Poissonova limitní věta - Poisson limit theorem - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, zákon vzácných událostí nebo Poissonova limitní věta uvádí, že Poissonovo rozdělení lze použít jako aproximaci k binomická distribuce, za určitých podmínek.^[1] Věta byla pojmenována po Siméon Denis Poisson (1781–1840). Zobecnění této věty je Le Camova věta.

Teorém

Nechat ${ displaystyle p_ {n}}$ být posloupností reálných čísel v ${ displaystyle [0,1]}$ taková, že sekvence ${ displaystyle np_ {n}}$ konverguje k konečnému limitu ${ displaystyle lambda}$. Pak:

${ displaystyle lim _ {n to infty} {n zvolit k} p_ {n} ^ {k} (1-p_ {n}) ^ {nk} = e ^ {- lambda} { frac { lambda ^ {k}} {k!}}}$

Důkazy

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lim limity _ {n rightarrow infty} {n zvolit k} p_ {n} ^ {k} (1-p_ {n}) ^ {nk} & simeq lim _ {n to infty} { frac {n (n-1) (n-2) dots (n-k + 1)} {k!}} left ({ frac { lambda} {n}} right) ^ {k} left (1 - { frac { lambda} {n}} right) ^ {nk} & = lim _ {n to infty} { frac {n ^ {k} + O left (n ^ {k-1} right)} {k!}} { frac { lambda ^ {k}} {n ^ {k}}} left ( 1 - { frac { lambda} {n}} vpravo) ^ {nk} & = lim _ {n to infty} { frac { lambda ^ {k}} {k!}} left (1 - { frac { lambda} {n}} right) ^ {nk} end {zarovnáno}}}$.

Od té doby

${ displaystyle lim _ {n to infty} left (1 - { frac { lambda} {n}} right) ^ {n} = e ^ {- lambda}}$

a

${ displaystyle lim _ {n to infty} left (1 - { frac { lambda} {n}} right) ^ {- k} = 1}$

To odchází

${ displaystyle {n select k} p ^ {k} (1-p) ^ {n-k} simeq { frac { lambda ^ {k} e ^ {- lambda}} {k!}}.}$

Alternativní důkaz

Použitím Stirlingova aproximace, můžeme psát:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} {n zvolit k} p ^ {k} (1-p) ^ {nk} & = { frac {n!} {(nk)! k!}} p ^ { k} (1-p) ^ {nk} & simeq { frac {{ sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n} } {{ sqrt {2 pi left (nk right)}} left ({ frac {nk} {e}} right) ^ {nk} k!}} p ^ {k} (1- p) ^ {nk} & = { sqrt { frac {n} {nk}}} { frac {n ^ {n} e ^ {- k}} { left (nk right) ^ { nk} k!}} p ^ {k} (1-p) ^ {nk}. end {zarovnáno}}}$

Pronájem ${ displaystyle n to infty}$ a ${ displaystyle np = lambda}$:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} {n zvolit k} p ^ {k} (1-p) ^ {nk} & simeq { frac {n ^ {n} , p ^ {k} (1 -p) ^ {nk} e ^ {- k}} { left (nk right) ^ {nk} k!}} & = { frac {n ^ {n} left ({ frac { lambda} {n}} vpravo) ^ {k} (1 - { frac { lambda} {n}}) ^ {nk} e ^ {- k}} {n ^ {nk} vlevo (1 - { frac {k} {n}} vpravo) ^ {nk} k!}} & = { frac { lambda ^ {k} vlevo (1 - { frac { lambda} {n }} right) ^ {nk} e ^ {- k}} { left (1 - { frac {k} {n}} right) ^ {nk} k!}} & simeq { frac { lambda ^ {k} left (1 - { frac { lambda} {n}} right) ^ {n} e ^ {- k}} { left (1 - { frac {k} {n}} right) ^ {n} k!}}. end {aligned}}}$

Tak jako ${ displaystyle n to infty}$, ${ displaystyle left (1 - { frac {x} {n}} right) ^ {n} do e ^ {- x}}$ tak:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} {n zvolit k} p ^ {k} (1-p) ^ {nk} & simeq { frac { lambda ^ {k} e ^ {- lambda} e ^ {- k}} {e ^ {- k} k!}} & = { frac { lambda ^ {k} e ^ {- lambda}} {k!}} end {zarovnáno}} }$

Obyčejné generující funkce

Je také možné demonstrovat teorém pomocí běžné generující funkce binomické distribuce:

${ displaystyle G _ { operatorname {bin}} (x; p, N) equiv sum _ {k = 0} ^ {N} left [{ binom {N} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {Nk} right] x ^ {k} = { Big [} 1+ (x-1) p { Big]} ^ {N}}$

na základě binomická věta. Vezmeme-li limit ${ displaystyle N rightarrow infty}$ při zachování produktu ${ Displaystyle pN equiv lambda}$ konstantní, zjistíme

${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} G _ { operatorname {bin}} (x; p, N) = lim _ {N rightarrow infty} { Big [} 1 + { frac { lambda (x-1)} {N}} { Big]} ^ {N} = mathrm {e} ^ { lambda (x-1)} = součet _ {k = 0} ^ { infty } left [{ frac { mathrm {e} ^ {- lambda} lambda ^ {k}} {k!}} right] x ^ {k}}$

což je OGF pro Poissonovo rozdělení. (Druhá rovnost platí kvůli definici exponenciální funkce.)

Viz také

• De Moivre – Laplaceova věta
• Le Camova věta

Reference