Funkce generující pravděpodobnost - Probability-generating function

v teorie pravděpodobnosti, funkce generující pravděpodobnost a diskrétní náhodná proměnná je výkonová řada reprezentace ( generující funkce ) z funkce pravděpodobnostní hmotnosti z náhodná proměnná. Funkce generující pravděpodobnost se často používají k jejich stručnému popisu posloupnosti pravděpodobností Pr (X = i) v funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro náhodná proměnná X, a zpřístupnit propracovanou teorii výkonových řad s nezápornými koeficienty.

Definice

Jednorozměrný případ

Li X je diskrétní náhodná proměnná přičemž hodnoty jsou nezáporné celá čísla {0,1, ...}, pak funkce generující pravděpodobnost z X je definován jako^[1]

${ displaystyle G (z) = operatorname {E} (z ^ {X}) = součet _ {x = 0} ^ { infty} p (x) z ^ {x},}$

kde p je funkce pravděpodobnostní hmotnosti z X. Všimněte si, že v dolním indexu G_X a p_X se často používají k zdůraznění, že se týkají konkrétní náhodné proměnné Xa jeho rozdělení. Silová řada absolutně konverguje alespoň pro všechny komplexní čísla z s |z| ≤ 1; v mnoha příkladech je poloměr konvergence větší.

Vícerozměrný případ

Li X = (X₁,...,X_d ) je diskrétní náhodná proměnná s hodnotami v d-dimenzionální nezáporné celočíselná mřížka {0,1, ...}^d, pak funkce generující pravděpodobnost z X je definován jako

${ displaystyle G (z) = G (z_ {1}, ldots, z_ {d}) = operatorname {E} { bigl (} z_ {1} ^ {X_ {1}} cdots z_ {d } ^ {X_ {d}} { bigr)} = součet _ {x_ {1}, ldots, x_ {d} = 0} ^ { infty} p (x_ {1}, ldots, x_ { d}) z_ {1} ^ {x_ {1}} cdots z_ {d} ^ {x_ {d}},}$

kde p je funkce pravděpodobnostní hmotnosti X. Silová řada konverguje absolutně alespoň pro všechny složité vektory z = (z₁,...,z_d ) ∈ ℂ^d s max {|z₁|,...,|z_d |} ≤ 1.

Vlastnosti

Silová řada

Funkce generující pravděpodobnost dodržují všechna pravidla mocninných řad s nezápornými koeficienty. Zejména, G(1⁻) = 1, kde G(1⁻) = lim_{z → 1}G(z) zespodu, protože pravděpodobnosti musí být součtem jedné. Takže poloměr konvergence jakékoli funkce generující pravděpodobnost musí být alespoň 1 o Ábelova věta pro výkonové řady s nezápornými koeficienty.

Pravděpodobnosti a očekávání

Následující vlastnosti umožňují odvození různých základních veličin souvisejících s X:

1. Funkce pravděpodobnostní hmotnosti X je získán převzetím deriváty z G,

   ${ displaystyle p (k) = operatorname {Pr} (X = k) = { frac {G ^ {(k)} (0)} {k!}}.}$

2. Z vlastnosti 1 vyplývá, že pokud náhodné proměnné X a Y mají funkce generující pravděpodobnost, které jsou stejné, ${ displaystyle G_ {X} = G_ {Y}}$, pak ${ displaystyle p_ {X} = p_ {Y}}$. To je, pokud X a Y mají identické funkce generující pravděpodobnost, pak mají stejná rozdělení.
3. Normalizace funkce hustoty pravděpodobnosti může být vyjádřena generující funkcí pomocí

   ${ displaystyle operatorname {E} [1] = G (1 ^ {-}) = součet _ {i = 0} ^ { infty} p (i) = 1.}$

   The očekávání z ${ displaystyle X}$ darováno

   ${ displaystyle operatorname {E} [X] = G '(1 ^ {-}).}$

   Obecněji, k^th faktoriální moment, ${ displaystyle operatorname {E} (X (X-1) cdots (X-k + 1))}$ z X darováno

   ${ displaystyle operatorname {E} left [{ frac {X!} {(Xk)!}} right] = G ^ {(k)} (1 ^ {-}), quad k geq 0 .}$

   Takže rozptyl z X darováno

   ${ displaystyle operatorname {Var} (X) = G '' (1 ^ {-}) + G '(1 ^ {-}) - left [G' (1 ^ {-}) right] ^ { 2}.}$

   Nakonec k^th surový okamžik z X je dáno

   ${ displaystyle operatorname {E} [X ^ {k}] = levý (z { frac { částečný} { částečný z}} pravý) ^ {k} G (z) { velký |} _ {z = 1 ^ {-}}}$

4. ${ displaystyle G_ {X} (e ^ {t}) = M_ {X} (t)}$ kde X je náhodná proměnná, ${ displaystyle G_ {X} (t)}$ je funkce generující pravděpodobnost (z X) a ${ displaystyle M_ {X} (t)}$ je funkce generující momenty (z X) .

Funkce nezávislých náhodných proměnných

Funkce generující pravděpodobnost jsou zvláště užitečné pro práci s funkcemi nezávislý náhodné proměnné. Například:

• Li X₁, X₂, ..., X_N je posloupnost nezávislých (a ne nutně identicky rozložených) náhodných proměnných a

${ displaystyle S_ {N} = součet _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} X_ {i},}$

Kde A_i jsou konstanty, pak je funkce generující pravděpodobnost dána vztahem

${ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = operatorname {E} (z ^ {S_ {N}}) = operatorname {E} left (z ^ { sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} X_ {i},} right) = G_ {X_ {1}} (z ^ {a_ {1}}) G_ {X_ {2}} (z ^ {a_ {2}} ) cdots G_ {X_ {N}} (z ^ {a_ {N}}).}$

Například pokud

${ displaystyle S_ {N} = součet _ {i = 1} ^ {N} X_ {i},}$

pak funkce generující pravděpodobnost, G_SN(z), darováno

${ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = G_ {X_ {1}} (z) G_ {X_ {2}} (z) cdots G_ {X_ {N}} (z).}$

Z toho také vyplývá, že funkce generující pravděpodobnost rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných S = X₁ − X₂ je

${ displaystyle G_ {S} (z) = G_ {X_ {1}} (z) G_ {X_ {2}} (1 / z).}$

• Předpokládejme to N je také nezávislá, diskrétní náhodná proměnná, která bere hodnoty na nezáporných celých číslech, s funkcí generující pravděpodobnost G_N. Pokud X₁, X₂, ..., X_N jsou nezávislé a identicky distribuován s běžnou funkcí generující pravděpodobnost G_X, pak

${ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = G_ {N} (G_ {X} (z)).}$

To lze vidět pomocí zákon úplného očekávání, jak následuje:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} G_ {S_ {N}} (z) & = operatorname {E} (z ^ {S_ {N}}) = operatorname {E} (z ^ { sum _ { i = 1} ^ {N} X_ {i}}) [4pt] & = operatorname {E} { big (} operatorname {E} (z ^ { sum _ {i = 1} ^ { N} X_ {i}} mid N) { big)} = operatorname {E} { big (} (G_ {X} (z)) ^ {N} { big)} = G_ {N} (G_ {X} (z)). End {zarovnáno}}}$

Tato poslední skutečnost je užitečná při studiu Galton – Watsonovy procesy a složené Poissonovy procesy.

• Předpokládejme to znovu N je také nezávislá, diskrétní náhodná proměnná, která bere hodnoty na nezáporných celých číslech, s funkcí generující pravděpodobnost G_N a hustota pravděpodobnosti ${ displaystyle f_ {i} = Pr {N = i }}$. Pokud X₁, X₂, ..., X_N jsou nezávislé, ale ne identicky distribuované náhodné proměnné, kde ${ displaystyle G_ {X_ {i}}}$ označuje funkci generující pravděpodobnost ${ displaystyle X_ {i}}$, pak

${ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = součet _ {i geq 1} f_ {i} prod _ {k = 1} ^ {i} G_ {X_ {i}} (z). }$

Pro identicky distribuované X_i to zjednodušuje identitu uvedenou výše. Obecný případ je někdy užitečný k získání rozkladu S_N pomocí generujících funkcí.

Příklady

• Funkce generující pravděpodobnost a konstantní náhodná proměnná, tj. jeden s Pr (X = C) = 1, je

${ displaystyle G (z) = z ^ {c}.}$

• Funkce generující pravděpodobnost a binomická náhodná proměnná, počet úspěchů v n pokusy, s pravděpodobností p úspěchu v každém pokusu je

${ displaystyle G (z) = left [(1-p) + pz right] ^ {n}.}$

Všimněte si, že toto je n-násobný součin funkce generující pravděpodobnost a Bernoulliho náhodná proměnná s parametrem p.

Takže funkce generující pravděpodobnost a spravedlivá mince, je

${ displaystyle G (z) = 1/2 + z / 2.}$

• Funkce generující pravděpodobnost a záporná binomická náhodná proměnná dne {0,1,2 ...}, počet selhání do rten úspěch s pravděpodobností úspěchu v každém pokusu p, je

${ displaystyle G (z) = left ({ frac {p} {1- (1-p) z}} right) ^ {r}.}$

(Konvergence pro ${ displaystyle | z | <{ frac {1} {1-p}}}$).

Všimněte si, že toto je r-násobný součin funkce generující pravděpodobnost a geometrická náhodná proměnná s parametrem 1 -p dne {0,1,2, ...}.

• Funkce generující pravděpodobnost a Poissonova náhodná proměnná s parametrem sazby λ je

${ displaystyle G (z) = e ^ { lambda (z-1)}.}$

Související pojmy

Funkce generující pravděpodobnost je příkladem a generující funkce sekvence: viz také formální mocenské řady. Je to ekvivalent a někdy se tomu říká z-transformace funkce pravděpodobnostní hmotnosti.

Mezi další generující funkce náhodných proměnných patří funkce generující momenty, charakteristická funkce a funkce generování kumulantu. Funkce generující pravděpodobnost je také ekvivalentní s funkce generující faktoriální moment, který jako ${ displaystyle operatorname {E} doleva [z ^ {X} doprava]}$ lze také uvažovat pro spojité a jiné náhodné proměnné.

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Funkce generující pravděpodobnost"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Duben 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Poznámky

Reference

• Johnson, N.L .; Kotz, S .; Kemp, A.W. (1993) Univariate diskrétní distribuce (2. vydání). Wiley. ISBN  0-471-54897-9 (Oddíl 1.B9)