Svobodná nezávislost - Free independence

V matematické teorii bezplatná pravděpodobnost, pojem svobodná nezávislost byl představen Dan Voiculescu.^[1] Definice svobodné nezávislosti je paralelní s klasickou definicí nezávislost, kromě toho, že role karteziánských produktů z změřte mezery (souhlasí s tenzorové výrobky jejich funkce algebry) hraje pojem a produkt zdarma (nekomutativních) prostorů pravděpodobnosti.

V kontextu Voiculescuovy teorie volné pravděpodobnosti má mnoho vět nebo jevů klasické pravděpodobnosti volné analogie pravděpodobnosti: stejná věta nebo jev platí (možná s mírnými úpravami), pokud je klasický pojem nezávislosti nahrazen svobodnou nezávislostí. Mezi příklady patří: bezplatná centrální limitní věta; pojmy bezplatná konvoluce; existence volný stochastický počet a tak dále.

Nechat ${ displaystyle (A, phi)}$ být nekomutativní pravděpodobnostní prostor, tj unital algebra ${ displaystyle A}$ přes ${ displaystyle mathbb {C}}$ vybaven a unital lineární funkční ${ displaystyle phi: A až mathbb {C}}$. Jako příklad lze uvést pravděpodobnostní měřítko ${ displaystyle mu}$,

${ displaystyle A = L ^ { infty} ( mathbb {R}, mu), phi (f) = int f (t) , d mu (t).}$

Dalším příkladem může být ${ displaystyle A = M_ {N}}$algebra ${ displaystyle N krát N}$ matice s funkcemi danými normalizovanou stopou ${ displaystyle phi = { frac {1} {N}} Tr}$. Ještě obecněji ${ displaystyle A}$ může být von Neumannova algebra a ${ displaystyle phi}$ stát na ${ displaystyle A}$. Posledním příkladem je skupinová algebra ${ displaystyle A = mathbb {C} Gamma}$ (diskrétní) skupina ${ displaystyle Gamma}$ s funkční ${ displaystyle phi}$ dané trasováním skupiny ${ displaystyle phi (g) = delta _ {g = e}, g v gama}$.

Nechat ${ displaystyle {A_ {i}: i v I }}$ být rodinou unitalských subalgeber z ${ displaystyle A}$.

Definice. Rodina ${ displaystyle {A_ {i}: i v I }}$ je nazýván svobodně nezávislý -li ${ displaystyle phi (x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}) = 0}$kdykoli ${ displaystyle phi (x_ {j}) = 0}$, ${ displaystyle x_ {j} v A_ {i (j)}}$ a ${ Displaystyle i (1) neq i (2), i (2) neq i (3), tečky}$.

Li ${ displaystyle X_ {i} v A}$, ${ displaystyle i in I}$ je rodina prvků ${ displaystyle A}$ (tyto lze v systému Windows považovat za náhodné proměnné ${ displaystyle A}$), se nazývají

svobodně nezávislý pokud algebry ${ displaystyle A_ {i}}$ generováno uživatelem ${ displaystyle 1}$ a ${ displaystyle X_ {i}}$ jsou svobodně nezávislí.

Příklady svobodné nezávislosti

• Nechat ${ displaystyle Gamma}$ být produkt zdarma skupin ${ displaystyle Gamma _ {i}, i in I}$, nechť ${ displaystyle A = mathbb {C} Gamma}$ být skupinová algebra, ${ displaystyle phi (g) = delta _ {g = e}}$ být trasování skupiny a nastavit ${ displaystyle A_ {i} = mathbb {C} Gamma _ {i} podmnožina A}$. Pak ${ displaystyle A_ {i}: i v I}$ jsou svobodně nezávislí.
• Nechat ${ displaystyle U_ {i} (N), i = 1,2}$ být ${ displaystyle N krát N}$ unitární náhodné matice, nezávisle na sobě náhodně z ${ displaystyle N krát N}$ unitární skupina (s respektem k Haarovo opatření ). Pak ${ displaystyle U_ {1} (N), U_ {2} (N)}$ stát se asymptoticky svobodně nezávislým jako ${ displaystyle N až infty}$. (Asymptotická volnost znamená, že definice volnosti platí v limitu jako ${ displaystyle N až infty}$).
• Obecněji řečeno, nezávislý náhodné matice mají tendenci být za určitých podmínek asymptoticky svobodně nezávislí.

Reference

Zdroje

• James A. Mingo, Roland Speicher: Pravděpodobnost a náhodné matice zdarma. Fields Institute Monographs, sv. 35, Springer, New York, 2017.