Poissonova vlnka - Poisson wavelet - Wikipedia

V matematice, ve funkční analýze, několik různých vlnky jsou známy pod jménem Poissonova vlnka. V jednom kontextu se termín „Poissonova vlnka“ používá k označení rodiny vlnek označených množinou kladná celá čísla, jejíž členové jsou sdružení s Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti. Tyto vlnky poprvé definovaly a studovaly Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser a Michael J. Piovoso v letech 1995–1996.^[1]^[2] V jiném kontextu se termín vztahuje k určité vlně, která zahrnuje formu Poissonova integrálního jádra.^[3] V ještě jiném kontextu se terminologie používá k popisu rodiny složitých vlnek indexovaných kladnými celými čísly, které jsou spojeny s deriváty Poissonova integrálního jádra.^[4]

Vlny spojené s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti

Definice

Členové rodiny Poissonových vlnek odpovídající n = 1, 2, 3, 4.

Pro každé kladné celé číslo n Poissonova vlnka ${ displaystyle psi _ {n} (t)}$ je definováno

{ displaystyle psi _ {n} (t) = { begin {cases} left ({ frac {tn} {n!}} right) t ^ {n-1} e ^ {- t} & { text {for}} t geq 0 0 & { text {for}} t <0. end {cases}}}

Chcete-li vidět vztah mezi Poissonovou vlnou a Poissonovým rozdělením, nechte X být diskrétní náhodná proměnná mající Poissonovo rozdělení s parametrem (průměr) t a pro každé nezáporné celé číslo n, nechť Prob (X = n) = p_n(t). Pak máme

{ displaystyle p_ {n} (t) = { frac {t ^ {n}} {n!}} e ^ {- t}.}

Poissonova vlnka ${ displaystyle psi _ {n} (t)}$ je nyní dán

{ displaystyle psi _ {n} (t) = - { frac {d} {dt}} p_ {n} (t).}

Základní vlastnosti

${ displaystyle psi _ {n} (t)}$ je zpětný rozdíl hodnot Poissonova rozdělení:

{ displaystyle psi _ {n} (t) = p_ {n} (t) -p_ {n-1} (t).}

„Vlnitost“ členů této rodiny waveletů vyplývá z

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} psi _ {n} (t) , dt = 0.}

Fourierova transformace ${ displaystyle psi _ {n} (t)}$ je dáno

{ displaystyle Psi ( omega) = { frac {-i omega} {(1 + i omega) ^ {n + 1}}}}

Konstanta přípustnosti spojená s ${ displaystyle psi _ {n} (t)}$ je

{ displaystyle C _ { psi _ {n}} = int _ {- infty} ^ { infty} { frac { left | Psi _ {n} ( omega) right | ^ {2} } {| omega |}} , d omega = { frac {1} {n}}.}

Poissonova vlnka není ortogonální rodina vlnek.

Poissonova vlnková transformace

Poissonovu vlnkovou rodinu lze použít ke konstrukci rodiny Poissonových vlnkových transformací funkcí definovaných v časové doméně. Vzhledem k tomu, že Poissonovy vlnky splňují také podmínku přípustnosti, lze funkce v časové doméně rekonstruovat z jejich Poissonových vlnkových transformací pomocí vzorce pro inverzní vlnkové transformace v nepřetržitém čase.

Li F(t) je funkce v časové doméně n-tá Poissonova vlnková transformace je dána vztahem

{ displaystyle (W_ {n} f) (a, b) = { frac {1} { sqrt {| | |}}} int _ {- infty} ^ { infty} f (t) psi _ {n} vlevo ({ frac {tb} {a}} vpravo) , dt}

V opačném směru, vzhledem k n-th Poissonova vlnková transformace ${ displaystyle (W_ {n} f) (a, b)}$ funkce F(t) v časové oblasti, funkce F(t) lze rekonstruovat následovně:

{ displaystyle f (t) = { frac {1} {C _ { psi _ {n}}}} int _ {- infty} ^ { infty} left [ int _ {- infty} ^ { infty} , left {(W_ {n} f) (a, b) { frac {1} { sqrt {| a |}}} psi _ {n} left ({ frac {tb} {a}} right) , right } db right] { frac {da} {a ^ {2}}}}

Aplikace

Poissonovy vlnkové transformace byly použity při analýze s více rozlišeními, identifikaci systému a odhadu parametrů. Jsou zvláště užitečné při studiu problémů, ve kterých funkce v časové doméně sestávají z lineárních kombinací rozpadajících se exponenciálů s časovým zpožděním.

Vlnka spojená s Poissonovým jádrem

Obrázek vlnky spojené s Poissonovým jádrem.

Obrázek Fourierovy transformace vlnky spojené s Poissonovým jádrem.

Definice

Poissonova vlnka je definována funkcí^[3]

{ displaystyle psi (t) = { frac {1} { pi}} { frac {1-t ^ {2}} {(1 + t ^ {2}) ^ {2}}}}

To lze vyjádřit ve formě

{ displaystyle psi (t) = P (t) + t { frac {d} {dt}} P (t)}

kde

{ displaystyle P (t) = { frac {1} { pi}} { frac {1} {1 + t ^ {2}}}}

.

Vztah s Poissonovým jádrem

Funkce ${ displaystyle P (t)}$ se zobrazí jako integrální jádro v řešení jisté problém počáteční hodnoty z Operátor Laplace.

Toto je problém počáteční hodnoty: Daný ${ displaystyle s (x)}$ v ${ displaystyle L ^ {p} ( mathbb {R})}$ , najít harmonickou funkci ${ displaystyle phi (x, y)}$ definované v horní polorovina splňující následující podmínky:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} | phi (x, y) | ^ {p} , dx leq c < infty}$ , a
${ displaystyle phi (x, y) rightarrow s (x)}$ tak jako ${ displaystyle y rightarrow 0}$ v ${ displaystyle L ^ {p} ( mathbb {R})}$ .

Problém má následující řešení: Existuje právě jedna funkce ${ displaystyle phi (x, y)}$ splňující dvě podmínky a je dána

{ displaystyle phi (t, y) = P_ {y} (t) hvězda s (t)}

kde ${ displaystyle P_ {y} (t) = { frac {1} {y}} P left ({ frac {t} {y}} right) = { frac {1} { pi}} { frac {y} {t ^ {2} + y ^ {2}}}}$ a kde " ${ displaystyle star}$ "označuje konvoluční operace. Funkce ${ displaystyle P_ {y} (t)}$ je integrální jádro pro tuto funkci ${ displaystyle phi (x, y)}$ . Funkce ${ displaystyle phi (x, y)}$ je harmonické pokračování ${ displaystyle s (x)}$ do horní poloviny roviny.

Vlastnosti

„Vlnitost“ funkce vyplývá z

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} psi (t) , dt = 0}

.

Fourierova transformace ${ displaystyle psi (t)}$ darováno

{ displaystyle Psi ( omega) = | omega | e ^ {- | omega |}}

.

Konstanta přípustnosti je

{ displaystyle C _ { psi} = int _ {- infty} ^ { infty} { frac { left | Psi ( omega) right | ^ {2}} {| omega |}} , d omega = 2.}

Třída komplexních vlnek spojených s Poissonovým jádrem

Grafy reálných částí Poissonovy vlnky

{ displaystyle psi _ {n} (t)}

pro

{ displaystyle n = 1,2,3,4}

.

Grafy imaginárních částí Poissonovy vlnky

{ displaystyle psi _ {n} (t)}

pro

{ displaystyle n = 1,2,3,4}

.

Definice

Poissonova vlnka je rodina komplexních hodnotných funkcí indexovaných množinou kladných celých čísel a definovaných^[4]^[5]

{ displaystyle psi _ {n} (t) = { frac {1} {2 pi}} (1-it) ^ {- (n + 1)}}

kde

{ displaystyle n = 1,2,3, ldots}

Vztah s Poissonovým jádrem

Funkce ${ displaystyle psi _ {n} (t)}$ lze vyjádřit jako n-tý derivát takto:

{ displaystyle psi _ {n} (t) = { frac {1} {2 pi}} { frac {1} {n! , i ^ {n}}} { frac {d ^ { n}} {dt ^ {n}}} left ((1-it) ^ {- 1} right)}

Psaní funkce ${ displaystyle (1-it) ^ {- 1}}$ ve smyslu Poissonova integrálního jádra ${ displaystyle P (t) = { frac {1} {1 + t ^ {2}}}}$ tak jako

{ displaystyle (1-it) ^ {- 1} = P (t) + itP (t)}

my máme

{ displaystyle psi _ {n} (t) = { frac {1} {2 pi}} { frac {1} {n! , i ^ {n}}} { frac {d ^ { n}} {dt ^ {n}}} P (t) + i left ({ frac {1} {2 pi}} { frac {1} {n! , i ^ {n}}} { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} vlevo (tP (t) vpravo) vpravo)}

Tím pádem ${ displaystyle psi _ {n} (t)}$ lze interpretovat jako funkci úměrnou derivátům Poissonova integrálního jádra.

Vlastnosti

Fourierova transformace ${ displaystyle psi _ {n} (t)}$ darováno

{ displaystyle Psi _ {n} ( omega) = { frac {1} { Gamma (n + 1)}} omega ^ {n} e ^ {- omega} u ( omega)}

kde ${ displaystyle u ( omega)}$ je funkce jednotky.

Reference

^ Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser a Michael J. Piovoso (1996). "Poissonova vlnková transformace". Chemické inženýrství komunikace. 146 (1): 131–138.
^ Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser a Michael J. Piovoso (1997). "Nová rodina vlnek: Poissonova vlnková transformace". Počítače v chemickém inženýrství. 21 (6): 601–620.
^ ^A ^b Roland Klees, Roger Haagmans (redaktoři) (2000). Vlny v geovědách. Berlín: Springer. str. 18–20.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)
^ ^A ^b Abdul J. Jerri (1998). Gibbsův fenomén ve Fourierově analýze, splajnech a vlnkových aproximacích. Dordrech: Springer Science + Business Media. str.222 –224. ISBN 978-1-4419-4800-7.
^ Wojbor A. Woyczynski (1997). Distribuce ve fyzikálních a technických vědách: Distribuční a fraktální počet, Integrální transformace a vlnky, Svazek 1. Springer Science & Business Media. str. 223. ISBN 9780817639242.

[def-1] Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser a Michael J. Piovoso (1996). "Poissonova vlnková transformace". Chemické inženýrství komunikace. 146 (1): 131–138.

[2] Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser a Michael J. Piovoso (1997). "Nová rodina vlnek: Poissonova vlnková transformace". Počítače v chemickém inženýrství. 21 (6): 601–620.

[geo-3] A ^b Roland Klees, Roger Haagmans (redaktoři) (2000). Vlny v geovědách. Berlín: Springer. str. 18–20.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)

[jerri-4] A ^b Abdul J. Jerri (1998). Gibbsův fenomén ve Fourierově analýze, splajnech a vlnkových aproximacích. Dordrech: Springer Science + Business Media. str.222 –224. ISBN 978-1-4419-4800-7.

[5] Wojbor A. Woyczynski (1997). Distribuce ve fyzikálních a technických vědách: Distribuční a fraktální počet, Integrální transformace a vlnky, Svazek 1. Springer Science & Business Media. str. 223. ISBN 9780817639242.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]