Raikovsova věta - Raikovs theorem - Wikipedia

Raikovova věta je výsledkem v teorie pravděpodobnosti. Je dobře známo, že pokud každý ze dvou nezávislý náhodné proměnné ξ₁ a ξ₂ má Poissonovo rozdělení, pak jejich součet ξ = ξ₁+ ξ₂ má také Poissonovo rozdělení. Ukazuje se, že konverzace je také platná ^[1][2][3].

Výrok věty

Předpokládejme, že náhodná proměnná ξ má Poissonovo rozdělení a připouští rozklad jako součet ξ = ξ₁+ ξ₂ dvou nezávislých náhodných proměnných. Pak je distribuce každého součtu posunutým Poissonovým rozdělením.

Komentář

Raikovova věta je podobná Cramérova věta o rozkladu. Druhý výsledek tvrdí, že má-li součet dvou nezávislých náhodných proměnných normální rozdělení, pak je normálně rozdělen také každý součet. Dokázal to také Yu.V. Linnik že konvoluce normálního rozdělení a Poissonova rozdělení má podobnou vlastnost (Linnikova věta [ru ]).

Rozšíření lokálně kompaktních abelianských skupin

Nechat ${ displaystyle X}$ být místně kompaktní abelianská skupina. Označit podle ${ displaystyle M ^ {1} (X)}$konvoluční poloskupina rozdělení pravděpodobnosti na ${ displaystyle X}$, a tím ${ displaystyle E_ {x}}$zdegenerovaná distribuce se soustředila na ${ displaystyle x v X}$. Nechat ${ displaystyle x_ {0} v X, lambda> 0}$.

Poissonovo rozdělení generované taktem ${ displaystyle lambda E_ {x_ {0}}}$ je definována jako posunuté rozdělení formuláře

${ displaystyle mu = e ( lambda E_ {x_ {0}}) = e ^ {- lambda} (E_ {0} + lambda E_ {x_ {0}} + lambda ^ {2} E_ { 2x_ {0}} / 2! + Ldots + lambda ^ {n} E_ {nx_ {0}} / n! + Ldots).}$

Jeden má následující

Raikovova věta o místně kompaktních abelianských skupinách

Nechat ${ displaystyle mu}$ být Poissonovo rozdělení generované mírou ${ displaystyle lambda E_ {x_ {0}}}$. Předpokládejme to ${ displaystyle mu = mu _ {1} * mu _ {2}}$, s ${ displaystyle mu _ {j} v M ^ {1} (X)}$. Li ${ displaystyle x_ {0}}$ je prvek nekonečné objednávky nebo má pořadí 2 ${ displaystyle mu _ {j}}$ je také Poissonova distribuce. V případě ${ displaystyle x_ {0}}$ být prvkem konečného řádu ${ displaystyle n neq 2}$, ${ displaystyle mu _ {j}}$ může selhat jako Poissonovo rozdělení.

Reference