Binární operace - Binary operation

Nesmí být zaměňována s Bitová operace.
Binární operace je výpočet, který kombinuje argumenty X a y na

v matematika, a binární operace nebo dyadická operace je výpočet, který kombinuje dva prvky (tzv operandy ) k výrobě dalšího prvku. Formálnější je binární operace úkon z arity dva.

Přesněji řečeno, binární operace na soubor je operace, jejíž dva domén a codomain jsou stejná sada. Mezi příklady patří známé aritmetické operace z přidání, odčítání, násobení. Další příklady lze snadno najít v různých oblastech matematiky, například vektorové přidání, násobení matic a konjugace ve skupinách.

Operace arity dva, která zahrnuje několik množin, se někdy nazývá také a binární operace. Například, skalární násobení z vektorové prostory vezme skalár a vektor k vytvoření vektoru a skalární součin trvá dva vektory k vytvoření skaláru. Takové binární operace lze nazvat jednoduše binární funkce.

Binární operace jsou základním kamenem většiny algebraické struktury, které jsou studovány v algebra, zejména v poloskupiny, monoidy, skupiny, prsteny, pole, a vektorové prostory.

Terminologie

Přesněji řečeno, binární operace na a soubor S je mapování prvků kartézský součin S × S na S:[1][2][3]

Protože výsledek provedení operace na dvojici prvků S je opět prvkem S, operace se nazývá a Zavřeno (nebo vnitřní) binární operace zapnuta S (nebo někdy vyjádřeno jako vlastnění uzavření ).[4] Li F není funkce, ale místo toho je částečná funkce, nazývá se to částečná binární operace. Například rozdělení reálná čísla je částečná binární operace, protože člověk nemůže vydělte nulou: A/ 0 není definován pro žádnou skutečnou A. Nicméně, oba v univerzální algebra a teorie modelů uvažované binární operace jsou definovány na všech S × S.

Někdy, zejména v počítačová věda, termín se používá pro libovolné binární funkce.

Vlastnosti a příklady

Typickými příklady binárních operací jsou přidání (+) a násobení (×) z čísla a matice stejně jako složení funkcí například na jednu sadu.

  • Na množině reálných čísel R, F(A, b) = A + b je binární operace, protože součet dvou reálných čísel je reálné číslo.
  • Na množině přirozených čísel N, F(A, b) = A + b je binární operace, protože součet dvou přirozených čísel je přirozené číslo. Jedná se o jinou binární operaci než předchozí, protože sady se liší.
  • Na množině M (2,R) z 2 × 2 matice se skutečnými vstupy, F(A, B) = A + B je binární operace, protože součet dvou takových matic je a 2 × 2 matice.
  • Na množině M (2,R) z 2 × 2 matice se skutečnými vstupy, F(A, B) = AB je binární operace, protože produktem dvou takových matic je a 2 × 2 matice.
  • Pro danou sadu C, nechť S být souborem všech funkcí h : C → C. Definovat F : S × S → S podle F(h1, h2)(C) = (h1 ∘ h2) (C) = h1(h2(C)) pro všechny C ∈ C, složení dvou funkcí h1 a h2 v S. Pak F je binární operace, protože složení těchto dvou funkcí je opět funkcí na množině C (tj. člen S).

Mnoho binárních operací, které nás zajímají jak v algebře, tak ve formální logice, je komutativní, uspokojující F(A, b) = F(b, A) pro všechny prvky A a b v Snebo asociativní, uspokojující F(F(A, b), C) = F(A, F(b, C)) pro všechny A, b a C v S. Mnozí také mají prvky identity a inverzní prvky.

První tři výše uvedené příklady jsou komutativní a všechny výše uvedené příklady jsou asociativní.

Na množině reálných čísel R, odčítání, to znamená, F(A, b) = A − b, je binární operace, která není komutativní, protože obecně A − b ≠ b − A. Rovněž není asociativní, protože obecně A − (b − C) ≠ (A − b) − C; například, 1 − (2 − 3) = 2 ale (1 − 2) − 3 = −4.

Na množině přirozených čísel N, binární operace umocňování, F(A,b) = Ab, není komutativní, protože Ab ≠ bA (srov. Rovnice xʸ = yˣ ) a od té doby také není asociativní F(F(A, b), C) ≠ F(A, F(b, C)). Například s A = 2, b = 3 a C = 2, F(23,2) = F(8,2) = 82 = 64, ale F(2,32) = F(2,9) = 29 = 512. Změnou sady N do množiny celých čísel Z, tato binární operace se stane částečnou binární operací, protože když je nyní nedefinovaná A = 0 a b je záporné celé číslo. Pro obě sady má tato operace a správná identita (což je 1) od té doby F(A, 1) = A pro všechny A v sadě, což není identita (oboustranná identita) od F(1, b) ≠ b obecně.

Divize (/), částečná binární operace na množině reálných nebo racionálních čísel, není komutativní ani asociativní. Tetrace (↑↑) jako binární operace s přirozenými čísly není komutativní ani asociativní a nemá žádný prvek identity.

Zápis

Binární operace se často zapisují pomocí infixová notace jako A ∗ b, A + b, A · b nebo (podle juxtapozice bez symbolu) ab spíše než funkční notací formuláře F(A, b). Pravomoci jsou obvykle psány také bez operátoru, ale s druhým argumentem jako horní index.

Binární operace někdy používají předponu nebo (pravděpodobně častěji) postfixovou notaci, přičemž obě jsou bez závorek. Také se jim říká Polská notace a obrácenou polskou notaci.

Spárovat a n-tice

Binární operace, ab, závisí na tom objednaný pár (a, b) a tak (ab)C (kde závorky zde znamenají první operaci na objednaném páru (A, b) a poté na výsledku toho použijte objednaný pár ((ab), C)) obecně závisí na objednaném páru ((A, b), C). Pro obecný neasociativní případ lze tedy reprezentovat binární operace binární stromy.

Nicméně:

  • Pokud je operace asociativní, (ab)C = A(před naším letopočtem), pak hodnota (ab)C záleží jen na n-tice (A, b, C).
  • Pokud je operace komutativní, ab = ba, pak hodnota (ab)C záleží pouze na {{A, b}, C}, kde závorky označují multisety.
  • Pokud je operace asociativní i komutativní, pak hodnota (ab)C záleží pouze na multisetu {A, b, C}.
  • Pokud je operace asociativní, komutativní a idempotentní, aa = A, pak hodnota (ab)C záleží jen na soubor {A, b, C}.

Binární operace jako ternární vztahy

Binární operace F na setu S lze zobrazit jako ternární vztah na S, tj. soubor trojic (A, b, F(a, b)) v S × S × S pro všechny A a b v S.

Externí binární operace

An externí binární operace je binární funkce z K. × S na S. To se liší od a binární operace na množině v tom smyslu K. nemusí být S; jeho prvky pocházejí mimo.

Příklad externí binární operace je skalární násobení v lineární algebra. Tady K. je pole a S je vektorový prostor přes toto pole.

An externí binární operaci lze alternativně považovat za akce; K. jedná S.

The Tečkovaný produkt dvou vektorových map z S × S na K., kde K. je pole a S je vektorový prostor K.. Záleží na autorech, zda je považována za binární operaci.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Rotman 1973, str. 1
  2. ^ Hardy & Walker 2002, str. 176, definice 67
  3. ^ Fraleigh 1976, str. 10
  4. ^ Hall Jr. 1959, str. 1

Reference

  • Fraleigh, John B. (1976), První kurz v abstraktní algebře (2. vydání), Reading: Addison-Wesley, ISBN  0-201-01984-1
  • Hall Jr., Marshall (1959), Teorie grup, New York: Macmillan
  • Hardy, Darel W .; Walker, Carol L. (2002), Aplikovaná algebra: Kódy, šifry a diskrétní algoritmy, Horní sedlo, NJ: Prentice-Hall, ISBN  0-13-067464-8
  • Rotman, Joseph J. (1973), Teorie skupin: Úvod (2. vyd.), Boston: Allyn a Bacon

externí odkazy