nahoře k} vpravo } x ^ {k} = T_ {n} (x),}

kde ${ displaystyle T_ {n} (x)}$ jsou Dotykové polynomy.Je-li místo toho sečteno Stirlingovo číslo proti klesajícímu faktoriálu, můžeme ukázat mimo jiné následující identity:

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} vlevo {{n nahoře k} vpravo } (x) _ {k} = x ^ {n}}

a

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n + 1} left {{n + 1 na vrcholu k} right } (x-1) _ {k-1} = x ^ {n} .}

Pro pevné celé číslo k, Stirlingova čísla druhého druhu ${ displaystyle left {{0 atop k} right }, left {{1 atop k} right }, ldots}$ mít racionální obyčejnou generující funkci

{ displaystyle sum _ {n = k} ^ { infty} left {{n na vrcholu k} right } x ^ {nk} = prod _ {r = 1} ^ {k} { frac {1} {1-rx}} = { frac {1} {(k + 1)! x ^ {k + 1} { binom { frac {1} {x}} {k + 1}} }}}

a mít exponenciální generující funkce dána

{ displaystyle sum _ {n = k} ^ { infty} left {{n na vrcholu k} right } { frac {x ^ {n}} {n!}} = { frac { (e ^ {x} -1) ^ {k}} {k!}}.}

Funkce generování smíšených dvojrozměrů pro Stirlingova čísla druhého druhu je

{ displaystyle sum _ {0 leq k leq n} vlevo {{n nahoře k} vpravo } { frac {x ^ {n}} {n!}} y ^ {k} = e ^ {y (e ^ {x} -1)}.}

Asymptotická aproximace

Pro pevnou hodnotu ${ displaystyle k,}$ asymptotická hodnota Stirlingových čísel druhého druhu jako ${ displaystyle n rightarrow infty}$ darováno

{ displaystyle left {{n na vrcholu k} right } sim { frac {k ^ {n}} {k!}}.}

Na druhé straně, pokud ${ displaystyle k = o ({ sqrt {n}})}$ (kde Ó označuje malý o zápis ) pak

{ displaystyle left {{n na vrcholu nk} right } sim { frac {(nk) ^ {2k}} {2 ^ {k} k!}} left (1 + { frac { 1} {3}} { frac {2k ^ {2} + k} {nk}} + { frac {1} {18}} { frac {4k ^ {4} -k ^ {2} -3k } {(nk) ^ {2}}} + cdots right).}

^[12]

Rovněž existuje jednotně platná aproximace: pro všechny $k$ takhle $1 < k < n$ , jeden má

{ displaystyle left {{n na vrcholu k} right } sim { sqrt { frac {v-1} {v (1-G)}}} left ({ frac {v-1 } {vG}} vpravo) ^ {nk} { frac {k ^ {n}} {n ^ {k}}} e ^ {k (1-G)} vlevo ({n nahoře k} že jo),}

kde ${ displaystyle G = -W_ {0} (- ve ^ {- v}), v = n / k}$ , a ${ displaystyle W_ {0} (z)}$ je hlavní pobočkou Funkce Lambert W..^[13] Relativní chyba je ohraničena asi ${ displaystyle 0,066 / n}$ .

Aplikace

Okamžiky Poissonova rozdělení

Li X je náhodná proměnná s Poissonovo rozdělení s očekávaná hodnota λ, pak jeho nth okamžik je

{ displaystyle E (X ^ {n}) = součet _ {k = 1} ^ {n} doleva {{n nahoře k} doprava } lambda ^ {k}.}

Zejména nČtvrtým okamžikem Poissonova rozdělení s očekávanou hodnotou 1 je přesně počet oddíly sady velikosti n, tj. je to nth Bell číslo (tato skutečnost je Dobińského vzorec ).

Okamžiky pevných bodů náhodných permutací

Nechte náhodnou proměnnou X být počet pevných bodů a rovnoměrně rozloženo náhodná permutace konečné sady velikostí m. Pak nTřetí okamžik X je

{ displaystyle E (X ^ {n}) = součet _ {k = 1} ^ {m} vlevo {{n nahoře k} vpravo }.}

Poznámka: Horní hranice součtu je m, ne n.

Jinými slovy nčtvrtý okamžik rozdělení pravděpodobnosti je počet oddílů sady velikosti n do ne více než m dílů. To dokazuje článek v statistika náhodné permutace, i když notace je trochu jiná.

Rýmovací schémata

Stirlingova čísla druhého druhu mohou představovat celkový počet rýmová schémata pro báseň n řádky. ${ displaystyle S (n, k)}$ udává počet možných schémat rýmování pro n řádky pomocí k jedinečné rýmované slabiky. Jako příklad pro báseň o 3 řádcích existuje 1 rýmové schéma používající pouze jeden rým (aaa), 3 rýmová schémata používající dva rýmy (aab, aba, abb) a 1 rýmové schéma používající tři rýmy (abc).

Varianty

Přidružená Stirlingova čísla druhého druhu

An r- přidružené Stirlingovo číslo druhého druhu je počet způsobů, jak rozdělit sadu n předměty do k podmnožiny, přičemž každá podmnožina obsahuje alespoň r elementy.^[14] Označuje to ${ displaystyle S_ {r} (n, k)}$ a řídí se relací opakování

{ displaystyle S_ {r} (n + 1, k) = k S_ {r} (n, k) + { binom {n} {r-1}} S_ {r} (n-r + 1, k-1)}

2 přidružená čísla (sekvence A008299 v OEIS ) se objevují jinde jako „Wardova čísla“ a jako velikosti koeficientů Mahlerovy polynomy.

Snížená Stirlingova čísla druhého druhu

Označte n objekty k rozdělení na celá čísla 1, 2, ..., n. Definujte redukovaná Stirlingova čísla druhého druhu, označená ${ displaystyle S ^ {d} (n, k)}$ , to je počet způsobů rozdělení celých čísel 1, 2, ..., n do k neprázdné podmnožiny, takže všechny prvky v každé podmnožině mají alespoň párovou vzdálenost d. To znamená pro všechna celá čísla i a j v dané podmnožině je to vyžadováno ${ displaystyle | i-j | geq d}$ . Ukázalo se, že tato čísla uspokojují

{ displaystyle S ^ {d} (n, k) = S (n-d + 1, k-d + 1), n ​​ geq k geq d}

(odtud název „snížený“).^[15] Dodržujte (jak definicí, tak redukčním vzorcem) to ${ displaystyle S ^ {1} (n, k) = S (n, k)}$ , známá Stirlingova čísla druhého druhu.

Viz také

Bell číslo - počet oddílů sady s n členů
Stirlingova čísla prvního druhu
Stirlingovy polynomy
Dvanáctkrát
Číselné trojúhelníky spojené s oddíly

Reference

^ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Konkrétní matematika „Addison – Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, str. 244.
^ "Stirlingovo číslo druhého druhu".
^ Matoucí je nota, pro kterou kombinatorialisté používají padající faktoriály se shodují s notací používanou v speciální funkce pro zvyšující se faktoriály; vidět Pochhammer symbol.
^ Transformace série variantou Stirlingových čísel, Imanuel Marx, Americký matematický měsíčník 69, # 6 (červen – červenec 1962), str. 530–532, JSTOR 2311194.
^ Antonio Salmeri, Introduzione alla teoria dei coefficienti fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962), str. 44–54.
^ ^A ^b Knuth, D.E. (1992), „Dvě poznámky k notaci“, Amer. Matematika. Měsíční, 99 (5): 403–422, arXiv:matematika / 9205211, Bibcode:1992math ...... 5211K, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085
^ Donald E. Knuth, Základní algoritmy, Reading, Mass .: Addison – Wesley, 1968.
^ str. 66, Donald E. Knuth, Základní algoritmy, 3. vyd., Reading, Mass.: Addison – Wesley, 1997.
^ Jovan Karamata, Théorèmes sur la sommabilité exponentielle et d'autres sommabilités s'y rattachant, Mathematica (Cluj) 9 (1935), str. 164–178.
^ Sprugnoli, Renzo (1994), „Riordanova pole a kombinatorické částky“ (PDF), Diskrétní matematika, 132 (1–3): 267–290, doi:10.1016 / 0012-365X (92) 00570-H, PAN 1297386
^ ^A ^b Rennie, B.C .; Dobson, A.J. (1969). „Na stirlingových číslech druhého druhu“. Journal of Combinatorial Theory. 7 (2): 116–121. doi:10.1016 / S0021-9800 (69) 80045-1. ISSN 0021-9800.
^ L. C. Hsu, Poznámka k asymptotickému rozšíření n. Rozdílu nuly, AMS sv. 19 č. 2 1948, s. 273--277
^ N. M. Temme, Asymptotic Estimates of Stirling Numbers, STUDIES IN APPLIED MATHEMATICS 89: 233-243 (1993), Elsevier Science Publishing.
^ L. Comtet, Pokročilá kombinatorika, Reidel, 1974, s. 222.
^ A. Mohr a T.D. Porter, Aplikace chromatických polynomů zahrnujících Stirlingova čísla, Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 70 (2009), 57–64.

Boyadzhiev, Khristo (2012). "Blízká setkání s Stirlingovými čísly druhého druhu". Matematický časopis. 85 (4): 252–266. arXiv:1806.09468. doi:10,4169 / math.mag.85.4.252..

"Stirlingova čísla druhého druhu, S (n, k)". PlanetMath..
Weisstein, Eric W. „Stirlingovo číslo druhého druhu“. MathWorld.
Kalkulačka pro Stirlingova čísla druhého druhu
Nastavit oddíly: Stirlingova čísla
Jack van der Elsen (2005). Černobílé transformace. Maastricht. ISBN 90-423-0263-1.

[1] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Konkrétní matematika „Addison – Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, str. 244.

[2] "Stirlingovo číslo druhého druhu".

[3] Matoucí je nota, pro kterou kombinatorialisté používají padající faktoriály se shodují s notací používanou v speciální funkce pro zvyšující se faktoriály; vidět Pochhammer symbol.

[4] Transformace série variantou Stirlingových čísel, Imanuel Marx, Americký matematický měsíčník 69, # 6 (červen – červenec 1962), str. 530–532, JSTOR 2311194.

[5] Antonio Salmeri, Introduzione alla teoria dei coefficienti fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962), str. 44–54.

[tnn-6] A ^b Knuth, D.E. (1992), „Dvě poznámky k notaci“, Amer. Matematika. Měsíční, 99 (5): 403–422, arXiv:matematika / 9205211, Bibcode:1992math ...... 5211K, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085

[7] Donald E. Knuth, Základní algoritmy, Reading, Mass .: Addison – Wesley, 1968.

[8] str. 66, Donald E. Knuth, Základní algoritmy, 3. vyd., Reading, Mass.: Addison – Wesley, 1997.

[9] Jovan Karamata, Théorèmes sur la sommabilité exponentielle et d'autres sommabilités s'y rattachant, Mathematica (Cluj) 9 (1935), str. 164–178.

[10] Sprugnoli, Renzo (1994), „Riordanova pole a kombinatorické částky“ (PDF), Diskrétní matematika, 132 (1–3): 267–290, doi:10.1016 / 0012-365X (92) 00570-H, PAN 1297386

[RennieDobson1969-11] A ^b Rennie, B.C .; Dobson, A.J. (1969). „Na stirlingových číslech druhého druhu“. Journal of Combinatorial Theory. 7 (2): 116–121. doi:10.1016 / S0021-9800 (69) 80045-1. ISSN 0021-9800.

[12] L. C. Hsu, Poznámka k asymptotickému rozšíření n. Rozdílu nuly, AMS sv. 19 č. 2 1948, s. 273--277

[13] N. M. Temme, Asymptotic Estimates of Stirling Numbers, STUDIES IN APPLIED MATHEMATICS 89: 233-243 (1993), Elsevier Science Publishing.

[14] L. Comtet, Pokročilá kombinatorika, Reidel, 1974, s. 222.

[15] A. Mohr a T.D. Porter, Aplikace chromatických polynomů zahrnujících Stirlingova čísla, Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 70 (2009), 57–64.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]