Faktoriální moment - Factorial moment

v teorie pravděpodobnosti, faktoriální moment je matematická veličina definovaná jako očekávání nebo průměr z klesající faktoriál a náhodná proměnná. Faktorové momenty jsou užitečné pro studium nezáporné celé číslo -hodnocení náhodných proměnných,^[1] a vznikají při používání funkce generující pravděpodobnost odvodit momenty diskrétních náhodných proměnných.

Faktorové momenty slouží jako analytické nástroje v matematické oblasti kombinatoriky, což je studium diskrétních matematických struktur.^[2]

Definice

Pro přirozené číslo $r$ , $r$ -tý faktoriální moment a rozdělení pravděpodobnosti na reálných nebo komplexních číslech, nebo, jinými slovy, a náhodná proměnná $X$ s tímto rozdělením pravděpodobnosti je^[3]

{ displaystyle operatorname {E} { bigl [} (X) _ {r} { bigr]} = operatorname {E} { bigl [} X (X-1) (X-2) cdots ( X-r + 1) { bigr]},}

Kde $E$ je očekávání (operátor ) a

{ displaystyle (x) _ {r}: = underbrace {x (x-1) (x-2) cdots (x-r + 1)} _ {r { text {faktory}}} ekviv frac {x!} {(xr)!}}}

je klesající faktoriál, což vede k názvu, i když notace $(X) r$ se liší v závislosti na matematickém poli. ^[A] Definice samozřejmě vyžaduje, aby očekávání bylo smysluplné, což je případ, pokud $(X) r \geq 0$ nebo $E [| (X) r |] < \infty$ .

Příklady

Poissonovo rozdělení

Pokud je náhodná proměnná $X$ má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, pak faktoriální momenty z $X$ jsou

{ displaystyle operatorname {E} { bigl [} (X) _ {r} { bigr]} = lambda ^ {r},}

které jsou ve srovnání s jeho okamžiky, které zahrnují Stirlingova čísla druhého druhu.

Binomická distribuce

Pokud je náhodná proměnná $X$ má binomická distribuce s pravděpodobností úspěchu $p \in$ $[0,1]$ a počet pokusů $n$ , pak faktoriální momenty z $X$ jsou^[5]

{ displaystyle operatorname {E} { bigl [} (X) _ {r} { bigr]} = { binom {n} {r}} p ^ {r} r! = (n) _ {r } p ^ {r},}

kde podle konvence, ${ displaystyle textstyle { binom {n} {r}}}$ a ${ displaystyle (n) _ {r}}$ jsou chápány jako nula, pokud r > n.

Hypergeometrická distribuce

Pokud je náhodná proměnná $X$ má hypergeometrická distribuce s velikostí populace $N$ , počet úspěšných států $K. \in {0,..., N$ } v populaci a kreslí $n \in {0,..., N$ }, pak faktoriální momenty $X$ jsou ^[5]

{ displaystyle operatorname {E} { bigl [} (X) _ {r} { bigr]} = { frac {{ binom {K} {r}} { binom {n} {r}} r!} { binom {N} {r}}} = { frac {(K) _ {r} (n) _ {r}} {(N) _ {r}}}.}

Beta-binomická distribuce

Pokud je náhodná proměnná $X$ má beta-binomická distribuce s parametry $α > 0$ , $β > 0$ a počet pokusů $n$ , pak faktoriální momenty z $X$ jsou

{ displaystyle operatorname {E} { bigl [} (X) _ {r} { bigr]} = { binom {n} {r}} { frac {B ( alpha + r, beta) r!} {B ( alpha, beta)}} = (n) _ {r} { frac {B ( alpha + r, beta)} {B ( alpha, beta)}}}

Výpočet momentů

The rth raw moment of a random variable X lze vyjádřit pomocí faktorových momentů vzorcem

{ displaystyle operatorname {E} [X ^ {r}] = součet _ {j = 0} ^ {r} doleva {{r nahoře j} doprava } operatorname {E} [(X ) _ {j}],}

kde složené závorky naznačují Stirlingova čísla druhého druhu.

Viz také

Poznámky

^ The Pochhammer symbol $(X) r$ se používá zejména v teorii speciální funkce, k označení klesající faktoriál $X (X - 1)(X - 2) ... (X - r + 1)$ ;.^[4] vzhledem k tomu, že současná notace se používá častěji v kombinatorika.

Reference

^ D. J. Daley a D. Vere-Jones. Úvod do teorie bodových procesů. Sv. Já. Pravděpodobnost a její aplikace (New York). Springer, New York, druhé vydání, 2003
^ Riordan, Johne (1958). Úvod do kombinatorické analýzy. Doveru.
^ Riordan, Johne (1958). Úvod do kombinatorické analýzy. Doveru. str. 30.
^ NIST Digitální knihovna matematických funkcí. Citováno 9. listopadu 2013.
^ ^A ^b Potts, RB (1953). „Poznámka o faktorových momentech standardních distribucí“. Australian Journal of Physics. CSIRO. 6 (4): 498–499. doi:10.1071 / ph530498.

[5] The Pochhammer symbol $(X) r$ se používá zejména v teorii speciální funkce, k označení klesající faktoriál $X (X - 1)(X - 2) ... (X - r + 1)$ ;.^[4] vzhledem k tomu, že současná notace se používá častěji v kombinatorika.

[daleyPPI2003-1] D. J. Daley a D. Vere-Jones. Úvod do teorie bodových procesů. Sv. Já. Pravděpodobnost a její aplikace (New York). Springer, New York, druhé vydání, 2003

[2] Riordan, Johne (1958). Úvod do kombinatorické analýzy. Doveru.

[3] Riordan, Johne (1958). Úvod do kombinatorické analýzy. Doveru. str. 30.

[NIST:DLMF-4] NIST Digitální knihovna matematických funkcí. Citováno 9. listopadu 2013.

[potts1953note-6] A ^b Potts, RB (1953). „Poznámka o faktorových momentech standardních distribucí“. Australian Journal of Physics. CSIRO. 6 (4): 498–499. doi:10.1071 / ph530498.

[1]

[2]

[3]

[A]

[5]

[4]