Model s nulovým nafouknutím - Zero-inflated model

v statistika, a model s nulovým nafouknutím je statistický model na základě nulového nafouknutí rozdělení pravděpodobnosti, tj. distribuce, která umožňuje častá pozorování s nulovou hodnotou.

Nulový nafouknutý Poisson

Jeden známý model s nulovým nafouknutím je Diane Lambert Poissonův model s nulovým nafouknutím, který se týká náhodné události obsahující nadbytek dat nulového počtu v jednotkovém čase.^[1] Například počet pojistné nároky v populaci pro určitý typ rizika by byli nulově nafouknuti lidé, kteří si pojištění proti riziku neuzavřeli, a proto si nemohou nárokovat. Model Poisson (ZIP) s nulovým nafouknutím kombinuje dva procesy generování nuly. První proces generuje nuly. Druhý proces se řídí a Poissonovo rozdělení který generuje počty, z nichž některé mohou být nulové. Směs je popsána následovně:

${ displaystyle Pr (Y = 0) = pi + (1- pi) e ^ {- lambda}}$

${ displaystyle Pr (Y = y_ {i}) = (1- pi) { frac { lambda ^ {y_ {i}} e ^ {- lambda}} {y_ {i}!}}, qquad y_ {i} = 1,2,3, ...}$

kde výsledná proměnná ${ displaystyle y_ {j}}$ má jakoukoli nezápornou celočíselnou hodnotu, ${ displaystyle lambda}$ je očekávaný počet Poissonů pro ${ displaystyle i}$th jednotlivec; ${ displaystyle pi}$ je pravděpodobnost nul navíc.

Průměr je ${ displaystyle (1- pi) lambda}$ a rozptyl je ${ displaystyle lambda (1- pi) (1+ pi lambda)}$.

Odhady parametrů ZIP

Metoda odhadů momentů je dána vztahem^[2]

${ displaystyle { hat { lambda}} _ {mo} = { frac {s ^ {2} + m ^ {2}} {m}} - 1,}$

${ displaystyle { hat { pi}} _ {mo} = { frac {s ^ {2} -m} {s ^ {2} + m ^ {2} -m}},}$

kde ${ displaystyle m}$ je průměr vzorku a ${ displaystyle s ^ {2}}$ je rozptyl vzorku.

Odhad maximální pravděpodobnosti^[3] lze najít řešením následující rovnice

${ displaystyle m (1-e ^ {- { hat { lambda}} _ {ml}}) = { hat { lambda}} _ {ml} left (1 - { frac {n_ {0 }} {n}} vpravo).}$

kde ${ displaystyle { frac {n_ {0}} {n}}}$ je pozorovaný podíl nul.

Uzavřené řešení této rovnice je dáno vztahem^[4]

${ displaystyle { hat { lambda}} _ {ml} = W_ {0} (- se ^ {- s}) + s}$

s ${ displaystyle W_ {0}}$ je hlavní větev Lambertovy W-funkce^[5] a

${ displaystyle s = { frac {m} {1 - { frac {n_ {0}} {n}}}}}$.

Alternativně lze rovnici vyřešit iterací^[6].

Odhad maximální pravděpodobnosti pro ${ displaystyle pi}$ darováno

${ displaystyle { hat { pi}} _ {ml} = 1 - { frac {m} {{ hat { lambda}} _ {ml}}}.}$

Související modely

1994 Greene považoval za nafouknutý negativní binomický (ZINB) model.^[7] Daniel B. Hall přizpůsobil Lambertovu metodiku situaci s horním ohraničením, čímž získal model binomický s nulovým nafouknutím (ZIB).^[8]

Diskrétní pseudonosný Poissonův model

Pokud jsou údaje o počtu ${ displaystyle Y}$ je taková, že pravděpodobnost nuly je větší než pravděpodobnost nenulové, jmenovitě

${ displaystyle Pr (Y = 0)> 0,5}$

pak diskrétní data ${ displaystyle Y}$ poslouchat diskrétní pseudo složené Poissonovo rozdělení.^[9]

Vlastně nechte ${ displaystyle G (z) = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} P (Y = n) z ^ {n}}$ být funkce generující pravděpodobnost z ${ displaystyle y_ {i}}$. Li ${ displaystyle p_ {0} = Pr (Y = 0)> 0,5}$, pak ${ displaystyle | G (z) | geqslant p_ {0} - součet limity _ {i = 1} ^ { infty} p_ {i} = 2p_ {0} -1> 0}$. Pak z Věta Wiener – Lévy,^[10] ${ displaystyle G (z)}$ má funkce generující pravděpodobnost diskrétního pseudo složené Poissonovo rozdělení.

Říkáme, že diskrétní náhodná proměnná ${ displaystyle Y}$ uspokojující funkce generující pravděpodobnost charakterizace

${ displaystyle G_ {Y} (z) = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} P (Y = n) z ^ {n} = exp vlevo ( součet _ {k = 1 } ^ { infty} alpha _ {k} lambda (z ^ {k} -1) vpravo), quad (| z | leq 1)}$

má diskrétní pseudo složené Poissonovo rozdělení s parametry

${ displaystyle ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots) = ( alpha _ {1} lambda, alpha _ {2} lambda, ldots) in mathbb {R } ^ { infty} left ( sum _ {k = 1} ^ { infty} alpha _ {k} = 1, sum limits _ {k = 1} ^ { infty} | alpha _ {k} | < infty, alpha _ {k} in mathbb {R}, lambda> 0 right).}$

Když všechny ${ displaystyle alpha _ {k}}$ jsou nezáporné, je to diskrétní složené Poissonovo rozdělení (non-Poissonův případ) s nadměrný rozptyl vlastnictví.

Viz také

• Poissonovo rozdělení
• Nulové zkrácené Poissonovo rozdělení
• Složené Poissonovo rozdělení
• Řídká aproximace
• Překážkový model

Software

• pscl a brms Balíčky R.

Reference