Distribuce chí-kvadrát - Chi-square distribution

chi-square

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Zápis	${ displaystyle chi ^ {2} (k) ;}$ nebo ${ displaystyle chi _ {k} ^ {2} !}$
Parametry	${ displaystyle k in mathbb {N} ^ {*} ~~}$ (známé jako „stupně volnosti“)
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (0, + infty) ;}$ -li ${ displaystyle k = 1}$, v opačném případě ${ displaystyle x v [0, + infty) ;}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2 ^ {k / 2} gama (k / 2)}} ; x ^ {k / 2-1} e ^ {- x / 2} ;}$
CDF	${ displaystyle { frac {1} { Gamma (k / 2)}} ; gamma vlevo ({ frac {k} {2}}, , { frac {x} {2}} že jo);}$
Znamenat	${ displaystyle k}$
Medián	${ displaystyle cca k { bigg (} 1 - { frac {2} {9k}} { bigg)} ^ {3} ;}$
Režim	${ displaystyle max (k-2,0) ;}$
Rozptyl	${ displaystyle 2k ;}$
Šikmost	${ displaystyle { sqrt {8 / k}} ,}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {12} {k}}}$
Entropie	${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {k} {2}} & + ln (2 Gamma ({ frac {k} {2}})) & ! + (1- { frac {k} {2}}) psi ({ frac {k} {2}}) end {zarovnáno}}}$
MGF	${ displaystyle (1-2t) ^ {- k / 2} { text {pro}} t <{ frac {1} {2}} ;}$
CF	${ displaystyle (1-2it) ^ {- k / 2}}$      [1]
PGF	${ displaystyle (1-2 ln t) ^ {- k / 2} { text {pro}} 0$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, distribuce chí-kvadrát (taky chi-kvadrát nebo χ²-rozdělení) s k stupně svobody je distribuce součtu čtverců k nezávislý standardní normální náhodné proměnné. Distribuce chí-kvadrát je zvláštním případem gama distribuce a je jedním z nejpoužívanějších rozdělení pravděpodobnosti v inferenční statistiky, zejména v testování hypotéz a ve výstavbě intervaly spolehlivosti.^[2][3][4][5] Tato distribuce se někdy nazývá centrální distribuce chí-kvadrát, speciální případ obecnější necentrální distribuce chí-kvadrát.

Distribuce chí-kvadrát se používá běžně testy chí-kvadrát pro dobrota fit pozorované distribuce na teoretickou, nezávislost dvou kritérií klasifikace kvalitativní údaje a odhad intervalu spolehlivosti pro populaci standardní odchylka normálního rozdělení od standardní směrodatné odchylky. Mnoho dalších statistických testů také používá tuto distribuci, jako například Friedmanova analýza rozptylu podle řad.

Definice

Li Z₁, ..., Z_k jsou nezávislý, standardní normální náhodné proměnné, pak součet jejich čtverců,

${ displaystyle Q = součet _ {i = 1} ^ {k} Z_ {i} ^ {2},}$

je distribuován podle chí-kvadrát distribuce s k stupně svobody. To se obvykle označuje jako

${ displaystyle Q sim chi ^ {2} (k) { text {nebo}} Q sim chi _ {k} ^ {2}.}$

Distribuce chí-kvadrát má jeden parametr: kladné celé číslo k který určuje počet stupně svobody (počet Z_i s).

Úvod

Distribuce chí-kvadrát se používá především při testování hypotéz a v menší míře pro intervaly spolehlivosti pro rozptyl populace, když je základní distribuce normální. Na rozdíl od více známých distribucí, jako je normální distribuce a exponenciální rozdělení „distribuce chí-kvadrát se při přímém modelování přírodních jevů tak často nepoužívá. Vzniká mimo jiné v následujících testech hypotéz:

• Test chí-kvadrát nezávislosti v kontingenční tabulky
• Test chí-kvadrát dobré shody pozorovaných dat s hypotetickým rozdělením
• Test poměru pravděpodobnosti pro vnořené modely
• Log-rank test v analýze přežití
• Cochran – Mantel – Haenszelův test pro stratifikované pohotovostní tabulky

Je to také součást definice t-distribuce a F-distribuce použitý v t-testech, analýze rozptylu a regresní analýze.

Primárním důvodem, proč se při testování hypotéz ve velké míře používá rozdělení chí-kvadrát, je jeho vztah k normálnímu rozdělení. Mnoho testů hypotéz používá statistiku testů, například t-statistika v t-testu. U těchto testů hypotéz, jak se zvyšuje velikost vzorku, n, se zvyšuje Distribuce vzorků zkušební statistiky se blíží normálnímu rozdělení (teorém centrálního limitu ). Protože statistika testu (například t) je asymptoticky normálně rozdělena, za předpokladu, že velikost vzorku je dostatečně velká, může být distribuce použitá pro testování hypotéz aproximována normálním rozdělením. Testování hypotéz pomocí normálního rozdělení je dobře srozumitelné a relativně snadné. Nejjednodušší rozdělení chí-kvadrát je čtverec standardního normálního rozdělení. Takže kdekoli lze pro test hypotézy použít normální rozdělení, lze použít rozdělení chí-kvadrát.

Předpokládejme to ${ displaystyle Z}$ je náhodná proměnná vzorkovaná ze standardního normálního rozdělení, kde se střední hodnota rovná ${ displaystyle 0}$ a rozptyl se rovná ${ displaystyle 1}$: ${ displaystyle Z sim N (0,1)}$. Nyní zvažte náhodnou proměnnou ${ displaystyle Q = Z ^ {2}}$. Rozdělení náhodné proměnné ${ displaystyle Q}$ je příklad rozdělení chí-kvadrát: ${ displaystyle Q sim chi _ {1} ^ {2}.}$ Dolní index 1 naznačuje, že toto konkrétní rozdělení chí-kvadrát je konstruováno pouze z 1 standardního normálního rozdělení. O rozdělení chí-kvadrát vytvořeném druhou mocninou normálního normálního rozdělení se říká, že má 1 stupeň volnosti. Jak se tedy zvyšuje velikost vzorku pro test hypotézy, distribuce statistik testu se blíží normálnímu rozdělení. Stejně jako extrémní hodnoty normálního rozdělení mají nízkou pravděpodobnost (a dávají malé hodnoty p), extrémní hodnoty rozdělení chí-kvadrát mají nízkou pravděpodobnost.

Dalším důvodem, proč je distribuce chí-kvadrát široce používána, je to, že se ukazuje jako velká distribuce vzorku generalizované testy poměru pravděpodobnosti (LRT).^[6] LRT mají několik žádoucích vlastností; zejména jednoduché LRT obvykle poskytují nejvyšší sílu k odmítnutí nulové hypotézy (Neymanovo – Pearsonovo lemma ) a to také vede k optimálním vlastnostem generalizovaných LRT. Normální aproximace chí-kvadrát jsou však platné pouze asymptoticky. Z tohoto důvodu je pro malou velikost vzorku výhodnější použít t rozdělení než normální aproximaci nebo chí-kvadrátovou aproximaci. Podobně v analýzách kontingenčních tabulek bude chí-kvadrátová aproximace špatná pro malou velikost vzorku a je vhodnější použít Fisherův přesný test. Ramsey ukazuje, že přesně binomický test je vždy silnější než normální aproximace.^[7]

Lancaster ukazuje spojení mezi binomickým, normálním a chí-kvadrátovým rozdělením následujícím způsobem.^[8] De Moivre a Laplace zjistili, že binomické rozdělení lze aproximovat normálním rozdělením. Konkrétně ukázaly asymptotickou normalitu náhodné proměnné

${ displaystyle chi = {m-Np nad { sqrt {Npq}}}}$

kde ${ displaystyle m}$ je pozorovaný počet úspěchů v ${ displaystyle N}$ pokusy, kde je pravděpodobnost úspěchu ${ displaystyle p}$, a ${ displaystyle q = 1-p}$.

Srovnání obou stran rovnice dává

${ displaystyle chi ^ {2} = {(m-Np) ^ {2} přes Npq}}$

Použitím ${ displaystyle N = Np + N (1-p)}$, ${ displaystyle N = m + (N-m)}$, a ${ displaystyle q = 1-p}$, tato rovnice se zjednodušuje na

${ displaystyle chi ^ {2} = {(m-Np) ^ {2} přes Np} + {(N-m-Nq) ^ {2} přes Nq}}$

Výraz vpravo má tvar Karl Pearson by zobecnit do formy:

${ displaystyle chi ^ {2} = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac {(O_ {i} -E_ {i}) ^ {2}} {E_ {i}}}}$

kde

${ displaystyle chi ^ {2}}$ = Pearsonova kumulativní statistika testu, která se asymptoticky blíží a ${ displaystyle chi ^ {2}}$ rozdělení.

${ displaystyle O_ {i}}$ = počet pozorování typu ${ displaystyle i}$.

${ displaystyle E_ {i} = Np_ {i}}$ = očekávaná (teoretická) frekvence typu ${ displaystyle i}$, tvrdil nulovou hypotézou, že zlomek typu ${ displaystyle i}$ v populaci je ${ displaystyle p_ {i}}$

${ displaystyle n}$ = počet buněk v tabulce.

V případě binomického výsledku (převrácení mince) lze binomické rozdělení aproximovat normálním rozdělením (pro dostatečně velké ${ displaystyle n}$). Protože druhou mocninou standardního normálního rozdělení je rozdělení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti, lze pravděpodobnost výsledku, jako je 1 hlava v 10 pokusech, aproximovat buď přímým použitím normální distribuce, nebo normalizovaný čtvercový rozdíl mezi pozorovanou a očekávanou hodnotou. Mnoho problémů však zahrnuje více než dva možné výsledky binomia a místo toho vyžaduje 3 nebo více kategorií, což vede k multinomiální distribuci. Stejně jako de Moivre a Laplace hledali a našli normální aproximaci k binomii, Pearson hledal a našel zdegenerovanou vícerozměrnou normální aproximaci k multinomickému rozdělení (čísla v každé kategorii se sčítají s celkovou velikostí vzorku, která se považuje za pevnou) . Pearson ukázal, že rozdělení chí-kvadrát vzniklo z takového vícerozměrného normálního přiblížení k multinomickému rozdělení, přičemž pečlivě zohlednil statistickou závislost (negativní korelace) mezi počty pozorování v různých kategoriích. ^[8]

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) distribuce chí-kvadrát je

${ displaystyle f (x; , k) = { begin {cases} { dfrac {x ^ {{ frac {k} {2}} - 1} e ^ {- { frac {x} {2 }}}} {2 ^ { frac {k} {2}} Gamma left ({ frac {k} {2}} right)}}, & x> 0; 0, & { text {jinak}}. end {případy}}}$

kde ${ textstyle Gamma (k / 2)}$ označuje funkce gama, který má hodnoty uzavřeného formuláře pro celé číslo ${ displaystyle k}$.

Pro odvození souboru PDF v případě jedné, dvou a ${ displaystyle k}$ stupně volnosti, viz Důkazy týkající se distribuce chí-kvadrát.

Funkce kumulativní distribuce

Černoff směřoval k CDF a ocas (1-CDF) náhodné proměnné chí-kvadrát s deseti stupni volnosti (${ displaystyle k}$ = 10)

Své kumulativní distribuční funkce je:

${ displaystyle F (x; , k) = { frac { gamma ({ frac {k} {2}}, , { frac {x} {2}})}} { Gamma ({ frac {k} {2}})}} = P left ({ frac {k} {2}}, , { frac {x} {2}} right),}$

kde ${ displaystyle gamma (s, t)}$ je nižší neúplná funkce gama a ${ textový styl P (s, t)}$ je regularizovaná funkce gama.

Ve zvláštním případě ${ displaystyle k}$ = 2 tato funkce má jednoduchý tvar:^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle F (x; , 2) = 1-e ^ {- x / 2}}$

a celočíselné opakování funkce gama usnadňuje výpočet pro jiné malé sudé ${ displaystyle k}$.

Tabulky kumulativní distribuční funkce chí-kvadrát jsou široce dostupné a tato funkce je zahrnuta v mnoha tabulky a všechno statistické balíčky.

Pronájem ${ displaystyle z equiv x / k}$, Černoffovy hranice na dolním a horním konci CDF.^[9] Pro případy, kdy ${ displaystyle 0$ (které zahrnují všechny případy, kdy je tento CDF menší než polovina):

${ displaystyle F (zk; , k) leq (ze ^ {1-z}) ^ {k / 2}.}$

Ocas vázán pro případy, kdy ${ displaystyle z> 1}$podobně je

${ displaystyle 1-F (zk; , k) leq (ze ^ {1-z}) ^ {k / 2}.}$

Pro další přiblížení pro CDF po vzoru krychle Gaussian, viz pod Noncentral chi-square distribucí.

Vlastnosti

Součet čtverců normálů i.i.d minus jejich průměr

Li Z₁, ..., Z_k jsou nezávislý, standardní normální náhodné proměnné

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} (Z_ {i} - { overline {Z}}) ^ {2} sim chi _ {k-1} ^ {2}}$

kde

${ displaystyle { overline {Z}} = { frac {1} {k}} sum _ {i = 1} ^ {k} Z_ {i}.}$

Aditivita

Z definice rozdělení chí-kvadrát vyplývá, že součet nezávislých proměnných chí-kvadrát je také distribuován na chí-kvadrát. Konkrétně pokud ${ displaystyle X_ {i}, i = { overline {1, n}}}$ jsou nezávislé chí-kvadrát proměnné s ${ displaystyle k_ {i}}$, ${ displaystyle i = { overline {1, n}}}$ stupně volnosti ${ displaystyle Y = X_ {1} + ... + X_ {n}}$ je chi-square distribuován s ${ displaystyle k_ {1} + ... + k_ {n}}$ stupně svobody.

Průměrný vzorek

Průměr vzorku z ${ displaystyle n}$ i.i.d. chí-kvadrát proměnné stupně ${ displaystyle k}$ je distribuován podle gama rozdělení s tvarem ${ displaystyle alpha}$ a měřítko ${ displaystyle theta}$ parametry:

${ displaystyle { overline {X}} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} sim operatorname {Gamma} left ( alpha = n , k / 2, theta = 2 / n doprava) qquad { text {kde}} X_ {i} sim chi ^ {2} (k)}$

Asymptoticky, vzhledem k tomu, že pro parametr měřítka ${ displaystyle alpha}$ jde do nekonečna, rozdělení gama konverguje k normálnímu rozdělení s očekáváním ${ displaystyle mu = alpha cdot theta}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2} = alfa , theta ^ {2}}$, vzorkový průměr konverguje k:

${ displaystyle { overline {X}} { xrightarrow {n to infty}} N ( mu = k, sigma ^ {2} = 2 , k / n)}$

Všimněte si, že bychom získali stejný výsledek vyvoláním místo teorém centrálního limitu s tím, že pro každou chí-kvadrát proměnnou stupně ${ displaystyle k}$ očekávání je ${ displaystyle k}$ a jeho rozptyl ${ displaystyle 2 , k}$ (a tudíž rozptyl průměru vzorku ${ displaystyle { overline {X}}}$ bytost ${ displaystyle sigma ^ {2} = { frac {2k} {n}}}$).

Entropie

The diferenciální entropie darováno

${ displaystyle h = int _ {0} ^ { infty} f (x; , k) ln f (x; , k) , dx = { frac {k} {2}} + ln left [2 , Gamma left ({ frac {k} {2}} right) right] + left (1 - { frac {k} {2}} right) , psi ! vlevo [{ frac {k} {2}} vpravo],}$

kde ψ(X) je Funkce digamma.

Distribuce chí-kvadrát je maximální rozdělení pravděpodobnosti entropie pro náhodnou variaci ${ displaystyle X}$ pro který ${ displaystyle operatorname {E} (X) = k}$ a ${ displaystyle operatorname {E} ( ln (X)) = psi (k / 2) + ln (2)}$ jsou opraveny. Vzhledem k tomu, že chí-kvadrát je v rodině gama distribucí, lze to odvodit nahrazením příslušných hodnot v Očekávání log momentu gama. Pro odvození od více základních principů viz odvození v momentotvorná funkce dostatečné statistiky.

Noncentral momenty

Momenty o nule distribuce chí-kvadrát s ${ displaystyle k}$ stupně volnosti jsou dány^[10][11]

${ displaystyle operatorname {E} (X ^ {m}) = k (k + 2) (k + 4) cdots (k + 2m-2) = 2 ^ {m} { frac { gama vlevo (m + { frac {k} {2}} vpravo)} { Gamma vlevo ({ frac {k} {2}} vpravo)}}}$

Kumulanty

The kumulanty jsou snadno získány (formálním) rozšířením výkonové řady logaritmu charakteristické funkce:

${ displaystyle kappa _ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! , k}$

Asymptotické vlastnosti

Přibližný vzorec pro medián (z transformace Wilson-Hilferty) ve srovnání s numerickým kvantilem (nahoře); a rozdíl (modrý) a relativní rozdíl (červený) mezi numerickým kvantilem a přibližným vzorcem (dole). Pro distribuci chí-kvadrát má smysl pouze kladné celé číslo stupňů volnosti (kruhy).

Podle teorém centrálního limitu, protože rozdělení chí-kvadrát je součet ${ displaystyle k}$ nezávislé náhodné proměnné s konečným průměrem a rozptylem, konverguje k normálnímu rozdělení pro velké ${ displaystyle k}$. Pro mnoho praktických účelů, pro ${ displaystyle k> 50}$ distribuce je dostatečně blízká a normální distribuce rozdíl bude ignorován.^[12] Konkrétně pokud ${ displaystyle X sim chi ^ {2} (k)}$, pak jako ${ displaystyle k}$ inklinuje k nekonečnu, distribuce ${ displaystyle (X-k) / { sqrt {2k}}}$ inklinuje na standardní normální rozdělení. Konvergence je však pomalá šikmost je ${ displaystyle { sqrt {8 / k}}}$ a nadměrná špičatost je ${ displaystyle 12 / k}$.

Distribuce vzorkování ${ displaystyle ln ( chi ^ {2})}$ konverguje k normálnosti mnohem rychleji než distribuce vzorkování ${ displaystyle chi ^ {2}}$,^[13] protože logaritmus odstraňuje velkou část asymetrie.^[14] Další funkce distribuce chí-kvadrát konvergují rychleji k normálnímu rozdělení. Některé příklady jsou:

• Li ${ displaystyle X sim chi ^ {2} (k)}$ pak ${ displaystyle { sqrt {2X}}}$ je přibližně normálně distribuován se střední hodnotou ${ displaystyle { sqrt {2k-1}}}$ a jednotková odchylka (1922, podle R. A. Fisher, viz (18.23), s. 426 Johnson.^[4]
• Li ${ displaystyle X sim chi ^ {2} (k)}$ pak ${ displaystyle { sqrt [{3}] {X / k}}}$ je přibližně normálně distribuován se střední hodnotou ${ displaystyle 1 - { frac {2} {9k}}}$ a rozptyl ${ displaystyle { frac {2} {9k}}.}$^[15] Toto se nazývá Wilsonova-Hilfertyova transformace, viz (18.24), str. 426 Johnson.^[4]
  • Tato normalizační transformace vede přímo k běžně používané střední aproximaci ${ displaystyle k { bigg (} 1 - { frac {2} {9k}} { bigg)} ^ {3} ;}$ zpětnou transformací ze střední hodnoty normálního rozdělení, což je také medián.

Související distribuce

Tato sekce potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. (Září 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Tak jako ${ displaystyle k to infty}$, ${ displaystyle ( chi _ {k} ^ {2} -k) / { sqrt {2k}} ~ { xrightarrow {d}} N (0,1) ,}$ (normální distribuce )
• ${ displaystyle chi _ {k} ^ {2} sim { chi '} _ {k} ^ {2} (0)}$ (necentrální distribuce chí-kvadrát s parametrem necentrality ${ displaystyle lambda = 0}$)
• Li ${ displaystyle Y sim mathrm {F} ( nu _ {1}, nu _ {2})}$ pak ${ displaystyle X = lim _ { nu _ {2} až infty} nu _ {1} Y}$ má distribuci chí-kvadrát ${ displaystyle chi _ { nu _ {1}} ^ {2}}$

• Jako zvláštní případ, pokud ${ displaystyle Y sim mathrm {F} (1, nu _ {2}) ,}$ pak ${ displaystyle X = lim _ { nu _ {2} až infty} Y ,}$ má distribuci chí-kvadrát ${ displaystyle chi _ {1} ^ {2}}$

• ${ displaystyle | { boldsymbol {N}} _ {i = 1, ldots, k} (0,1) | ^ {2} sim chi _ {k} ^ {2}}$ (Na druhou norma z k standardní normálně distribuované proměnné je distribuce chí-kvadrát s k stupně svobody )
• Li ${ displaystyle X sim chi ^ {2} ( nu) ,}$ a ${ displaystyle c> 0 ,}$, pak ${ Displaystyle CX sim Gamma (k = nu / 2, theta = 2c) ,}$. (gama distribuce )
• Li ${ displaystyle X sim chi _ {k} ^ {2}}$ pak ${ displaystyle { sqrt {X}} sim chi _ {k}}$ (distribuce chi )
• Li ${ displaystyle X sim chi ^ {2} (2)}$, pak ${ displaystyle X sim operatorname {Exp} (1/2)}$ je exponenciální rozdělení. (Vidět gama distribuce více.)
• Li ${ displaystyle X sim chi ^ {2} (2k)}$, pak ${ displaystyle X sim operatorname {Erlang} (k, 1/2)}$ je Erlang distribuce.
• Li ${ displaystyle X sim operatorname {Erlang} (k, lambda)}$, pak ${ displaystyle 2 lambda X sim chi _ {2k} ^ {2}}$
• Li ${ displaystyle X sim operatorname {Rayleigh} (1) ,}$ (Rayleighova distribuce ) pak ${ displaystyle X ^ {2} sim chi ^ {2} (2) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim operatorname {Maxwell} (1) ,}$ (Maxwellova distribuce ) pak ${ displaystyle X ^ {2} sim chi ^ {2} (3) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim chi ^ {2} ( nu)}$ pak ${ displaystyle { tfrac {1} {X}} sim operatorname {Inv-} chi ^ {2} ( nu) ,}$ (Distribuce inverzně-chi-kvadrát )
• Distribuce chí-kvadrát je speciální případ typu III Pearsonova distribuce
• Li ${ displaystyle X sim chi ^ {2} ( nu _ {1}) ,}$ a ${ displaystyle Y sim chi ^ {2} ( nu _ {2}) ,}$ jsou pak nezávislé ${ displaystyle { tfrac {X} {X + Y}} sim operatorname {Beta} ({ tfrac { nu _ {1}} {2}}, { tfrac { nu _ {2}} {2}}) ,}$ (beta distribuce )
• Li ${ displaystyle X sim operatorname {U} (0,1) ,}$ (rovnoměrné rozdělení ) pak ${ displaystyle -2 log (X) sim chi ^ {2} (2) ,}$
• ${ displaystyle chi ^ {2} (6) ,}$ je transformace Laplaceova distribuce
• Li ${ displaystyle X_ {i} sim operatorname {Laplace} ( mu, beta) ,}$ pak ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {2 | X_ {i} - mu |} { beta}} sim chi ^ {2} (2n) ,}$
• Li ${ displaystyle X_ {i}}$ následuje zobecněné normální rozdělení (verze 1) s parametry ${ displaystyle mu, alfa, beta}$ pak ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {2 | X_ {i} - mu | ^ { beta}} { alpha}} sim chi ^ {2} vlevo ({ frac {2n} { beta}} vpravo) ,}$ ^[16]
• chi-square distribuce je transformace Paretova distribuce
• Studentova t-distribuce je transformace distribuce chí-kvadrát
• Studentova t-distribuce lze získat z distribuce chí-kvadrát a normální distribuce
• Noncentrální beta distribuce lze získat jako transformaci chí-kvadrát distribuce a Noncentrální distribuce chí-kvadrát
• Noncentrální t-distribuce lze získat z normálního rozdělení a rozdělení chí-kvadrát

Chí-kvadrát proměnná s ${ displaystyle k}$ stupně volnosti jsou definovány jako součet čtverců ${ displaystyle k}$ nezávislý standardní normální náhodné proměnné.

Li ${ displaystyle Y}$ je ${ displaystyle k}$-rozměrný Gaussův náhodný vektor se středním vektorem ${ displaystyle mu}$ a pořadí ${ displaystyle k}$ kovarianční matice ${ displaystyle C}$, pak ${ displaystyle X = (Y- mu) ^ {T} C ^ {- 1} (Y- mu)}$ je chi-square distribuován s ${ displaystyle k}$ stupně svobody.

Součet čtverců statisticky nezávislé unit-variance Gaussovské proměnné, které ano ne mít střední nulové výnosy zobecnění distribuce chí-kvadrátu zvané necentrální distribuce chí-kvadrát.

Li ${ displaystyle Y}$ je vektorem ${ displaystyle k}$ i.i.d. standardní normální náhodné proměnné a ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle k krát k}$ symetrický, idempotentní matice s hodnost ${ displaystyle k-n}$, pak kvadratická forma ${ displaystyle Y ^ {T} AY}$ je chi-square distribuován s ${ displaystyle k-n}$ stupně svobody.

Li ${ displaystyle Sigma}$ je ${ Displaystyle p krát p}$ pozitivně semidefinitní kovarianční matice s přísně pozitivními diagonálními položkami, pak pro ${ displaystyle X sim N (0, Sigma)}$ a ${ displaystyle w}$ náhodný ${ displaystyle p}$-vektor nezávislý na ${ displaystyle X}$ takhle ${ displaystyle w_ {1} + cdots + w_ {p} = 1}$ a ${ displaystyle w_ {i} geq 0, i = 1, cdots, p,}$ to platí

${ displaystyle { frac {1} { left ({ frac {w_ {1}} {X_ {1}}}, cdots, { frac {w_ {p}} {X_ {p}}}} vpravo) Sigma vlevo ({ frac {w_ {1}} {X_ {1}}}, cdots, { frac {w_ {p}} {X_ {p}}} vpravo) ^ { nahoru }}} sim chi _ {1} ^ {2}.}$^[14]

Distribuce chí-kvadrát také přirozeně souvisí s jinými distribucemi vyplývajícími z Gaussian. Zejména,

• ${ displaystyle Y}$ je F-distribuováno, ${ displaystyle Y sim F (k_ {1}, k_ {2})}$ -li ${ displaystyle Y = { frac {{X_ {1}} / {k_ {1}}} {{X_ {2}} / {k_ {2}}}}}$, kde ${ displaystyle X_ {1} sim chi ^ {2} (k_ {1})}$ a ${ displaystyle X_ {2} sim chi ^ {2} (k_ {2})}$ jsou statisticky nezávislé.
• Li ${ displaystyle X_ {1} sim chi ^ {2} (k_ {1})}$ a ${ displaystyle X_ {2} sim chi ^ {2} (k_ {2})}$ jsou tedy statisticky nezávislé ${ displaystyle X_ {1} + X_ {2} sim chi ^ {2} (k_ {1} + k_ {2})}$. Li ${ displaystyle X_ {1}}$ a ${ displaystyle X_ {2}}$ nejsou tedy nezávislí ${ displaystyle X_ {1} + X_ {2}}$ není distribuován chí-kvadrát.

Zobecnění

Distribuce chí-kvadrát se získá jako součet čtverců z k nezávislé gaussovské náhodné proměnné s nulovou střední hodnotou a jednotkovou variací. Zevšeobecnění tohoto rozdělení lze získat sečtením čtverců jiných typů Gaussových náhodných proměnných. Několik takových distribucí je popsáno níže.

Lineární kombinace

Li ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ jsou chi kvadrát náhodné proměnné a ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n} in mathbb {R} _ {> 0}}$, pak uzavřený výraz pro distribuci ${ displaystyle X = součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X_ {i}}$ není známo. Lze jej však efektivně aproximovat pomocí vlastnost charakteristických funkcí chí-kvadrát náhodných proměnných.^[17]

Distribuce chí-kvadrát

Noncentrální distribuce chí-kvadrát

Noncentrální rozdělení chí-kvadrát se získá ze součtu čtverců nezávislých Gaussových náhodných proměnných, které mají jednotkovou rozptyl a nenulové prostředek.

Zobecněná distribuce chí-kvadrát

Zobecněné rozdělení chí-kvadrát se získá z kvadratické formy z'Az kde z je nulový průměr Gaussova vektoru s libovolnou kovarianční maticí a A je libovolná matice.

Gama, exponenciální a související distribuce

Distribuce chí-kvadrát ${ displaystyle X sim chi _ {k} ^ {2}}$ je zvláštní případ gama distribuce, v tomto ${ displaystyle X sim Gamma vlevo ({ frac {k} {2}}, { frac {1} {2}} vpravo)}$ pomocí parametrizace rychlosti distribuce gama (nebo${ displaystyle X sim Gamma vlevo ({ frac {k} {2}}, 2 vpravo)}$ pomocí parametrizace měřítka rozdělení gama) kde k je celé číslo.

Protože exponenciální rozdělení je také speciální případ distribuce gama, máme také to, pokud ${ displaystyle X sim chi _ {2} ^ {2}}$, pak ${ displaystyle X sim operatorname {Exp} left ({ frac {1} {2}} right)}$ je exponenciální rozdělení.

The Erlang distribuce je také speciální případ distribuce gama, a tedy máme také to, pokud ${ displaystyle X sim chi _ {k} ^ {2}}$ se sudým ${ displaystyle { text {k}}}$, pak ${ displaystyle { text {X}}}$ je Erlang distribuován s parametrem tvaru ${ displaystyle { text {k}} / 2}$ a měřítko parametru ${ displaystyle 1/2}$.

Výskyt a aplikace

Distribuce chí-kvadrát má četné aplikace inferenciální statistika, například v testy chí-kvadrát a při odhadování odchylky. Zadává problém odhadu průměru normálně distribuované populace a problém odhadu sklonu a regrese linka prostřednictvím své role v Studentova t-distribuce. Vstupuje do všeho analýza rozptylu problémy prostřednictvím své role v EU F-distribuce, což je rozdělení poměru dvou nezávislých chí-kvadrátů náhodné proměnné, každý děleno příslušnými stupni volnosti.

Následuje několik nejběžnějších situací, ve kterých distribuce chí-kvadrátu vychází z Gaussova distribuovaného vzorku.

• -li ${ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}}$ jsou i.i.d. ${ displaystyle N ( mu, sigma ^ {2})}$ náhodné proměnné, pak ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - { overline {X}}) ^ {2} sim sigma ^ {2} chi _ {n-1} ^ {2}}$ kde ${ displaystyle { overline {X}} = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$.
• Pole níže ukazuje některé statistika na základě ${ displaystyle X_ {i} sim N ( mu _ {i}, sigma _ {i} ^ {2}), i = { overline {1, k}}}$ nezávislé náhodné proměnné, které mají rozdělení pravděpodobnosti související s distribucí chí-kvadrát:

název	Statistický
distribuce chí-kvadrát	${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {2} }$
necentrální distribuce chí-kvadrát	${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {2}}$
distribuce chi	${ displaystyle { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {2}}}}$
necentrální distribuce chi	${ displaystyle { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {2}}}}$

S distribucí chí-kvadrát se také často setkáváme magnetická rezonance.^[18]

Výpočtové metody

Tabulka χ² hodnoty vs. p-hodnoty

The p-hodnota je pravděpodobnost dodržení statistiky testu alespoň jako extrém v distribuci chí-kvadrát. Proto, protože kumulativní distribuční funkce (CDF) pro příslušné stupně volnosti (df) udává pravděpodobnost získání hodnoty méně extrémní než tento bod, odečtením hodnoty CDF od 1 získá p-hodnota. Nízká phodnota označuje pod zvolenou úrovní významnosti statistická významnost, tj. dostatečné důkazy pro odmítnutí nulové hypotézy. Hladina významnosti 0,05 se často používá jako mezní hodnota mezi významnými a nevýznamnými výsledky.

Níže uvedená tabulka uvádí řadu p-hodnoty odpovídající ${ displaystyle chi ^ {2}}$ pro prvních 10 stupňů volnosti.

Stupně svobody (df)	${ displaystyle chi ^ {2}}$ hodnota[19]
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
Hodnota P (pravděpodobnost)	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001

Tyto hodnoty lze vypočítat na základě vyhodnocení kvantilová funkce (také známý jako „inverzní CDF“ nebo „ICDF“) distribuce chí-kvadrát;^[20] E. např χ² ICDF pro p = 0.05 a df = 7 výnosy 14.06714 ≈ 14.07 jako v tabulce výše.

Dějiny

Toto rozdělení poprvé popsal německý statistik Friedrich Robert Helmert v novinách 1875–6,^[21][22] kde vypočítal rozdělení vzorkování rozptylu vzorků normální populace. V němčině to tedy bylo tradičně známé jako Helmert'sche („Helmertian“) nebo „Helmertova distribuce“.

Distribuci nezávisle znovu objevil anglický matematik Karl Pearson v kontextu dobrota fit, pro které vyvinul svůj Pearsonův test chí-kvadrát, publikované v roce 1900, s vypočítanou tabulkou hodnot publikovanou v (Elderton 1902 ), shromážděné v (Pearson 1914, s. xxxi – xxxiii, 26–28, tabulka XII) chyba harv: žádný cíl: CITEREFPearson1914 (Pomoc)Název „chí-square“ se nakonec odvozuje od Pearsonovy zkratky pro exponenta v a vícerozměrné normální rozdělení s řeckým dopisem Chi, psaní − ½χ² protože to, co by se v moderní notaci objevilo jako −½X^TΣ⁻¹X (Σ být kovarianční matice ).^[23] Myšlenka rodiny „distribucí chí-kvadrát“ však není způsobena Pearsonem, ale vznikla jako další vývoj díky Fisherovi ve 20. letech 20. století.^[21]

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Nejčasnější použití některých slov matematiky: vstup do Chi na druhou má krátkou historii
• Poznámky k kurzu na téma Chi-Squared Goodness of Fit Testing ze třídy statistiky Yale University 101.
• Mathematica demonstrace ukazující distribuci vzorkování chí-kvadrát různých statistik, např. G. ΣX², pro normální populaci
• Jednoduchý algoritmus pro aproximaci CDF a inverzní CDF pro distribuci chí-kvadrát pomocí kapesní kalkulačky
• Hodnoty distribuce chí-kvadrát