Anscombeova transformace - Anscombe transform

Směrodatná odchylka transformované Poissonovy náhodné veličiny jako funkce průměru ${displaystyle m}$.

v statistika, Anscombeova transformace, pojmenoval podle Francis Anscombe, je varianta stabilizující transformaci který transformuje a náhodná proměnná s Poissonovo rozdělení do jednoho s přibližně standardem Gaussovo rozdělení. Transformace Anscombe je široce používána ve fotonově omezeném zobrazování (astronomie, rentgen), kde se obrázky přirozeně řídí Poissonovým zákonem. Transformace Anscombe se obvykle používá k předběžnému zpracování dat za účelem vytvoření standardní odchylka přibližně konstantní. Pak odšumění algoritmy určené pro rámec aditivní bílý gaussovský šum Jsou používány; konečný odhad se poté získá aplikací inverzní Anscombeho transformace na odškrtnutá data.

Definice

Pro Poissonovo rozdělení průměr ${displaystyle m}$ a rozptyl ${displaystyle v}$ nejsou nezávislí: ${displaystyle m = v}$. Anscombeova transformace^[1]

${displaystyle A: xmapsto 2 {sqrt {x + {frac {3} {8}}}},}$

má za cíl transformovat data tak, aby byla odchylka nastavena přibližně na 1 pro dostatečně velký průměr; pro střední nulu je rozptyl stále nulový.

Transformuje poissonská data ${displaystyle x}$ (s průměrem ${displaystyle m}$) na přibližně Gaussovy údaje o průměru ${displaystyle 2 {sqrt {m + {frac {3} {8}}}} - {frac {1} {4, m ^ {1/2}}} + Oleft ({frac {1} {m ^ {3 / 2}}} hned)}$ a směrodatná odchylka ${displaystyle 1 + Oleft ({frac {1} {m ^ {2}}} v pořádku)}$. Tato aproximace je dobrá za předpokladu, že ${displaystyle m}$ je větší než 4.^[2]

Pro transformovanou proměnnou formuláře ${displaystyle 2 {sqrt {x + c}}}$, výraz pro rozptyl má další termín ${displaystyle {frac {{frac {3} {8}} - c} {m}}}$; je snížena na nulu v ${displaystyle c = {frac {3} {8}}}$, což je přesně důvod, proč byla tato hodnota vybrána.

Inverze

Když se používá Anscombeova transformace při odšumování (tj. Když je cílem získat z ${displaystyle x}$ odhad ${displaystyle m}$), je také nutná jeho inverzní transformace, aby se vrátily údaje stabilizované rozptylem a potlačené údaje ${displaystyle y}$ do původního rozsahu algebraická inverze

${displaystyle A ^ {- 1}: ymapsto left ({frac {y} {2}} ight) ^ {2} - {frac {3} {8}}}$

obvykle zavádí nežádoucí zaujatost k odhadu průměru ${displaystyle m}$, protože dopředu druhá odmocnina transformace není lineární. Někdy se používá asymptoticky nezaujatá inverze^[1]

${displaystyle ymapsto left ({frac {y} {2}} ight) ^ {2} - {frac {1} {8}}}$

zmírňuje problém zaujatosti, ale to není případ fotonově omezeného zobrazování, pro které je přesná nepřímá inverze daná implicitním mapováním^[3]

${displaystyle operatorname {E} left [2 {sqrt {x + {frac {3} {8}}}} mid might] = 2sum _ {x = 0} ^ {+ infty} left ({sqrt {x + {frac {3 } {8}}}} cdot {frac {m ^ {x} e ^ {- m}} {x!}} Ight) mapsto m}$

by měly být použity. A uzavřená forma aproximace této přesné nezaujaté inverze je^[4]

${displaystyle ymapsto {frac {1} {4}} y ^ {2} - {frac {1} {8}} + {frac {1} {4}} {sqrt {frac {3} {2}}} y ^ {- 1} - {frac {11} {8}} y ^ {- 2} + {frac {5} {8}} {sqrt {frac {3} {2}}} y ^ {- 3}. }$

Alternativy

Existuje mnoho dalších možných transformací stabilizujících rozptyl pro Poissonovo rozdělení. Zpráva Bar-Leva a Enise^[5] rodina takových transformací, která zahrnuje transformaci Anscombe. Dalším členem rodiny je transformace Freeman-Tukey^[6]

${displaystyle A: xmapsto {sqrt {x + 1}} + {sqrt {x}}.,}$

Zjednodušená transformace, získaná jako primitiv převrácené hodnoty směrodatné odchylky dat, je

${displaystyle A: xmapsto 2 {sqrt {x}},}$

který, i když není tak dobrý ve stabilizaci rozptylu, má tu výhodu, že je snáze pochopitelný. Z delta metody,

${displaystyle V [2 {sqrt {x}}] zbývá přibližně ({frac {d (2 {sqrt {m}})} {dm}} vpravo) ^ {2} V [x] = vlevo ({frac {1 } {sqrt {m}}} ight) ^ {2} m = 1}$.

Zobecnění

Zatímco Anscombeova transformace je vhodná pro čistá Poissonova data, v mnoha aplikacích představují data také aditivní Gaussovu komponentu. Tyto případy jsou ošetřeny transformací Generalized Anscombe^[7] a jeho asymptoticky nezkreslené nebo přesné nezkreslené inverze.^[8]

Viz také

• Varianta stabilizující odchylku
• Box – Coxova transformace

Reference

Další čtení

• Starck, J.-L .; Murtagh, F. (2001), „Astronomický obraz a zpracování signálu: pohled na hluk, informace a měřítko“, Časopis pro zpracování signálu, IEEE, 18 (2), s. 30–40, Bibcode:2001ISPM ... 18 ... 30S, doi:10.1109/79.916319