Janko skupina J2 - Janko group J2
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
![]() |
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Janko skupina J2 nebo Skupina Hall-Janko HJ je sporadická jednoduchá skupina z objednat
- 27 · 33 · 52 · 7 = 604800
- ≈ 6×105.
Historie a vlastnosti
J2 je jedním z 26 Sporadické skupiny a je také nazýván Skupina Hall – Janko – Wales. V roce 1969 Zvonimir Janko předpovídal J2 jako jedna ze dvou nových jednoduchých skupin, které mají 21+4:A5 jako centralizátor involuce (druhý je Janko skupina J3 ). To bylo postaveno sál a Wales (1968 ) jako 3. skupina permutace na 100 bodů.
Oba Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu mít pořadí 2. Jako permutační skupina na 100 bodech J2 má involuce pohyb všech 100 bodů a involucí pohybujících se jen 80 bodů. Bývalé involuce jsou produkty 25 dvojitých transportů, lichého čísla, a proto se zvedají na 4 prvky v dvojitý kryt 2.A100. Dvojitý kryt 2.J2 vyskytuje se jako podskupina skupiny Conway Co.0.
J2 je jediná ze 4 Jankových skupin, která je dílčí podíl z skupina příšer; je tedy součástí čeho Robert Griess volá Šťastná rodina. Protože se také nachází v Conway skupina Co1, je tedy součástí druhé generace šťastné rodiny.
Zastoupení
Je to podskupina index dva ze skupiny automorfismů Hall – Jankov graf, což vede k a permutační reprezentace stupně 100. Je to také podskupina indexu dva ze skupiny automorfismů Hall – Janko Blízko Octagonu,[1] což vede k permutačnímu zastoupení stupně 315.
Má to modulární reprezentace dimenze šest nad polem čtyř prvků; pokud v charakteristický dva máme w2 + w + 1 = 0, pak J.2 je generován dvěma maticemi
a
Tyto matice splňují rovnice
(Všimněte si, že násobení matic na konečném poli řádu 4 je definováno mírně odlišně od běžného násobení matic. Viz Konečné pole § Pole se čtyřmi prvky pro konkrétní tabulky sčítání a násobení a použití w je stejné jako A a w2 je stejné jako 1 + a.)
J2 je tedy a Skupina Hurwitz, konečný homomorfní obraz (2,3,7) trojúhelníková skupina.
Maticová reprezentace uvedená výše představuje vložení do Dickson skupina G2(4). Existuje pouze jedna třída konjugace J.2 v G2(4). Každá podskupina J2 obsaženo v G2(4) sahá do podskupiny J.2:2 = Aut (J2) v G2(4):2 = Aut (G2(4)) (G2(4) rozšířeno o polní automorfismy z F4). G2(4) je zase izomorfní s podskupinou Skupina Conway Spol1.
Maximální podskupiny
Existuje 9 třídy konjugace z maximální podskupiny z J2. Některé jsou zde popsány z hlediska akce v grafu Hall – Janko.
- U3(3) objednat 6048 - jednobodový stabilizátor s oběžnými dráhami 36 a 63
- Jednoduché, obsahující 36 jednoduchých podskupin řádu 168 a 63 involucí, všechny konjugované, každá s pohybem 80 bodů. Daná involuce se nachází ve 12 168 podskupinách, což je opravuje v konjugaci. Jeho centralizátor má strukturu 4.S4, který obsahuje 6 dalších involucí.
- 3. PGL (2,9) objednávka 2160 - má dílčí podíl A6
- 21+4:A5 objednávka 1920 - centralizátor involuce pohybující se 80 body
- 22+4: (3 × S.3) objednat 1152
- A4 × A5 objednávka 720
- Obsahující 22 × A5 (pořadí 240), centralizátor 3 involucí, z nichž každý pohybuje 100 bodů
- A5 × D10 objednat 600
- PGL (2,7) objednávka 336
- 52: D12 objednávka 300
- A5 objednávka 60
Hodiny konjugace
Maximální pořadí libovolného prvku je 15. Jako permutace působí prvky na 100 vrcholů grafu Hall – Janko.
Objednat | Počet prvků | Struktura cyklu a konjugace |
---|---|---|
1 = 1 | 1 = 1 | 1 třída |
2 = 2 | 315 = 32 · 5 · 7 | 240, 1 třída |
2520 = 23 · 32 · 5 · 7 | 250, 1 třída | |
3 = 3 | 560 = 24 · 5 · 7 | 330, 1 třída |
16800 = 25 · 3 · 52 · 7 | 332, 1 třída | |
4 = 22 | 6300 = 22 · 32 · 52 · 7 | 26420, 1 třída |
5 = 5 | 4032 = 26 · 32 · 7 | 520, 2 třídy, výkonový ekvivalent |
24192 = 27 · 33 · 7 | 520, 2 třídy, výkonový ekvivalent | |
6 = 2 · 3 | 25200 = 24 · 32 · 52 · 7 | 2436612, 1 třída |
50400 = 25 · 32 · 52 · 7 | 22616, 1 třída | |
7 = 7 | 86400 = 27 · 33 · 52 | 714, 1 třída |
8 = 23 | 75600 = 24 · 33 · 52 · 7 | 2343810, 1 třída |
10 = 2 · 5 | 60480 = 26 · 33 · 5 · 7 | 1010, 2 třídy, výkonový ekvivalent |
120960 = 27 · 33 · 5 · 7 | 54108, 2 třídy, výkonový ekvivalent | |
12 = 22 · 3 | 50400 = 25 · 32 · 52 · 7 | 324262126, 1 třída |
15 = 3 · 5 | 80640 = 28 · 32 · 5 · 7 | 52156, 2 třídy, výkonový ekvivalent |
Reference
- Robert L. Griess, Jr., „Dvanáct sporadických skupin“, Springer-Verlag, 1998.
- Hall, Marshall; Wales, David (1968), „Jednoduchá skupina objednávky 604 800“, Journal of Algebra, 9: 417–450, doi:10.1016/0021-8693(68)90014-8, ISSN 0021-8693, PAN 0240192 (Griess líčí [str. 123], jak Marshall Hall, jako redaktor The Journal of Algebra, obdržel velmi krátký referát s názvem „Jednoduchá skupina objednávky 604801.“ Ano, 604801 je prime.)
- Janko, Zvonimir (1969), "Některé nové jednoduché skupiny konečného řádu. Já", Symposia Mathematica (INDAM, Řím, 1967/68), sv. 1, Boston, MA: Akademický tisk, str. 25–64, PAN 0244371
- Wales, David B., „Jedinečnost jednoduché skupiny objednávky 604800 jako podskupiny SL (6,4)“, Journal of Algebra 11 (1969), 455–460.
- Wales, David B., „Generátoři skupiny Hall – Janko jako podskupina G2 (4)“, Journal of Algebra 13 (1969), 513–516, doi:10.1016/0021-8693(69)90113-6, PAN0251133, ISSN 0021-8693