Glosář teorie pole - Glossary of field theory

Teorie pole je pobočkou matematika ve kterém pole jsou studovány. Toto je glosář některých pojmů předmětu. (Vidět teorie pole (fyzika) pro nesouvisející teorie pole ve fyzice.)

Definice pole

A pole je komutativní prsten (F, +, *), ve kterém 0 ≠ 1 a každý nenulový prvek má multiplikativní inverzi. V poli tedy můžeme provádět operace sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Nenulové prvky pole F pro muže abelianská skupina pod násobením; tato skupina je obvykle označována F^×;

The kruh polynomů v proměnné X s koeficienty v F je označen F[X].

Základní definice

Charakteristický: The charakteristický pole F je nejmenší klad celé číslo n takhle n· 1 = 0; tady n· 1 znamená n summands 1 + 1 + 1 + ... + 1. Pokud žádné takové n existuje, říkáme, že charakteristika je nula. Každá nenulová charakteristika je a prvočíslo. Například racionální čísla, reálná čísla a p-adická čísla mají charakteristiku 0, zatímco konečné pole Z_p kde p je prime má charakteristiku p.

Podpole: A podpole pole F je podmnožina z F který je uzavřen pod polní operací + a * z F a který s těmito operacemi tvoří sám pole.

Prime pole: The hlavní pole pole F je jedinečné nejmenší podpole z F.

Pole rozšíření: Li F je podpole z E pak E je pole rozšíření z F. Pak to také říkáme E/F je rozšíření pole.

Stupeň prodloužení: Vzhledem k rozšíření E/F, pole E lze považovat za vektorový prostor přes pole Fa dimenze tohoto vektorového prostoru je stupeň rozšíření, označeno [E : F].

Konečné prodloužení: A konečné prodloužení je rozšíření pole, jehož stupeň je konečný.

Algebraické rozšíření: Pokud je prvek α rozšiřujícího pole E přes F je vykořenit nenulového polynomu v F[X], pak α je algebraický přes F. Pokud každý prvek E je algebraické F, pak E/F je algebraické rozšíření.

Generátorová sada: Vzhledem k rozšíření pole E/F a podmnožina S z E, píšeme F(S) pro nejmenší podpole z E který obsahuje obojí F a S. Skládá se ze všech prvků E které lze získat opakovaným použitím operací +, -, *, / na prvcích F a S. Li E = F(S) říkáme to E generuje S přes F.

Primitivní prvek: Prvek α rozšiřujícího pole E přes pole F se nazývá a primitivní prvek -li E=F(α), nejmenší pole rozšíření obsahující α. Takové rozšíření se nazývá a jednoduché rozšíření.

Rozdělovací pole: Rozšíření pole generované úplnou faktorizací polynomu.

Normální prodloužení: Rozšíření pole generované úplnou faktorizací sady polynomů.

Oddělitelný nástavec: Přípona vygenerovaná kořeny oddělitelné polynomy.

Perfektní pole: Pole takové, že každé konečné rozšíření je oddělitelné. Všechna pole s charakteristickou nulou a všechna konečná pole jsou dokonalá.

Nedokonalý stupeň: Nechat F být charakteristickým polem p> 0; pak F^p je podpole. Titul [F:F^p] se nazývá nedokonalý stupeň z F. Pole F je perfektní, jen když je jeho nedokonalý stupeň 1. Například pokud F je funkční pole n proměnné nad konečným polem charakteristiky p> 0, pak je jeho nedokonalý stupeň pⁿ.^[1]

Algebraicky uzavřené pole: Pole F je algebraicky uzavřeno pokud každý polynom v F[X] má kořen v F; ekvivalentně: každý polynom v F[X] je produkt lineárních faktorů.

Algebraické uzavření: An algebraické uzavření pole F je algebraické rozšíření F který je algebraicky uzavřen. Každé pole má algebraické uzavření a je jedinečné až do izomorfismu, který opravuje F.

Transcendentální: Tyto prvky rozšiřujícího pole o F které nejsou algebraické F jsou transcendentální přes F.

Algebraicky nezávislé prvky: Prvky pole rozšíření F jsou algebraicky nezávislý přes F pokud nesplňují žádnou nenulovou polynomiální rovnici s koeficienty v F.

Stupeň transcendence: Počet algebraicky nezávislých transcendentálních prvků v rozšíření pole. Používá se k definování rozměr algebraické odrůdy.

Homomorfismy

Polní homomorfismus

A polní homomorfismus mezi dvěma poli E a F je funkce

F : E → F

takové, že pro všechny X, y v E,

F(X + y) = F(X) + F(y)

F(xy) = F(X) F(y)

F(1) = 1.

Tyto vlastnosti to naznačují F(0) = 0, F(X⁻¹) = F(X)⁻¹ pro X v E s X ≠ 0, a to F je injekční. Pole společně s těmito homomorfismy tvoří a kategorie. Dvě pole E a F jsou nazývány izomorfní pokud existuje bijektivní homomorfismus

F : E → F.

Tato dvě pole jsou poté pro všechny praktické účely identická; ne však nutně v a unikátní způsob. Viz například komplexní konjugace.

Druhy polí

Konečné pole: Pole s konečně mnoha prvky. Dobře Galoisovo pole.

Objednané pole: Pole s a celková objednávka kompatibilní s jeho provozem.

Racionální čísla

Skutečná čísla

Složitá čísla

Pole s číslem: Konečné rozšíření pole racionálních čísel.

Algebraická čísla: Pole algebraických čísel je nejmenší algebraicky uzavřené rozšíření pole racionálních čísel. Jejich podrobné vlastnosti jsou studovány v algebraická teorie čísel.

Kvadratické pole: Rozšíření racionálních čísel o dva stupně.

Cyklomtomické pole: Rozšíření racionálních čísel generovaných a kořen jednoty.

Úplně skutečné pole: Číselné pole generované kořenem polynomu, které má všechny kořeny reálných čísel.

Formálně skutečné pole

Skutečné uzavřené pole

Globální pole: Číselné pole nebo funkční pole jedné proměnné nad konečným polem.

Místní pole: Dokončení nějakého globálního pole (w.r.t. prvočíslo celočíselného kruhu).

Vyplňte pole: Pole kompletní w.r.t. na nějaké ocenění.

Pseudo algebraicky uzavřené pole: Pole, ve kterém má každá odrůda a racionální bod.^[2]

Henselianovo pole: Pole uspokojující Hensel lemma w.r.t. nějaké ocenění. Zobecnění úplných polí.

Hilbertovo pole: Pole uspokojující Hilbertova věta o neredukovatelnosti: formálně jeden, pro který projektivní linie není tenký ve smyslu Serre.^[3]^[4]

Kroneckeriánské pole: Zcela reálné algebraické číselné pole nebo zcela imaginární kvadratické rozšíření zcela reálného pole.^[5]

CM-pole nebo J-pole: Algebraické číselné pole, které je zcela imaginárním kvadratickým rozšířením zcela reálného pole.^[6]

Propojené pole: Pole, nad kterým ne biquaternion algebra je divize algebra.^[7]

Frobeniusovo pole: A pseudo algebraicky uzavřené pole jehož absolutní skupina Galois má vlastnost vkládání.^[8]

Rozšíření pole

Nechat E / F být příponou pole.

Algebraické rozšíření: Rozšíření, ve kterém je každý prvek E je algebraické F.

Jednoduché rozšíření: Přípona, která je generována jediným prvkem, který se nazývá a primitivní prveknebo generující prvek.^[9] The věta o primitivním prvku klasifikuje taková rozšíření.^[10]

Normální prodloužení: Rozšíření, které rozděluje rodinu polynomů: každý kořen minimálního polynomu prvku prvku E přes F je také v E.

Oddělitelný nástavec: Algebraické rozšíření, ve kterém je minimální polynom každého prvku E přes F je oddělitelný polynom, to znamená, že má odlišné kořeny.^[11]

Galoisovo rozšíření: Normální, oddělitelné rozšíření pole.

Primární rozšíření: Rozšíření E/F tak, aby algebraické uzavření F v E je čistě neoddělitelné přes F; ekvivalentně, E je lineárně disjunktní z oddělitelný uzávěr z F.^[12]

Čistě transcendentální rozšíření: Rozšíření E/F ve kterém každý prvek E ne v F je transcendentální F.^[13]^[14]

Pravidelné prodloužení: Rozšíření E/F takhle E je oddělitelný F a F je algebraicky uzavřeno E.^[12]

Jednoduché radikální rozšíření: A jednoduché rozšíření E/F generováno jediným prvkem α vyhovujícím ${ displaystyle alpha ^ {n} = b}$ pro prvek b z F. v charakteristický p, vezmeme také rozšíření o kořen Artin – Schreierův polynom být jednoduchým radikálním rozšířením.^[15]

Radikální prodloužení: Věž ${ displaystyle F = F_ {0}$ kde každé rozšíření ${ displaystyle F_ {i} / F_ {i-1}}$ je jednoduché radikální rozšíření.^[15]

Samostatné prodloužení: Rozšíření E/F takhle E⊗_FE je integrální doménou.^[16]

Zcela transcendentální rozšíření: Rozšíření E/F takhle F je algebraicky uzavřeno F.^[14]

Distinguished class

Třída C rozšíření pole se třemi vlastnostmi^[17]

Li E je C-přípona F a F je C-přípona K. pak E je C-přípona K..
Li E a F jsou C-rozšíření z K. ve společném poli M, pak compositum EF je C-přípona K..
Li E je C-přípona F a E>K.>F pak E je C-přípona K..

Galoisova teorie

Galoisovo rozšíření: Normální, oddělitelné rozšíření pole.

Galoisova skupina: The skupina automorfismu rozšíření Galois. Když se jedná o konečnou příponu, jedná se o konečnou skupinu řádu rovnající se stupni rozšíření. Galoisovy skupiny pro nekonečná rozšíření jsou profinitní skupiny.

Kummerova teorie: Galoisova teorie braní n-té kořeny, dost kořeny jednoty. Zahrnuje obecnou teorii kvadratické rozšíření.

Artin – Schreierova teorie: Pokrývá charakteristický výjimečný případ Kummerovy teorie p.

Normální základ: Základ ve smyslu vektorového prostoru L přes K., na kterém skupina Galois z L přes K. jedná přechodně.

Tenzorový součin polí: Jiný základní kousek algebry, včetně compositum úkon (připojit se polí).

Rozšíření Galoisovy teorie

Inverzní problém Galoisovy teorie: Vzhledem ke skupině G, vyhledejte příponu racionálního čísla nebo jiného pole pomocí G jako skupina Galois.

Diferenciální teorie Galois: Předmět, ve kterém skupiny symetrie diferenciální rovnice jsou studovány v duchu tradičních teorií Galois. Toto je vlastně stará myšlenka a jedna z motivací kdy Sophus Lie založil teorii Lež skupiny. Pravděpodobně nedosáhlo konečné podoby.

Grothendieckova Galoisova teorie: Velmi abstraktní přístup od algebraická geometrie, představený ke studiu analogu základní skupina.

Reference

^ Fried & Jarden (2008), s. 45
^ Fried & Jarden (2008), s. 214
^ Serre (1992) str.19
^ Schinzel (2000) str.298
^ Schinzel (2000) str.5
^ Washington, Lawrence C. (1996). Úvod do cyklomatomických polí (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047.
^ Lam (2005), str. 342
^ Fried & Jarden (2008), s. 564
^ Roman (2007), s. 46
^ Lang (2002) str. 233
^ Fried & Jarden (2008), s. 28
^ ^A ^b Fried & Jarden (2008), s. 44
^ Roman (2007) str.102
^ ^A ^b Isaacs, I. Martin (1994). Algebra: Postgraduální kurz. Postgraduální studium matematiky. 100. Americká matematická společnost. str. 389. ISBN 0-8218-4799-6. ISSN 1065-7339.
^ ^A ^b Roman (2007) s. 273
^ Cohn, P. M. (2003). Základní algebra. Skupiny, prsteny a pole. Springer-Verlag. str. 427. ISBN 1-85233-587-4. Zbl 1003.00001.
^ Lang (2002) str.228

Adamson, Iain T. (1982). Úvod do teorie pole (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-28658-1.
Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Polní aritmetika. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (3. přepracované vydání). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. PAN 2104929. Zbl 1068.11023.
Lang, Serge (1997). Průzkum diofantické geometrie. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, PAN 1878556, Zbl 0984.00001
Roman, Steven (2007). Teorie pole. Postgraduální texty z matematiky. 158. Springer-Verlag. ISBN 0-387-27678-5.
Serre, Jean-Pierre (1989). Přednášky o Mordell-Weilově větě. Aspekty matematiky. E15. Přeložil a upravil Martin Brown z poznámek Michela Waldschmidta. Braunschweig atd .: Friedr. Vieweg & Sohn. Zbl 0676.14005.
Serre, Jean-Pierre (1992). Témata v Galoisově teorii. Výzkumné poznámky z matematiky. 1. Jones a Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001.
Schinzel, Andrzej (2000). Polynomy se zvláštním zřetelem na redukovatelnost. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 77. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-66225-7. Zbl 0956.12001.

[FJ45-1] Fried & Jarden (2008), s. 45

[FJ214-2] Fried & Jarden (2008), s. 214

[SB19-3] Serre (1992) str.19

[Sch298-4] Schinzel (2000) str.298

[Sch5-5] Schinzel (2000) str.5

[6] Washington, Lawrence C. (1996). Úvod do cyklomatomických polí (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047.

[Lam342-7] Lam (2005), str. 342

[FJ564-8] Fried & Jarden (2008), s. 564

[9] Roman (2007), s. 46

[10] Lang (2002) str. 233

[FJ28-11] Fried & Jarden (2008), s. 28

[FJ44-12] A ^b Fried & Jarden (2008), s. 44

[13] Roman (2007) str.102

[Isa389-14] A ^b Isaacs, I. Martin (1994). Algebra: Postgraduální kurz. Postgraduální studium matematiky. 100. Americká matematická společnost. str. 389. ISBN 0-8218-4799-6. ISSN 1065-7339.

[Rom273-15] A ^b Roman (2007) s. 273

[16] Cohn, P. M. (2003). Základní algebra. Skupiny, prsteny a pole. Springer-Verlag. str. 427. ISBN 1-85233-587-4. Zbl 1003.00001.

[17] Lang (2002) str.228

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]