Dotykové polynomy - Touchard polynomials

The Dotykové polynomy, studoval Jacques Touchard  (1939 ), také nazývaný exponenciální polynomy nebo Polynomy zvonu, obsahují a polynomiální sekvence z binomický typ definován

${ displaystyle T_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) x ^ {k} = součet _ {k = 0} ^ {n} vlevo {{n na vrcholu k} vpravo } x ^ {k},}$

kde ${ displaystyle S (n, k) = vlevo {{n nahoře k} vpravo }}$je Stirlingovo číslo druhého druhu, tj. počet oddíly sady velikosti n do k disjunktní neprázdné podmnožiny.^[1][2][3][4]

Vlastnosti

Základní vlastnosti

Hodnota na 1 z nPolynomem Touchard je nth Bell číslo, tj. počet oddíly sady velikosti n:

${ displaystyle T_ {n} (1) = B_ {n}.}$

Li X je náhodná proměnná s Poissonovo rozdělení s očekávanou hodnotou λ, pak její nten okamžik je E (Xⁿ) = T_n(λ), což vede k definici:

${ displaystyle T_ {n} (x) = e ^ {- x} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k} k ^ {n}} {k!}} .}$

Pomocí této skutečnosti lze rychle dokázat, že toto polynomiální sekvence je z binomický typ, tj. uspokojuje posloupnost identit:

${ displaystyle T_ {n} ( lambda + mu) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} T_ {k} ( lambda) T_ {nk} ( mu). }$

Touchardovy polynomy tvoří jedinou polynomiální sekvenci binomického typu s koeficientem X rovná 1 v každém polynomu.

Polynomy Touchard splňují Rodriguesův vzorec:

${ displaystyle T_ {n} left (e ^ {x} right) = e ^ {- e ^ {x}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} ; e ^ {e ^ {x}}.}$

Polynomy Touchard splňují relace opakování

${ displaystyle T_ {n + 1} (x) = x vlevo (1 + { frac {d} {dx}} doprava) T_ {n} (x)}$

a

${ displaystyle T_ {n + 1} (x) = x součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} T_ {k} (x).}$

V případě X = 1, toto se redukuje na vzorec opakování pro Čísla zvonků.

Za použití pupeční notace Tⁿ(X)=T_n(X), tyto vzorce se stávají:

${ displaystyle T_ {n} ( lambda + mu) = doleva (T ( lambda) + T ( mu) doprava) ^ {n},}$

${ displaystyle T_ {n + 1} (x) = x doleva (1 + T (x) doprava) ^ {n}.}$

The generující funkce polynomů Touchard je

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} {T_ {n} (x) nad n!} t ^ {n} = e ^ {x left (e ^ {t} -1 že jo)},}$

což odpovídá generující funkce Stirlingových čísel druhého druhu.

Touchard polynomy mají konturový integrál zastoupení:

${ displaystyle T_ {n} (x) = { frac {n!} {2 pi i}} mast { frac {e ^ {x ({e ^ {t}} - 1)}} {t ^ {n + 1}}} , dt.}$

Nuly

Všechny nuly dotykových polynomů jsou skutečné a záporné. Tuto skutečnost zaznamenal L. H. Harper v roce 1967.^[5]

Nejmenší nula je omezena zdola (v absolutní hodnotě) znakem^[6]

${ displaystyle { frac {1} {n}} { binom {n} {2}} + { frac {n-1} {n}} { sqrt {{ binom {n} {2}} ^ {2} - { frac {2n} {n-1}} left ({ binom {n} {3}} + 3 { binom {n} {4}} right)}},}$

i když se předpokládá, že nejmenší nula roste lineárně s indexem n.

The Mahlerovo opatření ${ displaystyle M (T_ {n})}$polynomů Touchard lze odhadnout takto:^[7]

${ displaystyle { frac { lbrace textstyle {n na vrcholu Omega _ {n}} rbrace} { binom {n} { Omega _ {n}}}} leq M (T_ {n}) leq { sqrt {n + 1}} left {{n na vrcholu K_ {n}} right },}$

kde ${ displaystyle Omega _ {n}}$ a ${ displaystyle K_ {n}}$ jsou nejmenší z maximálních dvou k indexy takové, že${ displaystyle lbrace textový styl {n nahoře k} rbrace / { binom {n} {k}}}$ a ${ displaystyle lbrace textový styl {n nahoře k} rbrace}$jsou maximální, resp.

Zobecnění

• Kompletní Polynom zvonů ${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n})}$ lze chápat jako vícerozměrné zobecnění Touchardova polynomu ${ displaystyle T_ {n} (x)}$, od té doby ${ displaystyle T_ {n} (x) = B_ {n} (x, x, tečky, x).}$
• Touchardovy polynomy (a tím i Čísla zvonků ) lze zobecnit pomocí reálné části výše uvedeného integrálu na neceločíselné pořadí:

  ${ displaystyle T_ {n} (x) = { frac {n!} { pi}} int _ {0} ^ { pi} e ^ {x { bigl (} e ^ { cos ( theta)} cos ( sin ( theta)) - 1 { bigr)}} cos { bigl (} xe ^ { cos ( theta)} sin ( sin ( theta)) - n theta { bigr)} , d theta ,.}$

Viz také

• Polynomy zvonu

Reference

• Touchard, Jacques (1939), „Sur les cycle des substitutions“, Acta Mathematica, 70 (1): 243–297, doi:10.1007 / BF02547349, ISSN  0001-5962, PAN  1555449