Uzávěr (matematika) - Closure (mathematics)

Pro další použití viz Uzávěr (disambiguation).

V matematice, a soubor je Zavřeno pod úkon pokud provedení této operace na členech sady vždy vytvoří člena této sady. Například pozitivní celá čísla jsou uzavřeny přidáním, ale ne odečtením: 1 − 2 není kladné celé číslo, i když jsou 1 i 2 kladná celá čísla. Dalším příkladem je množina obsahující pouze nulu, která je uzavřena při sčítání, odčítání a násobení (protože 0 + 0 = 0, 0 − 0 = 0, a 0 × 0 = 0).

Podobně se říká, že sada je uzavřena pod a sbírka operací, pokud je uzavřena v rámci každé z operací samostatně.

Základní vlastnosti

Sada, která je uzavřena v rámci operace nebo kolekce operací, je považována za vyhovující a uzavření majetku. Vlastnost uzavření se často zavádí jako axiom, kterému se pak obvykle říká axiom uzavření. Moderní teoreticko-teoretické definice obvykle definují operace jako mapy mezi množinami, takže přidání uzavření do struktury jako axiomu je nadbytečné; v praxi jsou však operace často definovány zpočátku na nadmnožině dané sady a je vyžadován důkaz o uzavření, aby se zjistilo, že operace aplikovaná na páry z této sady vytváří pouze členy této sady. Například sada sudých celých čísel je uzavřena při přidání, ale sada lichých celých čísel není.

Když sada S není uzavřen pod některými operacemi, lze obvykle najít nejmenší sadu obsahující S to je uzavřeno. Tato nejmenší uzavřená sada se nazývá uzavření z S (s ohledem na tyto operace).[1] Například uzavření při odčítání množiny přirozených čísel, považované za podmnožinu reálných čísel, je množina celá čísla. Důležitým příkladem je topologické uzavření. Pojem uzavření zobecňuje Galoisovo spojení, a dále monády.

Sada S musí být podmnožinou uzavřené množiny, aby bylo možné definovat operátor uzavření. V předchozím příkladu je důležité, aby reals byly uzavřeny odečtením; v doméně přirozených čísel není vždy definováno odčítání.

Dvě použití slova „uzavření“ by neměla být zaměňována. První použití odkazuje na vlastnost zavírání a druhé odkazuje na nejmenší uzavřenou sadu obsahující jednu, která nemusí být uzavřena. Stručně řečeno, uzavření sady splňuje vlastnost uzavření.

Uzavřené sady

Sada je uzavřena v rámci operace, pokud operace vrací člena sady, když je vyhodnocena na členech sady.[2] Někdy je požadavek, aby byla operace oceněna v sadě, výslovně uveden, v takovém případě je znám jako axiom uzavření. Například lze definovat a skupina jako množina s operátorem binárního produktu, který se řídí několika axiomy, včetně axiomu, že produkt jakýchkoli dvou prvků skupiny je opět prvkem. Moderní definice operace však činí tento axiom nadbytečným; an n-ary úkon na S je jen podmnožina Sn+1. Podle své definice nemůže operátor na množině mít hodnoty mimo množinu.

Vlastnost uzavření operátora v sadě má přesto nějakou užitečnost. Uzavření sady nemusí nutně znamenat uzavření všech podskupin. Tak a podskupina skupiny je podmnožina, na které se binární produkt a unární provoz z inverze uspokojit uzavírací axiom.

Operace jiného druhu je operace hledání mezní body podmnožiny a topologický prostor. Sada uzavřená v rámci této operace se obvykle označuje jako a uzavřená sada v kontextu topologie. Bez jakékoli další kvalifikace fráze v tomto smyslu obvykle znamená uzavřená. Uzavřené intervaly jako [1,2] = {X : 1 ≤ X ≤ 2} jsou v tomto smyslu uzavřeny.

Podmnožinou částečně uspořádané množiny je a dolů uzavřená sada (také nazývaný a spodní sada ) pokud pro každý prvek podmnožiny jsou v podmnožině také všechny menší prvky. To platí například pro skutečné intervaly (−∞,p) a (−∞,p] a pro pořadové číslo p reprezentován jako interval [0,p). Každá dolů uzavřená množina pořadových čísel je sama o sobě pořadovým číslem. Nahoru uzavřené sady (nazývané také horní sady) jsou definovány podobně.

Příklady

Operátor uzavření

Hlavní článek: operátor uzavření

Vzhledem k operaci na sadě X, lze definovat uzavření C(S) podmnožiny S z X být nejmenší podmnožinou uzavřenou v rámci této operace, která obsahuje S jako podmnožina, pokud takové podmnožiny existují. Tudíž, C(S) je průsečík všech uzavřených množin obsahujících S. Například uzavření podmnožiny skupiny je podskupinou generováno touto sadou.

Uzavření množin s ohledem na nějakou operaci definuje a operátor uzavření na podmnožinách X. Uzavřené sady lze určit z operátoru uzavření; sada je uzavřena, pokud se rovná jejímu vlastnímu uzavření. Typické strukturální vlastnosti všech uzavíracích operací jsou: [6]

  • Uzávěr je vzrůstající nebo rozsáhlý: uzavření objektu obsahuje objekt.
  • Uzávěr je idempotentní: uzávěr uzávěru se rovná uzávěru.
  • Uzávěr je monotónní, tedy pokud X je obsažen v Y, pak také C(X) je obsažen v C(Y).

Volá se objekt, který má vlastní uzavření Zavřeno. Podle idempotence je objekt uzavřen kdyby a jen kdyby je to uzavření nějakého objektu.

Tyto tři vlastnosti definují abstraktní uzavírací operátor. Typicky abstraktní uzávěr působí na třídu všech podmnožin sady.

Li X je obsažen v množině uzavřené pod operací, pak každá podmnožina X má uzávěr.

Uzavření binárních relací

Zvažte nejprve homogenní vztahy R ⊆ A × A. Pokud je to vztah S splňuje aSb ⇒ bSa, pak je to symetrický vztah. Libovolný homogenní vztah R nemusí být symetrický, ale vždy je obsažen v nějakém symetrickém vztahu: R ⊆ S. Operace hledání nejmenší takový S odpovídá volanému operátorovi uzavření symetrické uzavření.

A tranzitivní vztah T splňuje aTb ∧ bTc ⇒ aTc. Libovolný homogenní vztah R nemusí být tranzitivní, ale vždy je obsažen v nějakém tranzitivním vztahu: R ⊆ T. Operace hledání nejmenší takový T odpovídá volanému operátorovi uzavření přechodné uzavření.

Mezi heterogenní vztahy existují vlastnosti funkčnost a Kontakt které vedou k funkční uzávěr a uzavření kontaktu.[7] Přítomnost těchto operátorů uzavření v binárních relacích vede k topologie protože otevřené axiomy mohou být nahrazeny Kuratowského uzavírací axiomy. Tedy každá vlastnost P, symetrie, tranzitivita, difunkčnost nebo kontakt odpovídá relační topologii.[8]

V teorii přepis systémy, jeden často používá více rozvláčné pojmy jako reflexní přechodné uzavření R*-nejmenší předobjednávka obsahující R, nebo reflexní tranzitivní symetrický uzávěr R≡—The nejmenší vztah ekvivalence obsahující R, a proto také známý jako uzavření rovnocennosti. Při zvažování konkrétního termínová algebra, ekvivalenční vztah, který je kompatibilní se všemi operacemi algebry [poznámka 1] se nazývá a kongruenční vztah. The shoda uzavření z R je definován jako nejmenší relace shody obsahující R.

Pro libovolné P a R, P uzavření R nemusí existovat. Ve výše uvedených příkladech existují, protože reflexivita, tranzitivita a symetrie jsou uzavřeny pod libovolnými průniky. V takových případech P uzavření lze přímo definovat jako průnik všech množin s vlastností P obsahující R.[9]

Některé důležité konkrétní uzávěry lze konstruktivně získat následovně:

  • třref(R) = R ∪ { ⟨X,X⟩ : X ∈ S } je reflexní uzávěr z R,
  • třsym(R) = R ∪ { ⟨y,X⟩ : ⟨X,y⟩ ∈ R } je jeho symetrické uzavření,
  • třtrn(R) = R ∪ { ⟨X1,Xn⟩ : n >1 ∧ ⟨X1,X2⟩, ..., ⟨Xn-1,Xn⟩ ∈ R } je jeho přechodné uzavření,
  • třemb, Σ(R) = R ∪ { ⟨F(X1,…,Xi-1,Xi,Xi+1,…,Xn), F(X1,…,Xi-1,y,Xi+1,…,Xn)⟩ : ⟨Xi,y⟩ ∈ R ∧ F ∈ Σ n-ary ∧ 1 ≤ i ≤ n ∧ X1,...,Xn ∈ S } je jeho vkládací uzávěr s ohledem na danou sadu operací S, každý s pevnou arity.

Vztah R se říká, že má uzavření pod některými třxxx, pokud R = třxxx(R); například R se nazývá symetrický, pokud R = třsym(R).

Kterákoli z těchto čtyř uzávěrů zachovává symetrii, tj. Pokud R je symetrický, stejně tak jakýkoli třxxx(R). [poznámka 2]Podobně všechny čtyři zachovávají reflexivitu. třtrn zachovává uzavření pod třemb, Σ pro libovolné Σ. Důsledkem je uzavření ekvivalence libovolného binárního vztahu R lze získat jako třtrn(třsym(třref(R))), a shodu uzavření s ohledem na některé Σ lze získat jako třtrn(třemb, Σ(třsym(třref(R)))). V druhém případě záleží na pořadí vnoření; např. -li S je množina výrazů nad Σ = { A, b, C, F } a R = { ⟨A,b⟩, ⟨F(b),C⟩}, Pak dvojice ⟨F(A),C⟩ Je obsažen v kongruenčním uzávěru třtrn(třemb, Σ(třsym(třref(R)))) ze dne R, ale ne ve vztahu třemb, Σ(třtrn(třsym(třref(R)))).

Viz také

Poznámky

  1. ^ to znamená, že např. xRy naznačuje F(X,X2) R F(y,X2) a F(X1,X) R F(X1,y) pro jakoukoli binární operaci F a svévolné X1,X2 ∈ S
  2. ^ formálně: pokud R = třsym(R), pak třxxx(R) = třsym(třxxx(R))

Reference

  1. ^ Weisstein, Eric W. „Nastavit uzavření“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-07-25. Uzávěr sady A je nejmenší uzavřená sada obsahující A.
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Nastavit uzavření“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-07-25. O sadě S a binárním operátoru * se říká, že vykazují uzavření, pokud použití binárního operátoru na dva prvky S vrátí hodnotu, která je sama členem S.
  3. ^ A b Weisstein, Eric W. „Přechodné uzavření“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-07-25.
  4. ^ Weisstein, Eric W. „Algebraické uzavření“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-07-25.
  5. ^ Bernstein, Dennis S. (2005). Maticová matematika: Teorie, fakta a vzorce s aplikací na teorii lineárních systémů. Princeton University Press. str. 25. ISBN  978-0-691-11802-4. ... konvexní trup S, označený coS, je nejmenší konvexní množina obsahující S.
  6. ^ Birkhoff, Garrett (1967). Teorie mřížky. Publikace kolokvia. 25. Dopoledne. Matematika. Soc. str. 111. ISBN  9780821889534.
  7. ^ Schmidt, Gunter (2011). "Relační matematika". Encyklopedie matematiky a její aplikace. 132. Cambridge University Press. 169, 227. ISBN  978-0-521-76268-7.
  8. ^ Schmidt, Gunter; Winter, M. (2018). Relační topologie. Přednášky z matematiky. 2208. Springer Verlag. ISBN  978-3-319-74451-3.
  9. ^ Baader, Franz; Nipkow, Tobias (1998). Přepisování termínů a tak dále. Cambridge University Press. s. 8–9. ISBN  9780521779203.