Nekonečná dělitelnost (pravděpodobnost) - Infinite divisibility (probability)

v teorie pravděpodobnosti, a rozdělení pravděpodobnosti je nekonečně dělitelný jestliže to může být vyjádřeno jako rozdělení pravděpodobnosti součtu libovolného počtu nezávislé a identicky distribuované (i.i.d.) náhodné proměnné. The charakteristická funkce jakékoli nekonečně dělitelné distribuce se pak nazývá nekonečně dělitelná charakteristická funkce.^[1]

Přísněji rozložení pravděpodobnosti F je nekonečně dělitelné, pokud pro každé kladné celé číslo n, existují n i.i.d. náhodné proměnné X_n1, ..., X_nn jehož součet S_n = X_n1 + … + X_nn má stejnou distribuci F.

Koncept nekonečné dělitelnosti rozdělení pravděpodobnosti zavedl v roce 1929 Bruno de Finetti. Tento typ rozklad distribuce se používá v pravděpodobnost a statistika najít rodiny rozdělení pravděpodobnosti, které by mohly být přirozenou volbou pro určité modely nebo aplikace. Nekonečně dělitelná rozdělení hrají důležitou roli v teorii pravděpodobnosti v kontextu limitních vět.^[1]

Příklady

The Poissonovo rozdělení, negativní binomické rozdělení (a tedy také geometrické rozdělení ), Distribuce gama a zdegenerovaná distribuce jsou příklady nekonečně dělitelného rozdělení; jak jsou normální distribuce, Cauchyovo rozdělení a všichni ostatní členové stabilní distribuce rodina. The rovnoměrné rozdělení a binomická distribuce nejsou nekonečně dělitelné a nejsou ani jiná (netriviální) distribuce s omezenou (konečnou) podporou.^[2] The Studentova t-distribuce je nekonečně dělitelné, zatímco rozdělení převrácené hodnoty náhodné proměnné mající Studentovo t-rozdělení není.^[3]

Všechny složené Poissonovy distribuce jsou nekonečně dělitelné.

Věta o limitu

Nekonečně dělitelné distribuce se objevují v širokém zobecnění teorém centrálního limitu: limit jako n → + ∞ součtu S_n = X_n1 + … + X_nn z nezávislý rovnoměrně asymptoticky zanedbatelné (u.a.n.) náhodné proměnné v trojúhelníkovém poli

${displaystyle {egin {array} {cccc} X_ {11} X_ {21} & X_ {22} X_ {31} & X_ {32} & X_ {33} vdots & vdots & vdots & ddots end {array}}}$

přístupy - v slabý smysl - nekonečně dělitelná distribuce. The rovnoměrně asymptoticky zanedbatelné (neuv.) podmínka je dána

${displaystyle lim _ {n o infty}, max _ {1leq kleq n}; P (left | X_ {nk} ight |> varepsilon) = 0 {ext {for every}} varepsilon> 0.}$

Například pokud je splněna podmínka uniformní asymptotické zanedbatelnosti (neuvedeno) prostřednictvím vhodného škálování identicky distribuovaných náhodných proměnných s konečnými rozptyl, slabá konvergence je k normální distribuce v klasické verzi centrální limitní věty. Obecněji řečeno, pokud u.a.n. podmínka je splněna pomocí škálování identicky rozložených náhodných proměnných (s ne nutně konečným druhým momentem), pak je slabá konvergence k stabilní distribuce. Na druhou stranu pro a trojúhelníkové pole nezávislých (bez škálování) Bernoulliho náhodné proměnné kde u.a.n. podmínka je splněna prostřednictvím

${displaystyle lim _ {nightarrow infty} np_ {n} = lambda,}$

slabá konvergence součtu je k Poissonově rozdělení s průměrem λ jak vyplývá ze známého důkazu o zákon malých čísel.

Lévyho proces

Každé nekonečně dělitelné rozdělení pravděpodobnosti přirozeným způsobem odpovídá a Lévyho proces. Lévyho proces je stochastický proces { L_t : t ≥ 0} při stání nezávislé přírůstky, kde stacionární znamená to pro s < t, rozdělení pravděpodobnosti z L_t − L_s záleží jen na t − s a kde nezávislé přírůstky znamená ten rozdíl L_t − L_s je nezávislý příslušného rozdílu v libovolném intervalu, který se nepřekrývá s [s, t], a podobně pro jakýkoli konečný počet vzájemně nepřekrývajících se intervalů.

Pokud {L_t : t ≥ 0} je tedy Lévyho proces pro všechny t ≥ 0, náhodná proměnná L_t bude nekonečně dělitelný: pro všechny n, můžeme si vybrat (X_n0, X_n1, …, X_nn) = (L_t/n − L₀, L_2t/n − L_t/n, …, L_t − L_(n−1)t/n). Podobně, L_t − L_s je nekonečně dělitelný pro kohokoliv s < t.

Na druhou stranu, pokud F je nekonečně dělitelná distribuce, můžeme sestrojit Lévyho proces {L_t : t ≥ 0} z toho. Pro libovolný interval [s, t] kde t − s > 0 se rovná a racionální číslo str/q, můžeme definovat L_t − L_s mít stejnou distribuci jako X_q1 + X_q2 + … + X_qp. Iracionální hodnoty t − s > 0 jsou zpracovávány pomocí argumentu kontinuity.

Aditivní proces

An aditivní proces ${displaystyle {X_ {t}} _ {tgeq 0}}$ (A Cadlag, kontinuální v pravděpodobnosti stochastický proces s nezávislé přírůstky ) má nekonečně dělitelnou distribuci pro všechny ${displaystyle tgeq 0}$. Nechat ${displaystyle {mu _ {t}} _ {tgeq 0}}$ být jeho rodinou nekonečně dělitelného rozdělení.

${displaystyle {mu _ {t}} _ {tgeq 0}}$ splňuje řadu podmínek kontinuity a monotónnosti. Kromě toho, pokud jde o rodinu nekonečně dělitelného rozdělení ${displaystyle {mu _ {t}} _ {tgeq 0}}$ splňuje stejné podmínky kontinuity a monotónnosti, jaké existuje (jednoznačně ze zákona), aditivní proces s touto distribucí ${displaystyle {mu _ {t}} _ {tgeq 0}}$.^[4]

Viz také

• Cramérova věta
• Nerozložitelná distribuce
• Složené Poissonovo rozdělení

Poznámky pod čarou

Reference

• Domínguez-Molina, J. A.; Rocha-Arteaga, A. (2007) „O nekonečné dělitelnosti některých zkosených symetrických distribucí“. Statistika a pravděpodobnostní dopisy, 77 (6), 644–648 doi:10.1016 / j.spl.2006.09.014
• Steutel, F. W. (1979), „Nekonečná dělitelnost v teorii a praxi“ (s diskusí), Scandinavian Journal of Statistics. 6, 57–64.
• Steutel, F. W. a Van Harn, K. (2003), Nekonečná dělitelnost rozdělení pravděpodobnosti na reálné linii (Marcel Dekker).